2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題提分教程第三角恒等變換與解三角形練習(xí)

1、-1 -第 2 講三角恒等變換與解三角形考情研析正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1.邊和角的計(jì)算.2.三角形形狀的判斷.3.面積的計(jì)算. 4.有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視核心知識(shí)回顧1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(a 3)=!sinacosB土 cosasinB ；cos(a 3) =002cosacos3?sinasin3； 3)=g3tanatan33丿1?tanatan3 -2 二倍角的正弦、余弦、正切公式Sin2a =naCOSa ；cos2a = gcosa sin2a

2、=Scos?a 1=購(gòu)2sin2a ；3.輔助角公式4 .正弦定理a01時(shí) snB= sn=2R（2R為BC外接圓的直徑）.變形：a=022Rsin A,b=032Rsin B,c=012Rsin C.sinA=052R, sinBh06, sinC=072R-a:b:c= sinA： sinB： sinC5 余弦定理a2= B!b2+c2 2bccosA, b2= Sa2+c2 2accosB,c2= BSa2+b2 2abcosC.2,2 2b+ca2bccosB=05a2+c2-b22accosC=062abtan(atan2a05 2tana=1tan2a21+cos2acosa=06

3、-21cos2a,si nan07-asina +bcosaa2+b2sin(a+ 0) tan$=a.推論:cosA=04-2 -6 面積公式SAABC=HjbcsinAufacsinB=032absinC7常用結(jié)論(1)三角形內(nèi)角和匚A+B+C=n;abc?02ABC? SsinAsinBsin C;(3)A+B) = sin C, cosCA+B) = cosC743-3 -熱點(diǎn)考向探究考向 1 三角恒等變換與求值例 1(1)已知a為第一象限角,cos1 +sin兀 Ia+三上=(2A.5B.D.答案解析3 COSa= 5 且a為第一象限角,sina45，sin243a =2sinaco

4、sa =2X X =5524,cos225=2cos2acos 2a-1=2X51=25A41+cos2a +sin2asinCOSa724125+ 2514y.(2)已知0 (0n)，且 sin0-tan20 =(4A.3B.C.24D.24答案解析/sinnn =(sin0 cos0)=話(huà)二 sin0 cos10 =5. /0(0r 2且 sin02+cos0 =1,sin40=4，cos30= 5，42tan0二tan0= 3，tan20= 1an024(2019四川德陽(yáng)高三第二次診斷)已知a為銳角，且 tana，貝 y cos i 2a743-4 -22-5 -2sinacosa2ta

5、na242 2 2sina +cosatana+125方法指導(dǎo)方法指導(dǎo) 三角恒等變換的常用技巧是“化異為同”，即“化異名為同名” “化異次為同次”“化異角為同角”，其中涉及sin 專(zhuān)，cos2-時(shí)，常逆用二倍角余弦公式降幕.(2)常見(jiàn)的“變角”技巧：1a =(a + 3) 一3=3 (3 a), a =(a + 3)+(a3) ,4+a=-2 j4 a,a=才一i才a等，使用“變角”技巧時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件中的角，選擇恰當(dāng)變角技巧.對(duì)點(diǎn)精練1 .在ABC中，若 tanAtanB= tanA+ tanB+1，貝 U cosC的值為()A.C.答案 B,口tanA+tanB卄解析由tanAtanB=

6、tanA+tanB+ J 可得 1 tan 仙B一1，即tan(A+一又因f(x) a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是(A.A.2425B.1625C.D.答案 A解析aCOSaB.D.為A,B是厶ABC的內(nèi)角，即A+B (0 ,所以A+B=節(jié)，易知0=亍,cosO2. (2019 遼寧撫順高三一模)已知函數(shù)f(x) = sinx cosx+71B.D.6 ，若在區(qū)間22-6 -C.答案 A-7 -區(qū)間-|0,-3上f(x) a恒成立，故a-2，所以a的最大值為一申.故選 A .2sinasina +cosa- =22sina2 sina +cosa考向 2 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用例 2 (201

