頻域濾波器設(shè)計(數(shù)字圖像處理實驗報告)

1、數(shù)字圖像處理作業(yè)頻域濾波器設(shè)計摘要在圖像處理的過程中 , 消除圖像的噪聲干擾是一個非常重要的問題。本文利 用 matlab 軟件, 采用頻域濾波的方式 , 對圖像進(jìn)行低通和高通濾波處理。低通濾 波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量， 由于圖像中的邊緣和噪聲都對應(yīng) 圖像傅里葉頻譜中的高頻部分， 所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊 邊緣輪廓； 高通濾波是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量， 所以高通濾波 可以保留較多的邊緣輪廓信息。 本文使用的低通濾波器有巴特沃斯濾波器和高斯 濾波器，使用的高通濾波器有巴特沃斯濾波器、高斯濾波器、 Laplacian 高通濾 波器以及Unmask高通

2、濾波器。實際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)實際圖像中包含的噪聲情況 靈活地選取適當(dāng)?shù)臑V波算法。1、頻域低通濾波器：設(shè)計低通濾波器包括butterworth and Gaussian (選擇合適的半徑，計算功率譜比),平滑測試圖像testl和2。實驗原理分析根據(jù)卷積定理，兩個空間函數(shù)的卷積可以通過計算兩個傅立葉變換函數(shù)的 乘積的逆變換得到，如果f(x, y)和h(x, y)分別代表圖像與空間濾波器， F(u, v)和H(u, v)分別為響應(yīng)的傅立葉變換(H(u, v)又稱為傳遞函數(shù))，那 么我們可以利用卷積定理來進(jìn)行頻域濾波。在頻域空間，圖像的信息表現(xiàn)為不同頻率分量的組合。如果能讓某個范圍 內(nèi)的分量或某些頻率的

3、分量受到抑制，而讓其他分量不受影響，就可以改變 輸出圖的頻率分布，達(dá)到不同的增強(qiáng)目的。頻域空間的增強(qiáng)方法的步驟:(1)將圖像從圖像空間轉(zhuǎn)換到頻域空間;(2)在頻域空間對圖像進(jìn)行增強(qiáng);(3)將增強(qiáng)后的圖像再從頻域空間轉(zhuǎn)換到圖像空間。低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量。圖像中的邊緣和 噪聲都對應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪 聲的影響并模糊邊緣輪廓。理想低通濾波器具有傳遞函數(shù)：其中DO為制定的非負(fù)數(shù)，D(u,v)為點(u,v)到濾波器中心的距離。功率譜比的定義:Pf(u,v)其中，Pf(u,v)為濾波前圖像的功率譜，Pg(u,v)為濾波后圖像的功率譜。2 2頻

4、率計算公式為：Pf(u,v) = F(u,v)| , Pg(u,v) = G(u,v)。Butterworth 濾波器設(shè)計：理想低通濾波器在數(shù)學(xué)上定義得很清楚，在計算機(jī)模擬中也可實現(xiàn)，但在截斷頻率處直上直下的理想低通濾波器是不能用實際的電子器件實現(xiàn)的。n階Butterworth低通濾波器（BLPF的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點的距離為Dj定義如下：1H(u,v) 1 D(u,v)/D°2n( 1)其中,D(u , v)= (u-M/2)2+ (v-N/2)2。(2)不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒有明顯的截斷。 對 于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個截止頻率的位

5、置并使 H（u, v）幅度降到其 最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D（u，v）=D0時，H（u，v）=0.5 （從最大 值降到它的50%。一階的巴特沃斯濾波器沒有振鈴，在二階中振鈴?fù)ǔ：芪⑿?，這是因為與理 想低通濾波器相比，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的跳躍，在高低頻率間的過渡比較光滑。巴特沃斯低通濾波器的處理結(jié)果比理想濾波器的要好，但階數(shù)增高時振鈴便成為一個重要因素。本次實驗中設(shè)計實現(xiàn)了二階巴特沃斯濾波器。根據(jù)以上原理設(shè)計Butterworth低通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示：源圖像test1.pgmButterworth 低通 濾波圖 test1.pgm源圖像test2.tifButterwo

6、rth 低通濾波圖 test2.tif(3)(3)理想低通濾波器有明顯的振鈴現(xiàn)象，而巴特沃斯濾波器的效果較好計算得test1的功率譜比L=0.9939b test2的功率譜比為0.9902cGaussian濾波器設(shè)計：二維高斯低通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為：H（u，v）=1-eMu，v）X(3)其中，D（u , v）= .（u-M/2 ）+ （v-N/2 ）。二表示高斯曲線擴(kuò)展的程度。使 c=D0, 可以將濾波器表示為：H（u，v）=e（u,v）/2D（4）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D （u，v）=D0時，濾波器下降到它最大值的0.607倍 處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是

