行列式定義性質(zhì)與計(jì)算ppt課件

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄2019-2019第二學(xué)期 線性代數(shù)任課教師：孔德洲部 門：信息學(xué)院辦公室：文理大樓 719 室E-mail： 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄線性代數(shù)課程是高等學(xué)校理工農(nóng)科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域。尤其是計(jì)算機(jī)日益發(fā)展和普及的今天，使線性代數(shù)成為學(xué)生所必備的基礎(chǔ)理論知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)工具。通過本課程的學(xué)習(xí)，要使 學(xué)生獲得： 線性代數(shù)課程的性質(zhì)與任務(wù)線性代數(shù)課程的性質(zhì)與任務(wù) 第一章、行列式第一章、行列式 第二章、向量與矩陣第二章、向量與矩陣 第三章、線性方程組第三章、線性方程組 第四章、矩陣的

2、對(duì)角化與二次型的化簡第四章、矩陣的對(duì)角化與二次型的化簡 等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 矩陣矩陣 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄本章要求本章要求 1了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)；了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)；2會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行列展開會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行列展開定定理計(jì)算行列式；理計(jì)算行列式；3會(huì)用克萊姆法則解低階線性方程組會(huì)用克萊姆法則解低階線性方程組.本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 利用行列式的性質(zhì)，計(jì)算行列式利用行列式的性質(zhì)，計(jì)算行列式.第一章第一章 行列式行列式山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄1.1

3、階行列式的概念1.2 行列式的性質(zhì)與計(jì)算1.3 克萊默法則第一章第一章 行列式行列式山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄第一章第一章 行列式行列式1.1 1.1 二三階行列式二三階行列式 考慮用消元法解二元一次方程組 (a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a2122221211212111bxaxabxaxa， (a11a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2第第1 1節(jié)節(jié) 行列式的概念行列式的概念用a22和a12分別乘以兩個(gè)方程的兩端，然后兩個(gè)方程相減，消去x2得 同理，消去x1得021122211aaaa當(dāng)時(shí)，方程組的解為211222112121221a

4、aaababax211222111212112,aaaababax二階行列式二階行列式 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄021122211aaaa當(dāng)時(shí)，方程組的解為211222112121221aaaababax211222111212112,aaaababax為便于敘述和記憶， 引入符號(hào)11122122aaaa21122211aaaaD =D1 =112222baba212122baba稱D為二階行列式.按照二階行列式定義可得D2 =111212abab121211baba于是，當(dāng)D0時(shí)，方程組的解為.,2211DDxDDx山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄333323213123232221

5、211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa三階行列式三階行列式 求解三元方程組用消元法解得山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 j = 1，2，3333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa，時(shí)，當(dāng)DDxDjj 0333231232221131211aaaaaaaaaD 類似引入符號(hào)其中D1, D2, D3分別為將D的第1、2、3列換為常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.三階行列式三階行列式 求解三元方程組稱D為三階行列式.322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa

6、山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄25431 是一個(gè)5級(jí)排列.如，3421 是4級(jí)排例； 例1寫出所有的3級(jí)全排列. 解：所有的3級(jí)排列為：321 .312，231，213，132，123，1.2 1.2 排列排列 n 個(gè)自然數(shù)1,2,n 按一定的次序排成的一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的有序數(shù)組稱為一個(gè) n 級(jí)排列，記為i1i2in.顯然，n 級(jí)排列共有個(gè)n! .其中，排列12n稱為自然排列. 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄3 4 2 1逆序數(shù)的計(jì)算方法逆序數(shù)的計(jì)算方法(向前看法向前看法)43 2 1從而得 (3421)=5.5逆序及逆序數(shù)逆序及逆序數(shù) 定義定義1 1 在一個(gè)級(jí)排列在一個(gè)級(jí)排列i1i2 i1

7、i2 inin中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序. .一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為(i1i2 (i1i2 in). in). 計(jì)算逆序數(shù)時(shí)不要出現(xiàn)重算計(jì)算逆序數(shù)時(shí)不要出現(xiàn)重算, ,一個(gè)逆序只能算一次一個(gè)逆序只能算一次. .山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄1.1.2奇排列與偶排列奇排列與偶排列逆序及逆序數(shù)逆序及逆序數(shù) 定義定義1 1 在一個(gè)級(jí)排列在一個(gè)級(jí)排列i1i2 i1i2 inin中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較

