平行四邊形提高題

1、平行四邊形的提高題一.解答題（共30小題）1 在平行四邊形 ABCD中，點E在AD邊上，連接 BE、CE, EB平分/ AEC（1）如圖1 ,判斷 BCE的形狀，并說明理由；（2）如圖2,若/ A=90 ° BC=5 , AE=1，求線段BE的長.2. 如圖，已知直線 MN與?ABCD的對角線 AC平行，延長 DA , DC , AB , CB與MN分別交于點 E, H , G, F. （1）求證：EF=GH ; （ 2）若FG=AC，試判斷AE與AD之間的數(shù)量關系，并說明理由.于點H，連接DE . （1）求證:Bin?3. 如圖所示，平行四邊形 ABCD的對角線相交于點 0,點E在

2、邊BC的延長線上，且 0E=0B , OE交CDDE 丄 BE; (2)如果 0E 丄 CD , CE=3, DE=4，求 BD 的長度.4. 在 ABC中，/ ACB=90 ° CB邊的垂直平分線交 BC邊于點D，交AB邊于點E,點F在DE的延長 線上連接 AF、CE .且AF=BE （1）如圖1，求證：四邊形 ACEF是平行四邊形；（2）如圖2，連接BF，若/ ABC=30 °四邊形ACEF的面積為2二.求線段BF的長.5. 問題背景（1）如圖， ABC中，DE / BC分別交AB , AC于D , E兩點，過點 E作EF/ AB交BC 于點F.請按圖示數(shù)據(jù)填空： EF

3、C的面積S仁, ADE的面積S2=探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若BF=m , FC=n , DE與BC間的距離為h.請證明S2=4S1S2.拓展遷移（3）如圖2, ?DEFG的四個頂點在 ABC的三邊上，若 ADG、 DBE、 GFC的面積分別為 3、7、5，試利用（2）中的結(jié)論求 ABC的面積.圖126. 如圖1,在厶ABC中，AB=AC，/ ABC= a, D是BC邊上一點，以 AD為邊作 ADE，使 AE=AD , / DAE+Z BAC=180 ° (1)直接寫出/ ADE的度數(shù)(用含 a的式子表示)；(2)以AB , AE為邊作平行四 邊形ABFE ,如圖2，若點F恰好落在D

4、E上，求證：BD=CD ;如圖3,若點F恰好落在BC上，求 證：BD=CF.A7. 在 ABC中，BD是角平分線，點 E、F分別在BC、AB邊上，DE / AB , BE=AF , EF交BD于點G.(1) 如圖1，求證：四邊形 ADEF是平行四邊形；(2) 如圖2，若Z ABC=30 ° D為AC邊中點，請直接寫出圖中所有與BE長相等的線&如圖，在 Rt ABC中，Z ABC=90 ° DH垂直平分 AB交AC于點E，連接BE、CD，且CD=CE .(1) 如圖1，求證：四邊形 BCDE是平行四邊形；(2)如圖2,點F在AB上，且BF=BC，連接BD，若 BD平分

5、Z ABC，試判斷DF與AC的位置關系，并證明你的結(jié)論.9.在 OAB 中，Z OAB=90 ° Z AOB=30 ° OB=4 .以 OB 為邊，在 OAB 外作等邊厶 OBC, E 是 0C 上的一點.(1)如圖1，當點E是OC的中點時，求證：四邊形 ABCE是平行四邊形；(2) 如圖2,點F是BC上的一點，將四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，求OE的長.10 .如圖，？ABCD中，BD丄AD，/ A=45 ° E、F分別是 AB , CD上的點，且 BE=DF，連接EF交BD 于O. (1)求證：BO=DO ；(2)若EF丄AB，延長EF交A

6、D的延長線于 G,當FG=1時，求AD的長.11. 如圖，分別以 Rt ABC的直角邊 AC及斜邊AB向外作等邊 ACD及等邊 ABE .已知/ BAC=30 ° EF丄AB，垂足為F,連接DF . (1)試說明AC=EF ; (2)求證：四邊形 ADFE是平行四邊形.12. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90 ° AB=8cm , AD=12cm , BC=18cm，點 P從點 A 出發(fā) 以2cm/s的速度沿A運動，點P從點A出發(fā)的同時點 Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度向點B運動， 當點P到達點C時，點Q也停止運動.設點 P, Q運動的時間為t秒

