微分幾何 2-1曲面的概念ppt課件

1、1第二章第二章 曲面論曲面論1曲面的概念曲面的概念簡單曲面以及參數(shù)表示簡單曲面以及參數(shù)表示幾種觀點1、一般式2、顯式3、映射觀點（與曲線定義類似）:( , , )0F x y z( , )zf x y基本概念若爾當曲線若爾當曲線 平面上不自交的閑曲線初等區(qū)域初等區(qū)域 -若爾當曲線所圍成的有限區(qū)域若爾當曲線所圍成的有限區(qū)域2如果到初等區(qū)域初等區(qū)域D到三維歐氏空間內(nèi)建立的對應(yīng)是一一的，雙方連續(xù)的在上映射，則我們把三維歐氏空間中的象稱為簡單曲面23:fDEE稱 為 的稱 為曲面的u和v稱 象稱為 34),(zr , Gzv, ,20 z ),(0zr zRR0,sin,cos z zRRzr,sin

2、,cos),(000 曲線（z=常數(shù)）即它是垂直于軸的平面和原柱面的交線，它們都是圓。曲線（ 是常數(shù)）即:它是原柱面上的直母線。設(shè) 是長方形區(qū)域 cos ,sin , RRz常見曲面圓柱面的參數(shù)表示 5),( rr ,coscos R sin,sincos RRG ),( 22 . 20 u v ),(0 r coscos0R sincos0Rsin0 R ),(0 r 0coscosRsin,sincos0 R球面的參數(shù)表示為：是一個長方形區(qū)域：坐標曲線是坐標曲線是曲線曲線= =常數(shù)），即常數(shù)），即 ，是球面上等緯度的圓是球面上等緯度的圓緯線緯線，曲線曲線：它是球面上過兩極的半圓它是球面上過

3、兩極的半圓經(jīng)線（子午線）經(jīng)線（子午線）。 = ， ，6旋轉(zhuǎn)面把xz平面上一條曲線：x =繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)面x = ，y= ,，71定義：如果曲面 有直到 階連續(xù)偏微商，則稱為K階正則曲面，或 曲面。當 時， 此曲面又稱為光滑曲面2 u線v線表示kC1k k(rr u：，v）. u線：. v線u-線的切向量v-線的切向量8定義定義 曲面 的點P是正則點正則點(正常點正常點)若有00(uvr ur u00，v ），v ） 000(uvr ur u00，v ），v ） 000（u ，v ）正則曲面: 處處是正則點的曲面. 曲面的正規(guī)坐標網(wǎng)：若則存在 的一個鄰域U，使得U內(nèi)每一點有 (uvr ur，

4、v ） （u ，v ） 0命題1：曲面在正則點的鄰域中總可以有形如 z = z(x, y)的表示因為 ，至少有一分量不為零(uvr ur，v ） （u ，v ） 0此時U內(nèi)兩坐標曲線構(gòu)成的網(wǎng)為曲面的正規(guī)坐標網(wǎng)9假設(shè) 則有隱函數(shù)存在定理有唯一一對單值連續(xù)函數(shù)代入則有z = z(x, y)0（x，y），（u，v）uu xvv xy（ ，y），（ ， ）命題2：曲面在正常點某個的鄰域內(nèi)點都是正常點曲面上一點P0處的切方向(方向): 上的經(jīng)過 P的曲線在P0的切方向.（切方向很多） 曲面 ：r r = r r(u, v)上曲線的(曲紋)坐標式參 數(shù)方程-: u = u(t)，v = v(t).的向量式

5、參數(shù)方程:r = r(u(t), v(t) = r(t). （一個 參數(shù)）10曲線的切向量曲線的切向量也可寫為曲線r = r(u(t), v(t) = r(t)其切方向uvuvdrr dur dvdudvdvdurrrrdtu dtv dtdtdtdtdv，r（）uvdrr dur dv在正常點所有切向量都有可定成u線v線切向的組合都有在由u線v線切向確定的平面上，稱此平面為曲面在這一點的切平面命題2 曲面上正常點的所有切方向都在過該點的坐標曲線的切向量所決定的切平面上 11從上可以看出曲面上一點的一個切方向由du:dv值完全確定，切方向也可表示成 , 或 二者視為同一方向. 例如, du:d

6、v = (-2):3表方向, 也表方向 ， 二者視為同一方向. 曲面S 一點 處切平面的方為：其中 是切平面上一點的向徑 ),(vurr ),(00vup),(00vurR 0),(),(0000 vurvurvv),(ZYXR:,坐標形式為：0),( ),( ),(),( ),( ),(),( ),( ),(000000000000000000 vuzvuyvuxvuzvuyvuxvuvuvuvvvuuuzZyYxXuvdrr dur dvuvdrr dur dv 23drdudv 23drdudv12法向：垂直于切平面的方向法向：垂直于切平面的方向 法線：經(jīng)過曲面上的一點并平行于法方向的直

7、線法線：經(jīng)過曲面上的一點并平行于法方向的直線 法向量法向量:單位法向量：單位法向量：法線的方程為法線的方程為其中其中R（X，Y，Z）是線上任一點的向徑，是線上任一點的向徑， 參數(shù)。參數(shù)。用坐標形式表達的法線的方程為：用坐標形式表達的法線的方程為： uvNrruvRrrr（）),(),(,(),(0000000)0vurvurvurvurvuvun ),(),(),(),(),(0000000000vuzvuyvuzvuyvuvvuuxX ),(),(),(),(),(0000000000vuxvuzvuxvuzvuvvuuyY ),(),(),(),(),(0000000000vuyvuxvu

8、yvuxvuvvuuzZ = = 13 ),(vrr , v 3 , 2 , 1)2 , 1( r )2 , 1(ru 2 , 1 , 1, 1 , 1)2,1( )2 , 1(rv 1 , 1, 1, 1, 1)2,1( )2,1()2 , 1(rrrrvuvun )2,1(|242, 2, 1 , 3141 )2 , 1(rR. 0)2 , 1( n =過點（1，2）的切平面方程是 即3x+y-2z-4=0.例：求求S 在點在點(1,2)處的單位法向量及切平面的方程。處的單位法向量及切平面的方程。 解：14),(vurr )(),(tvvtu ,turr trtv uv vu 0),( vuf3. 3. 曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)S S上的曲線用方程上的曲線用方程曲面曲面消去t得 或 或 微分方程微分方程 表示曲面上的一族曲線，表示曲面上的一族曲線，特別地當特別地當 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)樗硎厩嫔系乃硎厩嫔系膗曲線族（曲線族（v=常數(shù)）。常數(shù)）。當當 它表示曲面上的它表示曲面上的v曲線族曲線族 (v族族) duvuA),(0),( dvvuB0, 0 BA0 dv0, 0 BA0 du或u=（v，c）152),(duvuAdudvvuB),(