坐標(biāo)平面上的直線的知識點(diǎn)及拓展

1、坐標(biāo)平面上的直線的知識點(diǎn)及拓展第1部分：基礎(chǔ)知識直線方程方向向量d法向量n斜率k點(diǎn)方向式方程X0 y _y。 u 式 0,V 式 0 U一 V(u,v)(v,-u )V u點(diǎn)法向式方程a(x -X。)+b(y _y° )=0(-b,a )(a,b)a,小-b 式 0 b點(diǎn)斜式方程y y°= k(x X0 )k 存在(1，k)(k,-1)k一般式方程ax+by+c=0a, b 不全為 o(-b,a )(a,b )a,小b鼻0b1 已知直線 11 : a/ dy & = 0 ；直線丨2: a2xb2y q = 0ax+biV + G = 0(i)如何判定兩條直線位置關(guān)系

2、？判定方程組丿1 丫解的情況a2 x + b2 y + c2 = 0(2) h 丨2 ：= _ae2 二 a2b1，a© = a2c1 或b = b2c1(3)求li與丨2的夾角的公式:cos：卜住2+db2|.ai2 - bi2、.a22 b22角的范圍:(4) h _ 丨2 ：= a1a2db2 = 02、已知直線l : ax by 0，點(diǎn)P x0, y0是直線I外一點(diǎn)，貝U點(diǎn)P到直線I的距離公式d =嚴(yán)c ； .a2 亠b23、已知直線l1: ax by c -0 ；直線l2 : ax by c2 =0，則l1 / 或重合 l2，且l1與l2之間的距離 公式為d二上二第2部分：

3、拓展知識1 .直線方程的應(yīng)用例1已知等腰直角ABC的斜邊AB所在的直線為3x-y，5 = 0，直角頂點(diǎn)為C(4,-1)，求兩條直角邊所在的直線方程。 2x y -7 =0或x -2y -6 =0兀分析：作出示意草圖，知兩條直角邊所在的直線的斜率存在，并且與斜邊AB所在直線的夾角為 一。4例2求過點(diǎn)(0, -1)，且被兩條平行直線2x y -6 =0和4x 2y -5 = 0截得長為7的線段的直線丨的方2程。3x 4y 4 =0或 x = 0分析：作出示意草圖，由兩平行線之間的距離d 7.1 知,2.52問題應(yīng)有兩解例3已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P( -2,3)，依下列條件求直線l的方程。(1) 直線l在

4、兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等；3x 2y = 0或xy1=0或xy5=0(2) 直線l在x軸、y軸上解得的線段分別為 OA、OB且|OA|=|OB|。 3x2y=0或xy1=0 例4在正方形ABCO中，0坐標(biāo)原點(diǎn)，向量 OA=(3,4)，求正方形 ABCO各邊所在的直線方程。OA 4x -3y = 0 ； 0C : 3x 4y = 0 ； CB : 4x -3y 25 = 0 ； AB 3x 4y - 25 = 0。2 .直線的傾斜角和斜率3 -例5直線y = xsi n3的傾斜角的范圍是很三0, -，二)44例6已知直線丨方程為ax by 0 ,若ac ： 0 , bc 0，則此直線丨不經(jīng)過

5、(A)第一象限；(B )第二象限；(C)第三象限； (D )第四象限。B。例7已知直線l經(jīng)過P(0,0)和Q(cosysin旳(才( .0)兩點(diǎn)，求直線丨的斜率和傾斜角。2例8研究直線l的斜率k (k = 0)的幾何意義。例9已知直線l : y二kx 1與兩點(diǎn)A( -1,5) > B(4, -2)，若直線l與線段AB相交，求直線l的斜率k和3 応H3傾斜角：的取值范圍。k (-：,-4 一.- ，=)；:；三0,)-(，二-arctan4 二-arctan ,二)。4 2243 .對稱冋題(1)中心對稱：設(shè)點(diǎn)P(x。，y。)，點(diǎn)M (m,n)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)的對稱點(diǎn)P

6、(x, y)的坐標(biāo)公式為：X2mx°，即p(2mx,2n y)。y=2 n-y。例10求直線l1 : .3x y 0關(guān)于點(diǎn)M ( -5, -4)的對稱直線l2的方程。 3x y 10 3,5=0。例11已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,1)，若直線l被直線l1 : x-3y，10 = 0和直線l2: 2x，y-8=0截得的線段AB的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，求直線l的方程。x，4y-4=0。(2)軸對稱：已知直線l : ax by 0 ( a、b不同時(shí)為零)和點(diǎn) P(x0, y0)，則點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P (x, y)的坐標(biāo)計(jì)算公式為:2a(axo +by° +c)=Xq -2 . 2a +