7、說通過式（3）或式（4）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計Gaussian低通濾波器，處理結(jié)果如下：源圖像testl.pgmGaussian 低通濾波后的 test1.pgm(r=5)(3)源圖像test2.tifGaussian 低通 濾波后 的 test2.tif(r=5)Gaussian 低通濾 波后的 test2.tif(r=15)Gaussian 低通濾波后的 test2.tif(r=30)Gaussian 低通濾 波后的 test2.tif(r=80)Gaussian 低通濾 波后的 test2.tif(r=230)可見，當(dāng)濾波器的半徑不同時，對應(yīng)的

8、濾波效果也不同。半徑越小，平滑 效果越明顯，但半徑過小，會使得圖像變得模糊不清。計算得testl （r=5）的功率譜比L= 0.4674。test2 （r=5）的功率譜比為 L=0.2930。0如 D(u,v)ED°1如 D(u,v)ZD0其中,D(u，v)=(u-M/2)2+( v-N/2)。(6)2、頻域高通濾波器：設(shè)計高通濾波器包括 butterworth and Gaussian，在頻域增強(qiáng)邊緣。選擇半徑和計算功率譜比，測試圖像test3,4 :實驗原理分析高通濾波是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量。 理想高通濾波器傳 遞函數(shù)表示為：H （u,v）= <Butter

9、worth 濾波器設(shè)計：n階Butterworth高通濾波器（BLPF的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點的距 離為D。）定義如下：(5)H ( u，V)_ 1. I d 0 D ( U , V ) 2 n不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒有明顯的截斷。 對 于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個截止頻率的位置并使 H（u，v）幅度降到其 最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D（u，v）=D0時，H（u，v）=0.5 （從最大 值降到它的50%。根據(jù)以上原理設(shè)計Butterworth高通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示：源圖像 test3 orrupt.pgmcButterworth 高通濾波

10、圖 test3 orrupt.pgmc源圖像 test4 copy.bmpButterworth 高通 濾波圖 test4 copy.bmptest4的功率譜比為0.0547。計算得test3的功率譜比為0.0851Gaussian濾波器設(shè)計：二維高斯高通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為：H（u, v）=1-eD2（u,v咗（7）其中，D（u，v）=（ u-M/2）2+（v-N/2）2。二表示高斯曲線擴(kuò)展的程度。使；=D0, 可以將濾波器表示為：H（u，v）=1-ee（u,v）/2V（ 8）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D （u，v）=D0時，濾波器下降到它最大值的0.607倍 處。由于高斯低通濾波器的傅

11、里葉反變換也是高斯的，這就是說通過式（7）或式（8）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計Gaussian高通濾波器，處理結(jié)果如下：源圖像 test3 corrupt.pgmcGaussian 高通濾波后的 test3 corrupt.pgm(r=5)cGaussian 高 通濾波后的 test3 corrupt.pgm(r=15)Gaussian 高通濾 波后的 test3 cOrrupt.pgm(r=30)Gaussian 高通濾波后 的 test4 copy.bmp(r=30)Gaussian 高通濾波后的 test4 copy.bmp(r=15)可見，當(dāng)濾波

12、器的半徑不同時，對應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，邊緣 效果越明顯。一般圖像中的大部分能量集中在低頻分量里，高通濾波會將很多低頻分量濾除，導(dǎo)致增強(qiáng)圖中邊緣得到加強(qiáng)但光滑區(qū)域灰度減弱變暗甚至接近黑色。為解決這個問題，可對頻域里的高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)加一個常數(shù)以將一些低頻分量 加回去，獲得既保持光滑區(qū)域又改善邊緣區(qū)域?qū)Ρ榷鹊男Ч＿@樣得到的濾波器稱為高頻增強(qiáng)濾波器。計算得test3( r=5)的功率譜比L= 0.0591,test4( r=5)的功率譜比為L= 0.4449, 3、其他高通濾波器：拉普拉斯和 Unmask對測試圖像test3,4濾波；比較并討 論空域低通高通濾波(Project3 )