7、9 遼寧撫順高三一模)已知a,b,c分別是ABC勺三個(gè)內(nèi)角A,B, C的對(duì)邊，若a= 10,角B是最小的內(nèi)角，且 3c= 4asinB+ 3bcosA(1) 求 sinB的值；(2) 若c= 14,求b的值.解 (1)由3c= 4asinB+ 3bcosA且A+B+C=n,由正弦定理得3sinC= 4sinAsinB+3sinBcosA,即 3sin(A+E) = 4sinAsin B+ 3sinBcosA由于 0A0,整理可得 3cosB3=4sinB,又 sinB0,所以 sinB= 5.n34(2)因?yàn)榻荁是最小的內(nèi)角，所以0B亍 又由知 sinB=5,所以 cosB= 5，由余弦定理得

8、b2= 142+ 102 2X14X10X5 = 72，即b= 6 2.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)(1) 利用正、余弦定理解三角形時(shí)，涉及邊與角的余弦的積時(shí)，常用正弦定理將邊化為角, 涉及邊的平方時(shí)，一般用余弦定理.(2) 涉及邊a, b,c的齊次式時(shí)，常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值，再利用三角公式進(jìn)行變形.解析7t函數(shù)f(x) = sinx cos jx + 6 =5sinx故一x-,6 6 6 2-2.由于在A.C.已知 tan ia+ 2，且a0,則22sina +sin2 a/、z二-等于()cosna4答案解析3.，1010由 tan+ 號(hào)=晉土 1 = 1，得 tan41ta na2a=1.又

9、一n2a0,所以 sin32+sin2acosa6 _2.當(dāng)x= 0 時(shí)，函數(shù)的最小值為一-8 -1(3)涉及正、 余弦定理與三角形面積綜合問(wèn)題，求三角形面積時(shí)用S=-absinC形式的面積公式.對(duì)點(diǎn)梢練已知ABC中，角A,B, C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足acos2C+ 2ccosAcosC+a+b=0.(1) 求角C的大??；(2) 若b= 4sin B,求ABC面積S的最大值.2解 (1)由acos2C+ 2ccosAcosC+a+b= 0，得a (2cosC 1) + 2ccosAcosC+a+b= 0,2即 2acosC+ 2ccosAcosC+b= 0.由正弦定理，得 2sin

10、AcosC+ 2sinCcosAcosC+ sinB= 0,/ 2cosCsin(A+C) + sinB= 0,即卩 2cosCsinB+ sinB= 0.1/0B3ab,考向 3 解三角形的綜合問(wèn)題角度 1 解三角形與三角恒等變換的綜合例 3 (2019 福建省高三模擬)已知在ABC中,AC= 3,C=120, cosA= 3sinB(1)求邊BC的長(zhǎng);設(shè)D為AB邊上一點(diǎn)，且BCD勺面積為 卑3求 sin /BDC8解 (1)由 cosA= 3sinB及C= 120,即 cos(B+ 60 ) = 0,所以B= 30得 cos(60ABC面積S的最大值為，3.cosB+-9 -所以A= 60

11、B= 30, 即卩A=B= 30,所以BC=AC=3.由SBCD=x3xBDsin3015 .38-10 -求需的值;若 cosB= 4,b= 2,求厶ABC的面積.2cosC)sinB= (2sinCsinA)cosB,cosAsinB 2cosCsinB=2si nCcosB sinAcosB,cosAs inB+ sinAcosB= 2sinCDOSB+2cosCs inB化簡(jiǎn)得 sin(A+E) = 2sin(B+C)，又A+B+C=n,sinC所以 sinC= 2sinA,因此 =2.sinAsinC1o由 =2，得c= 2a,由余弦定理b=a+c 2accosB及 cosB= ,b

12、= 2，得 4=asi nA4221+ 4a 4ax4，得a= 1，從而c= 2.又因?yàn)?cosB=1,且 0B0,所以AD=3.真題修押題真題模擬1.(2019 山東聊城高三一模)設(shè)函數(shù)f(x) = sinx cosx，若對(duì)于任意的x R,都有f(201B.2DY答案2 . (2018 全國(guó)卷川2 . 2 2a+bc4，貝 y C=(nA.yD.答案解析f(x) = sinx cosx2sinxnx4 ,由f(20 x) =f(x)，得x=0是函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸,n n一一/ 口0 = +kn,k Z ,得0 =乎+kn ,kZ. sin 20 7tsin3n+2k71-n=sin7r=1