8、小數(shù)個(gè)較小數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序. .一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為(i1i2 (i1i2 in). in). 逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為奇排列.逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列，稱為偶排列. 如如 3421是奇排列，是奇排列，1234是偶排列，因?yàn)?3421)=5.因?yàn)?1234)=0.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄對(duì)換對(duì)換把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼不動(dòng)，叫做對(duì)該排列作一次對(duì)換，簡稱對(duì)換.記為i，j）將相鄰的兩個(gè)數(shù)對(duì)換，稱為鄰換.mlbbbaaa11例如mlbbbaaa11nm

9、lccbbbaaa111nmlccabbbaa111鄰換鄰換baab（a，b） （a，b）山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄定理定理 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性 推論推論2 n時(shí)，n個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為2! n個(gè).(一次對(duì)換改變排列的奇偶性).mlbbbaaa11mlbbbaaa11ab（a,b）nmlccabbbaa111nmlccbbbaaa111ba（a,b）鄰換對(duì)換證明思路：由特殊推一般證明思路：由特殊推一般nmlccbbbaaa111m次鄰換m+1次鄰換山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 定義3 符號(hào)nnn

10、nnnaaaaaaaaa 212222111211稱為n階行列式，元素ai j列標(biāo)行標(biāo)1.3 n 1.3 n 階行列式階行列式n 階行列式定義階行列式定義副對(duì)角線主對(duì)角線行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相同.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄nnnnnnaaaaaaaaa 2122221112111.3 n 1.3 n 階行列式階行列式n 階行列式定義階行列式定義11122122aaaa21122211aaaaD =D1 =112222baba212122baba333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312312332211aaaaaaa

11、aaaaaaaaaaa=山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann 1) n 階行列式共有n!項(xiàng)，正負(fù)項(xiàng)各占一半. n 個(gè)元素的乘積. (2) 在行列式中,項(xiàng)nnjjjaaa 2121是取自不同行不同列的 行列式有時(shí)簡記為| a ij |.一階行列式|a|就是a. =說明：說明：nnjnjjjjjaaa.)1(212121).(其中排列 j1 j2 jn要取遍所有n級(jí)排列.之前的符號(hào)是(3) 項(xiàng)nnjjjaaa 2121)(21)1(njjj行標(biāo)是自然排列總結(jié)：n 階行列式是所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和. 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄在乘

12、積a14a23a31a44a14a23a31a44 a14a23a31a42 a14a23a31a42例如，四階行列式a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 (1)(4312) a14a23a31a42為行列式中的一項(xiàng). 表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng). a14a23a31a42取自不同行不同列, 的列標(biāo)排列為4312所以它不是行列式中的一項(xiàng).中有兩個(gè)取自第四列的元素，(為奇排列)，山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄11122122aaaa2112)21(2211)12() 1() 1(aaaaD =行列式計(jì)算行列式計(jì)算 解：根據(jù)行列

13、式定義解：根據(jù)行列式定義21122211aaaa2112122110) 1() 1(aaaa例例1計(jì)算計(jì)算2 階行列式階行列式D =11122122aaaa山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 例例2計(jì)算計(jì)算 n 階下三角形行列式階下三角形行列式D的值的值其中aii0(i=1, 2, , n).D =a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann 解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D = (-1)(1 2 n)a11a22a33 ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第 n 行只能取a

14、nn. ， 這樣不為零的乘積項(xiàng)只有a11a22a33 ann，所以 a11a22a33 ann.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 例例3計(jì)算計(jì)算 n 階下三角形行列式階下三角形行列式D的值：的值：D =000bnbn-1* 00* b1* 0b2* 解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，D = (-1)(n n-1 21) b1b2b3 bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第 n 行只能取bn . ， 這樣不為零的乘積項(xiàng)只有b1b2b3 bn，所以取bn-1，nnnbbb212)1() 1(副對(duì)角線的下三角形山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)