7、.(1)從運動開始，當t取何值時， PQC為直角三角形?13. 如圖，在?ABCD中，M、N分別是 AD , BC的中點，/ AND=90 °連接 CM交DN于點O.(1)求證： ABN CDM ; (2)過點C作CE丄MN于點E,交DN于點P,若PE=1 , /仁/ 2,求 AN的長.BNC14. 如圖，BD是厶ABC的角平分線，點 E, F分別在 BC、AB上，且 DE / AB , EF / AC . (1)求證：BE=AF ; (2)若/ ABC=60 ° BD=6，求四邊形 ADEF 的面積.15. 如圖1,在厶OAB中，/ OAB=90 ° / AOB

8、=30 ° 0B=8 .以OB為邊，在 OAB外作等邊厶OBC ,D是OB的中點，連接 AD并延長交OC于E . （1）求證：四邊形 ABCE是平行四邊形；（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG,求OG的長.B匚016.已知：在 ABC和厶DEF中，/ A=40 ° / E+Z F=100°將厶DEF如圖擺放，使得/ D的兩條邊分別 經(jīng)過點B和點C. （1）當將 DEF如圖1擺放時，則Z ABD+Z ACD=度（2）當將 DEF如圖2擺放時，請求出Z ABD+Z ACD的度數(shù)，并說明理由；（3）能否將 DEF擺放到某個位置時，使得

9、 同時平分Z ABC和Z ACB ?直接寫出結(jié)論.（填 能”或 不能”BD、CD圖117.如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形，AD=a , BE / AC , DE交AC的延長線于F點，交BE于E點. Z ADC=60 ° AC 丄 DC，求 BE 的長.18.動手操作，探究：探究一：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？ 已知：如圖（1）,在厶ADC中，DP、CP分別平分Z ADC和Z ACD，試探究Z P與Z A的數(shù)量關系. 探究二：若將 ADC改為任意四邊形 ABCD呢？已知：如圖（2）,在四邊形 ABCD中，DP、CP分別平分Z ADC和Z BCD，試

10、利用上述結(jié)論探究Z P與Z A + Z B的數(shù)量關系.（寫出說理過程）B探究三：若將上題中的四邊形 E+Z F的數(shù)量關系：.ABCD改為六邊形 ABCDEF (圖(3)呢？請直接寫出Z P與Z A + Z B+Z19. 如圖，已知 BAD和厶BCE均為等腰直角三角形，/ BAD= / BCE=90 °點M為DE的中點，過點 E 與AD平行的直線交射線 AM于點N . (1)當A，B，C三點在同一直線上時(如圖 1),求證：M為AN 的中點；(2)將圖1中的 BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A , B , E三點在同一直線上時(如圖 2),求證： ACN 為等腰直角三角形；(3)將圖1中厶BCE繞

11、點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，(2)中的結(jié)論是否仍成立？若成立， 試證明之，若不成立，請說明理由.圖I圖2圖320. 如圖， ABC三個頂點的坐標分別為 A (1, 1), B (4, 2) , C ( 3, 4).(1)請畫出 ABC向左平移5個單位長度后得到的 A1B1C1； (2)請畫出 ABC關于原點對稱的厶 A2B2C2； ( 3)在x軸上求作一點 卩，使厶PAB的周長最小，請畫出厶 PAB，并直接寫出P的坐標.21. 已知 ABC中，M為BC的中點，直線 m繞點A旋轉(zhuǎn)，過 B、M、C分別作BD丄m于D, ME丄m 于E, CF丄m于F. (1)當直線 m經(jīng)過B點時，如圖1,易證EM-CF.