13、故選 B.解析由題可知2 2 21a+bcSA ABC= ?absinC=-4-，所以a2+b2c2= 2absinC由余弦定理得a21A.2)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若厶ABC的面積為B.-14 -所以 sinC= cosC / C (0 ,n)C=亍.故選 C.3 . (2019 全國(guó)卷n)已知a7t 0, , 2sin2a= cos2a+ 1,貝Vsina=()+bc= 2abcosC-15 -1A.5B.D.2;5答案解析2sin2a =cos2a +1,得 4sinacosa=2cos12,/ sina並.故選 B.4. (2019 河南頂級(jí)名校高三四模）已知s

14、in(2a + 3)sin3 ,cos3的最小值為（）sin(sin(5tan答案解析因?yàn)?sin(2a + 3)=sin3，即sin(3)cosa3)cosa,那么 tan3+cos(a+ 3)sin3a =?sin(=5cos(a + 3)sina? tan(a1+5tan2a4tan5ta natan30, tan3 0,tana時(shí)等號(hào)成立.因此 tan23=5I冗i0, , cos30? cos3故選 A.5. (2018 全國(guó)卷n)已知 sina+ cos3= 1, cosa+ sin3= 0，則 sin(a+3)=答案解析2 2解法一：因?yàn)?sina+ cos3= 1 , cosa

15、+ sin3= 0,所以(1 sina) + ( cosa)=1,所以1 1 1 12sina= 2, cos3= 2,因此匕 sin(a+3) = sinacos3+ cosasin3=2 cosa1 1+ sin42111a= 41+4=2解法二：由(sina+ cos3)2+ (cosa+ sin3)2= 1,得 2 + 2sin(a+3) = 1,所以 sin(a-16 -17 -+ 3)=-6.(2019 浙江高考)在厶ABC中，/ABC=90,AB=4,BC=3，點(diǎn)cos(90 /CBD= sin /CBD=sinn -(/C+/BDC=sin(/C+/BDC=45，則BD=,co

16、s /ABD=答案12.2510解析如圖,易知 sin /C=4,5BD3cos /C=.在BDC中，由正弦定理可得5BCsin /Csin /BDC43X亡 由/BC-sin /CBD= sin /BDC= =2=飛2ABC=/ABDF/CBD=90, 可得 cos /ABD=/BDCFcos/C-sin /BDC=52金版押題7.已知 sinx+ 3cosx= ,貝 U cos 疳n-x=65,3A，-5C-5答案 B解析 sinx+ *3cosx= 2 si nx+ 于 cosx=即 cosnnx=36丿 5B.D.Inn.sin sinx+ coscosx= 2cos D在線(xiàn)段AC上若

17、BDC= sin / C- cos-18 -19 -b8.在ABC中,角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若3 辭1A.2C.答案1B=3,又 B (0 ,n), B=n, cosB=云故選 B.32配套作業(yè)、選擇題1 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,1A.2D. 1答案 B解析心ABC中，由正弦定理，得譯=骼 1,重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（.3, 1），則COSa+3的值是(解析由已知得 sina2, cosa =，所以 cosn1a + =_COSa 3 23 .-sina =0.就則cosB=()1B. 2二tan始邊與x軸的非負(fù)半軸B. 0-20 -2. (

18、2019 貴州凱里第一中學(xué)模擬)如圖，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，24D25解析大正方形的面積為 225,小正方形的面積為9,二大正方形的邊長(zhǎng)為 15,小正方形的邊3.設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的長(zhǎng)直角邊為X, 則短直角邊為X 3,由勾股定理得X2+ (x 3)2= 152,解得x= 12,a為直角三角形較小的銳角，所以sin3a=54COsa= 5，所24以 sin2a =2sinacosa =二:.253在ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是a,b,c.若a=b,A= 2B,則cosB=()B.D.答案 B解析 /anfb，由正弦定