15、院上頁下頁目錄下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann a11a22a33 ann.上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：a11000a12a2200a13a14a330 a1na2na3nann a11a22a33 ann .對(duì)角形行列式的值：對(duì)角形行列式的值：a11000 0a2200 00a330 000ann a11a22a33 ann .結(jié)論：結(jié)論：山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 副對(duì)角線的下副對(duì)角線的下三角形行列式的值：三角形行列式的值： 副對(duì)角線的上副對(duì)角線的上三角形行列式的值：三角形行列式的值：

16、副對(duì)角線的副對(duì)角線的對(duì)角形行列式的值：對(duì)角形行列式的值：結(jié)論：結(jié)論： 000bnbn-1* 00* b1* 0b2*nnnbbb212)1() 1(*bnbn-10*00 b1000*b200nnnbbb212)1() 1(000bnbn-100000 b1000 0b200nnnbbb212)1() 1(山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT (Transpose)或D .即如果2.1 2.1 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D =，a11a12a1n a21a22a2n an1a

17、n2ann DT =那么.第第2 2節(jié)節(jié) 行列式的性質(zhì)與計(jì)算行列式的性質(zhì)與計(jì)算顯然，( DT )T=D .行列式的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄性質(zhì)性質(zhì)3 用數(shù)用數(shù)k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘以乘以此行列式此行列式.即即a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D =DT.性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列)，行列式的，行列式的值變號(hào)值變號(hào).推論推論 如果行列式

18、如果行列式D中有兩行中有兩行(列列)的元素相同，則的元素相同，則D=0.證明：用定義式證明證明：用定義式證明.ninnjijjjjjjaaaaD.)1(212121).(k 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄性質(zhì)性質(zhì)3 用數(shù)用數(shù)k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘以乘以此行列式此行列式.即即a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D =DT.推論推論1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素

19、為零，則的元素為零，則D0.性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列)，行列式的，行列式的值變號(hào)值變號(hào).推論推論 如果行列式如果行列式D中有兩行中有兩行(列列)的元素相同，則的元素相同，則D=0. 推論推論2 如果如果D中有兩行中有兩行(列列)成比例，則成比例，則D=0.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 性質(zhì)4 若行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和.即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann

20、 .例654321654321654321aacaaaaaca43265432111165432165400321c543654321432874321111654321山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄 性質(zhì)性質(zhì)5 將行列式的某一行將行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以數(shù)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行后加到另一行(列列)對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即即a11ai1aj1an1 a12ai2aj2an2 a1nainajnann a11ai1+kaj1aj1an1a12ai2+kaj2aj2an2a1nain+kajnajnann.k證明：證明：右邊=a

21、11ai1aj1an1 a12ai2aj2an2 a1nainajnann a11kaj1aj1an1a12kaj2aj2an2a1nkajnajnann.=左邊山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算方法：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算方法：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算.為表述方便，引入下列記號(hào)(行用r，列用c)：2)以數(shù)k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以數(shù)k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交換行列式的第i行與第j行，用jirr 表示；山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄例1. 計(jì)算行列式5101242170131312D131

22、224217013510141rrD3400193008310510124232rrrr850002210083105101344 rr1111033208310510114131223rrrrrr3400221008310510143rr解：解：= -85.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄例2. 計(jì)算行列式解：baaaabaaDaabaaaabbaaaabaaaabaababababD3333baaaabaaaabaab1111)3(abababab0000000001111)3(3)(3(abab山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄xaaaxaaaxDxaaaxaanxD111) 1(axaa

23、xaanx00001) 1(1)() 1(naxanx例3. 計(jì)算行列式解：解： 將各行都加到第一行，從第一行提取將各行都加到第一行，從第一行提取x+（n-1a得得山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄nnnacacacbbbaD0000002211210100010001)(221121021nnnnacacacbbbaaaaD 100010001000)(22111021nnniiiinacacacacbaaaa)(1021niiiinacbaaaa)0,(21naaa其中解：例4. 計(jì)算行列式箭形行列式箭形行列式山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院上頁下頁目錄. ,)()4(.,)()3(.),()2(.DD,(1)T乘此行列式等于用數(shù)一數(shù)中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零則此行列式完全相