7、b2b(axo +byQ +c) =yQ 2.2a +b例12光線從點(diǎn)A(4,1)射出，經(jīng)x軸反射后再經(jīng)y軸反射，最后到達(dá)點(diǎn)B(1,6)，求光線經(jīng)過的路程。解：點(diǎn)A(4,1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為 A (4, -1)，B(1,6)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為 B (_1,6)。作出大致草圖可知，光線經(jīng)過的路程為線段A B 的長，即| AB=,i4匚(二1)2(二1匚62例13 已知點(diǎn)A(4,1)和直線丨：2x - y -1 = 0，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)。右點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(1,-2)，求PAHPBI 的最小值；(| PA|PB |)min =| AB "|=斗(4 冷)2+(1+|)2 =*34若

8、點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-h-2)，求|PA|-|PB|的最大值。(|pA|PB|)max tbaT二4齊匸胃='/730例14 ABC中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(4,3)。AC邊上的中線所在直線的方程為：4x 13y -10 = 0，ABC的平分線所在直線的方程為 x2y-5=0。求AC邊所在直線的方程x - 8y 20 = 0。(3)幾個(gè)特殊的對稱：設(shè)直線l的方程為f (x, y) = 0，則(i)直線l關(guān)于直線x二a對稱的直線方程為l : f (2a - x, y) = 0 ；(ii) 直線l關(guān)于直線y=b對稱的直線方程為 ： f(x,2b-y)=0 ；(iii) 直線l關(guān)于直線y=x對稱的直線方

9、程為l1 : f(y,x)=0 ；(iv) 直線l關(guān)于直線y - -x對稱的直線方程為l2: f(-y,-x)=0 ；(v) 直線l關(guān)于直線y=xb對稱的直線方程為l3: f(y-b,x，b)=0 ；(vi) 直線l關(guān)于直線y = -x +b對稱的直線方程為l4: f (b - y, b -x) = 0。例15 (1)直線l1 : 2x -y-1 =0關(guān)于直線l : x - -2對稱的直線l2的方程是2x y 0(2) 直線l1 : 2x-y-1=0關(guān)于直線l : y=x對稱的直線l2的方程是； x-2y-1=0(3) 直線l1 : 2x-y-1=0關(guān)于直線l : x-y'1=0對稱的

10、直線l2的方程是x-2y'4=0兀例16函數(shù)y =asin x - bcosx圖像的一條對稱軸方程是 x二一，則直線ax - by，c = 0的傾斜角為4(A) 45 ;( B ) 135 ;(C) 60 ;( D ) 120B。4 .直線系例17兩條平行直線之間的距離是2，其中一條直線是3x _4y 5 =0，則另一條直線的方程是 。3x -4y -5 = 0或 3x -4y 15 = 0例18對于直線l上任一點(diǎn)P（x, y），點(diǎn)Q（4x 2y, x 3y）仍在此直線上，則直線l的方程是x y = 0或 x2y = 0例19已知直線li和直線12的方程分別為li : fi（x,y）=

11、0, J : f2（x,y）=0，若直線h和直線J有交點(diǎn) P（x°, y°），求證：直線 l : f1（x, y） f2（x, y） =0 必過交點(diǎn) P（x°, y°）。例20當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，直線 （a-1）x-y 2a 1 =0恒過一定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)是 （-2,3）例21根據(jù)下列條件，寫出直線的一般式方程：（1） 經(jīng)過直線l1 : 2x-y1=0與l2 : 2x2y_1=0的交點(diǎn)且與直線l3 : 5x - y = 0垂直；6x30y_19 = 0（2） 經(jīng)過直線h ： x-y1=0與I2 : 2x y 2 = 0的交點(diǎn)且與直線 怯:3x亠4y-12=

12、0平行。3x，4y，3 = 0。第3部分：基礎(chǔ)訓(xùn)練1、 已知 ABC中，.BAC -90，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為 4,2， 2,8，向量d =3,2且d與AC邊平行，求-ABC的兩條直角邊所在直線的方程。（分別用點(diǎn)方向式、點(diǎn)法向式、點(diǎn)斜式、一般式表示）lAC : 2x -3y 20 =0 ； lAB :3x 2y -10 ；2、 若直線的傾斜角 a滿足tana <1，求a的取值范圍；b,u |,n'1 44丿3、 討論：直線l1 : m-2x，y，m=0 ；直線l2: 3x my m0的位置關(guān)系；m = 3且m = -1時(shí)，相交；m二-1時(shí)，平行； m = 3時(shí)，重合；4、已知 A

13、BC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A1,3、B3,1、C -1,0，求S abc ；53T5、 直線l過點(diǎn)P -2.3且與直線l1 : x - 3y 2 =0的夾角為一，求直線I的方程；x 0或x 3y _1 =03第4部分：高考模擬1. （黃浦2011年4月理科）直線I： 3x-y 0 , l2： x 0，則直線l1與l2的夾角為= p62. （上海十校2011年第二學(xué)期高三第二次聯(lián)考理科 ）平面上三條直線 x-2y，1=0, x-1 = 0,x，ky=0 ,如果這三條直線將平面劃分為六部分，則實(shí)數(shù)k的取值集合為 .0,-1,-2：3. （閔行2011屆文科）經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）且法向量為d =（2, -1）的直線l的方程為. 2x-