19、理，得sinA=2sin又TA= 2B,. sinA= sin2B,sinA= 2sinBcosB.由且角BABC的內(nèi)角得COSB=_45.4. (2019 內(nèi)蒙古呼和浩特市3 月質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊過(guò)P( 2,1),2則 cosa Sin2a的值為()24A.258B. 8答案 B-21 -的面積為 9,直角三角形較小的銳角為a，則 sin2a=()1A.2512C 25答案-22 -2cosa 2sinacosa12tana8,sin2a=22=2=，故選 B.sina +cosatana +15n5.(2019 四川德陽(yáng)第二次模擬)在厶ABC中,BD是AC邊上的高，A=

20、, cos/ABC-4則BD八ACA.C.答案6.如圖，在厶ABC中，B= 45,D是BC邊上一點(diǎn)，AD=5,AC=7,DC=3,則AB=()答案 A解析在平面直角坐標(biāo)系中，角a的終邊過(guò)F( 2,1) , tana122,貝 U cos2B.D.解析/ cos /ABC=-5-, sin /ABC=1,sinC= sin /AB(+-4/ BD是AC邊上的高,如圖，由正弦定理可知ACBC加 2 10= ，即AC=-sin/ABCnsinBCBD105BCAC- 2 盲=5 BC故選 A.A.5 .62C.7,32D.8,33/AB(+cos /ABC=弟,BD= BCsinC=-23 -解析在

21、厶ACC中，由余弦定理可得cosC=49+9252X7X31114則 sinC=.在厶ABC中,由正弦定理可得ABsinC=-ACB則AB=專(zhuān),選 A.-24 -7.(2019 河南信陽(yáng)高三模擬)已知函數(shù)f(x) = 2 3sinxcosx 2cos2x+ 1,且y=f(x)的圖象沿x軸方向平移m個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則im的最小值為()A.nC.答案 C解析f(x)= 2 3sinxcosx 2cos2x+ 1 = 3sin2x cos2x= 2sin2x十，將y=f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位(若m0,則為向右平移一m個(gè)單位)，得到g(x) = 2sin j2x+ 2m-,%

22、 I%2m- - = 0，可得 2m- = kn,kn nnk Z, m=+12，k Z,則|m的最小值為 12.故選 C.二、填空題8 .已知 cos1a+ + sina= 3，則 cosI才2a的值是 _答案-丄為_(kāi)答案343fn4sin2a解析 由 cosaa 0，得 sina= 1 cosa=5,2,=5,-1cos2a32sinacosacosa532sinasina =4=4.510.在厶ABC中，內(nèi)角 代B, C的對(duì)邊分別是a,b,c,若 sin2Asin2B= ,3sinBsinC,sinC= 2屆 n B,貝U A=_ .答案 30(B.D.解析1 =725.9. (2019

23、 遼寧遼南協(xié)作體高三一模)已知 cosa的值a+n+sin6a = cos coscos=2cos2、sin2a0,則 ET7-25 -解析 根據(jù)正弦定理可得a2b2= 3bc,c= 2 3b,解得a 7b.根據(jù)余弦定理 cosQ2 2 2b+ca2bcb2+12b27b2_犬2XbX23b2實(shí)數(shù)m的取值范圍是 _答案 L 3,+)于一書(shū)3.三、解答題13l12. (2019 上海金山區(qū)第二學(xué)期質(zhì)檢)已知ABC中, tanA= -, tanB= 5,AB=17.求:(1) 角C的大?。?2) ABC中最小邊的邊長(zhǎng).解(1)tanC=tann (A+B)= tan(A+B)1+ 34+53n匚刁

24、一1，所以C= -4-.1-4X5因?yàn)?tanAtanB,所以最小角為A,又因?yàn)?tanA= 所以 sinA=77,所以最小邊a=竿A=廠丄=邊. sinC也v22213.已知ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a,b,c,aab 2b= 0.，得A= 3011.已知不等式32mC0對(duì)任意的罟三x6 恒成立，則解析依題意得,3 羽 sinXcos4 +6cos2X4冷62m=晉 sin5nmco在 |tanA+ tanB1 tanAtanBc=AB=17,又asinAcsinCx xsin cos二 +44xcosm=26 ,才上恒成立，二-26 -若B=-6，求C;若C=2nn，c=14,