13、與頻域低通和高通的關(guān)系； 實驗原理分析拉普拉斯高通濾波器公式表示如下：匚4 =(j2：u)nF(u)(9)dx從這個簡單的表達(dá)式可以得到：/fqy) 齊(：$ = 4二 2(u2 v2)F(u,v)(10)excy所以，-i 2f(x,y) = 一4二2(u2 v2)F(u,v)(11)即頻域的拉普拉斯算子可以有如下濾波器實現(xiàn)：H (u, v) = -4.2 (u2 v2)( 12)前提是F(u, v)的原點在進(jìn)行圖像變換之前已通過執(zhí)行運算f(x,y)( 1)iy中心化了，使得變換中心(u,v)=(0,0)就是頻率矩形的中點(M/2，N/2)。因此H(u,v) - -4 2(u-M/2)2 (

14、v N/2)2。根據(jù)以上分析，設(shè)計拉普拉斯算子高通濾波器，處理結(jié)果如下:源圖像 test3 corrupt.pgmLaplacian 高通濾波圖 test3 corrupt.pgm源圖像 test4 copy.bmpLaplacian 高通 濾波圖 test4 copy.bmp由于拉普拉斯高通濾波器將原始圖像完全加回到濾波后的結(jié)果中，因此解決了 Butterworth濾波器和Gaussian濾波器除去了傅里葉變換的零頻率成分的問 題，從而使得濾波后的圖像其背景的平均強(qiáng)度增加、變亮。但同時引入了噪聲干擾，使得濾波后的圖像有一定程度的失真。Un sharp maski ng高通濾波器Un shar

15、p maski ng高通濾波器模板由以下公式確定:gmasX ,y f X ,y ) L p X ,y( 13)(15)fLP(x,y) = JHlp(u,v)F(u,v)( 14)g (x y =)f X ,y ) km*s x( y當(dāng)K=1時，為鈍化模板；K>1時，為高頻提升濾波器。由以上算法設(shè)計 Un sharp masking高通濾波器，其中g(shù)mask(x, y)使用Butterworth濾波算法實現(xiàn)，處理結(jié)果 如下圖示：源圖像 test3 corrupt.pgmc反銳化掩膜濾波圖test3 corrupt.pgm源圖像test4 copy.bmp反銳化掩膜濾波圖test4 co

16、py.bmp可見，反銳化掩膜后的圖像邊緣信息更加清晰，但同時帶來了過度銳化的 問題，出現(xiàn)了多重輪廓?？沼虻屯ǜ咄V波與頻域低通和高通的關(guān)系：空域濾波主要包括平滑濾波和銳化濾波。 平滑濾波是要濾除不規(guī)則的噪聲或 干擾的影響，從頻域角度看，不規(guī)則噪聲具有較高的頻率，所以可用具有低通能 力的頻域濾波器來濾除。由此可見，空域的平滑濾波對應(yīng)頻域的低通濾波。 銳化 濾波是要增強(qiáng)邊緣和輪廓處的強(qiáng)度， 從頻域角度看，邊緣和輪廓處都具有較高的 頻率，所以可用具有高通能力的頻域濾波器來增強(qiáng)，由此可見空域的銳化濾波對應(yīng)頻域的高通濾波。附錄一、參考文獻(xiàn)1 岡薩雷斯著 .數(shù)字圖像處理 （第三版 ）.北京：電子工業(yè)出版社

17、， 20102 楊杰李慶著.數(shù)字圖像處理及MATLAB實現(xiàn)一一學(xué)習(xí)與實驗指導(dǎo)北京：電子 工業(yè)出版社， 20103 蘇金明 王永利著.MATLAB圖形圖像.北京：電子工業(yè)出版社，20054 朱習(xí)軍 隋思漣等著.MATLAB在信號與圖像處理中的應(yīng)用.北京：電子工業(yè) 出版社， 20095 百度文庫 . ， 2012/5/206 百度文庫 .二、源代碼： 頻域低通濾波器1. Butterworth 低通濾波器（以處理 test1.pgm 為例）大三下 圖像處理英文課件 作業(yè) 第五次作業(yè) test1.pgm','pgm'）;figure;subplot(1,2,1);imshow

18、(I);title(' 源圖像 test1.pgm');f=double(I);g=fft2(f);% 傅立葉變換g=fftshift(g);% 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);nn=2;% 二階巴特沃斯 （Butterworth） 低通濾波器d0=50;m=fix(M/2); n=fix(N/2);for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt(i-m)A2+(j-n) A2);h1=1/(1+0.414*(d/d0)A(2* nn);%計算低通濾波器傳遞函數(shù)result1(i,j)=h1*g(i,j);endendresult1=ifftshift(result1);