12、(不需證明)(2)當直線m不經(jīng)過B點，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時，線段 BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關系？ 請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明.22.如圖，已知, 點C逆時針旋轉(zhuǎn)/ ACB=90 ° E, F 分別是在厶 ABC 中，CA=CB ,%角（0°v av90°,得到 MCN，連接 AM , BN .CA , CB邊的三等分點，將 ECF繞(1)求證：AM=BN ；( 2)當 MA /CN時，試求旋轉(zhuǎn)角 a的余弦值.C FB23. 已知：Rt ABCS RtA ABC , / A'C'B= / ACB=90 ° /

13、A'BC = / ABC=60 ° RtA ABC '可繞點 B 旋轉(zhuǎn), 設旋轉(zhuǎn)過程中直線 CC和AA相交于點D . (1)如圖1所示，當點C在AB邊上時，判斷線段 AD和線段A D之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；(2)將Rt A BC由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3) 將RtAA BC '由圖1的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)角(O°WaW 120°,當A、C、A三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).24. 在Rt ABC中，/ A=90 ° AC=AB=4 , D

14、 , E分別是邊 AB , AC的中點，若等腰 Rt ADE繞點A逆 時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰 Rt AD1E1，設旋轉(zhuǎn)角為 a ( 0V a< 180° ,記直線BD1與CE1的交點為P.(1) 如圖1，當a=90°時，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ;(直接填寫結(jié)果)(2) 如圖 2，當 a=135°時，求證：BD1=CE1，且 BD1 丄CE1 ;(3) 求點P到AB所在直線的距離的最大值.(直接寫出結(jié)果)圍1BCE：25. 閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題，如圖1,在梯形ABCD中，AD / BC,對角線AC, BD相交于點0.若梯形ABCD的

15、面積為1,試求以AC , BD , AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積.D圖1圖2小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可他先后嘗試了翻折，旋轉(zhuǎn)，平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點 E,得到的 BDE即是以AC , BD , AD+BC的長度為三邊長的三角形(如圖2).參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3, ABC的三條中線分別為 AD , BE, CF.(1) 在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD , BE, CF的長度為三邊長的一個三角形(保留畫圖痕跡)；(2

16、) 若厶ABC的面積為1,則以AD , BE , CF的長度為三邊長的三角形的面積等于 .26. 如圖，在平面直角坐標系中， ABC的三個頂點坐標為 A (- 3 , 4), B (- 4 , 2), C (-2 , 1),且 A1B1C1與厶ABC關于原點0成中心對稱.(1) 畫出 A 1B1C1,并寫出A1的坐標；(2) P (a ,是厶ABC的AC邊上一點， ABC經(jīng)平移后點P的對應點P'(a+3 , b+1),請畫出平移后 的 A2B2C2.27. 我們知道平行四邊形那有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這 其中還有更多的結(jié)論【發(fā)現(xiàn)與證明】在?AB

17、CD中，AB工BC ,將厶ABC 沿AC翻折至 AB 'C ,連接B D .結(jié)論 1 : B 'D / AC ;結(jié)論2 : AB 'C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2.【應用與探究】在?ABCD(1)(2)(3)如圖如圖已知/ B=30 °將厶ABC沿AC翻折至 AB C，連接B'D.,BC=；AB=2匚，BC=1 , AB與CD相交于點 丘，求厶AEC的面積;AB=2二，當BC的長為多少時， AB D是直角三角形？中,1，若 AB=胰，/ AB D=75 ° 貝ACB=2,DH=CH，連結(jié) BD .H圉(1)(2) 如圖，當點F落在AC上時，(F不與C重合)，若BC=4 , tanC=3，求AE的長； 如圖，當厶EHF是由 BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到時，設射線 試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由.29. ( 1)如圖1,點O是線段AD的中點，分別以 AO和DO為邊在線段 和等邊三角形 OCD，連接AC和BD，相交于點 E,連接BC 求/ AEB求證：BD=AC將厶BHD繞點H旋轉(zhuǎn),得到 EHF (點B , D分別與點E, F對應)，連接AE .CF與AE相交于點G,連接GH ,AD的同側(cè)作等邊三角形 OAB 的大小；(2)如圖2, OAB