25、求SABC3n22B= ,aab2b=0,于是 sinA= 1 或 sinA=空(舍去)因?yàn)?0An，所以A=-2，所以C=3*(2)由題意及余弦定理可知a+b+ab= 196,由aab 2b= 0 得(a+b)(a 2b) = 0,即a= 2b,聯(lián)立解得b=27,a= 4 材 7.所以 &ABC=absinC= 14：j3.14. (2019 湖南永州高三三模)在厶ABC中,角A B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 sinB+ 3cosB=0,a= 1,c= 2.(1)求b;如圖，D為AC邊上一點(diǎn)，且BDL BC,求厶ABD勺面積.解 (1)由 sinB+ 3cosB= 0 得，ta

26、nB= ,3,又 0Bn，所以B=警由余弦定理得，b=a+c 2accosB=1 + 4 2X1x2x由(1) 得, cosC=毛士=+74尸于sinC= , 1 cos2C=丐，即 tanC=2n n n/AB1ABC-ZDB=-n-nr =n6,解(1)由已知結(jié)合正弦定理得2sinA sinA 1 = 0,2 = 7,所以b= 7.在 Rt BDC中,BD= BC-tan-27 -所以&ABD=1xABx BDSin /ABD=1x2X寧x24?.15.在四邊形ABCD中,AD/ BC AB=2,AD=1,A=(1)求 sin /ADB2n 若/BD(-，求四邊形ABC啲面積.3解

27、(1)如圖，在ABD中,AB=2,AD=1,A=2,由余弦定理，得BD=AB+AD 2AB AD*cosA,即BD=4+12X2X1xcos解得BD= . 7.在厶ABD中，由正弦定理，得BD ABsinA= sin/ADB解得 sin /ADB=217設(shè)/CBD=a,因?yàn)锳D/ BC所以/ADB=ZCB=a，所以 sina.21因?yàn)?0a寺，所以 cosa竽，因?yàn)?BD(=a =sin 才 cosacos fsina=./3314在厶BCD中， 由正弦定理得旦=BC即血=sinCsin /BDC2114BC2n sin2解得BC=7.所以 SBCD=1BD-BC-sinX7X7sinE2si

28、n /ADB所以 sinC= sin-28 -16.如圖，已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B, C的對(duì)邊，且acosC+3asinCbc= 0.(1)求A；1/129若AD為BC邊上的中線(xiàn)，cosB= 7,AD=亠廠，求ABC的面積.解(1)acosC+ 3asinC- bc= 0,由正弦定理得 sinAcosC+ 3sinAsinC= sin B+ sinC,即 sinAcosC+ 3sinAsinC= sin(A+C) + sinC,又 sinCM0,所以化簡(jiǎn)得，3sin A cosA= 1,1所以 sin(A 30 ) =在厶ABC中, 0A0),則在ABD中,AD=AB+BD-2

29、AB- BDfcosB,即129= 25x2+ 4x49x21 1 12x5xx5x7xx7，解得x= 1，所以a= 7,c= 5，故SAABC=acsinB= 10 3.規(guī)范答題系列三角函數(shù)與解三角形類(lèi)解答題SAAB片1AB-AD-Sin/BAD=2x2X1Xsin2n3T=T.所以四邊形ABCD勺面積S=SBCD+SAABD=7,3 斗2 才= 43.由正弦定理得,asinA7csinC5-29 -(12 分)已知函數(shù)f(x) = , 3sin3xcos3x sin2x+ 1(w0)的圖象中相鄰兩條-30 -對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為 2.(1) 求3的值及函數(shù)f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 已知a,b,c分別為ABC中角A,B, C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足a=3,f(A) = 1,求厶ABC面積S的最大值.解題思路(1)首先將函數(shù)解析式化為“一角一函數(shù)”的形式，然后利用函數(shù)圖象中對(duì)稱(chēng) 軸之間的距離確定函數(shù)的周期，從而求得3的值，最后利用換元法求得函數(shù)的遞減區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)問(wèn)所得，利用f(A) = 1 求得角A,再根據(jù)余弦定理建立b,c的關(guān)系式，利用基本不 等式求得bc的最大值，將其代入面積公式即可.n2n因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的