19、J2=ifft2(result1);J3=uint8(real(J2);subplot(1,2,2);imshow(J3);title(' 低通濾波圖 test1.pgm');% 顯示濾波處理后的圖像S=0;S1=0;for i=1:M%計算結(jié)果圖像的功率譜%計算源圖像的功率譜for j=1:NL=(abs(result1(l,j)A2;S=S+L;endend for i=1:Mfor j=1:NL1=(abs(g(I,j)A2;S1=S1+L1;endendL=S/S1%計算功率譜比2、Gaussian 低通濾波器(以處理 test1.pgm 為例)大三下 圖像處理英文課件

20、 作業(yè) 第五次作業(yè) test1.pgm');subplot(1,2,1);imshow(I);title(' 源圖像 test1.pgm');r=5;Im=double(I);F=fft2(Im);F_result=fftshift(F);g=F_result;m,n=size(F_result);M=fix(m/2);N=fix(n/2);for u=1:mfor v=1:nD=sqrt(u-M)A2+(v-N)A2);H=exp(-DA2/(2*rA2);F_result(u,v)=F_result(u,v)*H;end endG_result=ifftshift(

21、F_result);g_result=ifft2(G_result);f=real(g_result);f=uint8(f);subplot(1,2,2);imshow(f);title('Gaussian 低通濾波后的 test1.pgm(r=5)');S=0;S1=0;for i=1:Mfor j=1:NL=(abs(F_result(i,j)A2;S=S+L;endendfor i=1:Mfor j=1:NL1=(abs(g(i,j)A2;S1=S1+L1;endendL=S/S1%計算結(jié)果圖像的功率譜%計算源圖像的功率譜%計算功率譜比頻域高通濾波器1、Butterwor

22、th 濾波器(以處理 test3_corrupt.pgm為例)大三下 圖像處理英文課件 作業(yè) 第五次作業(yè) test3_corrupt.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I);title(' 源圖像 test3_corrupt.pgm');f=double(I); % 數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換， MATLAB 不支持圖像的無符號整型的計算 g=fft2(f);% 傅立葉變換g=fftshift(g);% 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);nn=2;% 二階巴特沃斯 (Butterworth) 高通濾波器d0=5;m=f

23、ix(M/2);n=fix(N/2);for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt(i-m)A2+(j-n) A2);if (d=0)h2=0;elseh2=1/(1+0.414*(d0/d)A(2*nn);% 計算傳遞函數(shù)endresult2(i,j)=h2*g(i,j);endendresult3=ifftshift(result2);J4=ifft2(result3);J5=uint8(real(J4);subplot(1,2,2);imshow(J5);title(' 高通濾波圖 test3_corrupt.pgm'); % 濾波后圖像顯示 S=0;S1=0;for

24、 i=1:M%計算結(jié)果圖像的功率譜%計算源圖像的功率譜%計算功率譜比為例)test3_corrupt.pgm');for j=1:NL=(abs(result2 (i,j)A2;S=S+L;endendfor i=1:Mfor j=1:NL1=(abs(g(i,j)A2;S1=S1+L1;endendL=S/S12、Gaussian 濾波器(以處理 test3_corrupt.pgm 大三下 圖像處理英文課件 作業(yè) 第五次作業(yè) subplot(1,2,1);imshow(I);title(' 源圖像 test1.pgm');r=5;Im=double(I);F=fft2

25、(Im);F_result=fftshift(F);g= F_result；m,n=size(F_result);M=fix(m/2);N=fix(n/2);for u=1:mfor v=1:nD=sqrt(u-M)A2+(v-N)A2);H=1-exp(-DA2/(2*rA2); F_result(u,v)=F_result(u,v)*H;endendG_result=ifftshift(F_result);g_result=ifft2(G_result);f=real(g_result);f=uint8(f);subplot(1,2,2);imshow(f);title('Gaus

26、sian 低通濾波后的 test3_corrupt.pgm (r=5)');S=0;S1=0; for i=1:Mfor j=1:NL=(abs(F_result (口)人2; S=S+L;endendfor i=1:Mfor j=1:NL1=(abs(g(i,j)A2;S1=S1+L1;endendL=S/S1%計算結(jié)果圖像的功率譜%計算源圖像的功率譜%計算功率譜比3、Laplacian 濾波器（以處理 test3_corrupt.pgm 為例）大三下 圖像處理英文課件 作業(yè) 第五次作業(yè) test3_corrupt.pgm','pgm'); figure;subplot(1,2,1);imshow(I);title(' 源圖像 test3_corrupt.pgm'); f=double(I);g