25.物體的動態(tài)平衡問題解題技巧精編版

1、物體的動態(tài)平衡問題解題技巧湖北省恩施高中陳恩譜一、總論1、動態(tài)平衡問題的產(chǎn)生 三個平衡力中一個力已知恒定，另外兩個力的大小或者方向不斷變化，但物體仍然平衡，典型關(guān)鍵詞 緩慢轉(zhuǎn)動、緩慢移動2、動態(tài)平衡問題的解法 解析法、圖解法解析法 畫好受力分析圖后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，將待求力寫成三角函數(shù)形式，然后由角度變化分析判斷力的變化規(guī)律；圖解法 畫好受力分析圖后，將三個力按順序首尾相接形成力的閉合三角形，然后根據(jù)不同類型的不同作圖方法，作出相應(yīng)的動態(tài)三角形，從動態(tài)三角形邊長變化規(guī)律看出力的變化規(guī)律。3、動態(tài)平衡問題的分類 動態(tài)三角形、相似三角形、圓與三角形（2 類）、其他特殊類型二、例析1

2、、第一類型： 一個力大小方向均確定， 一個力方向確定大小不確定， 另一個力大小方向均不確定 動態(tài)三角形【例1】如圖，一小球放置在木板與豎直墻面之間。設(shè)墻面對球的壓力大小為F N1 ，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮?FN2 。以木板與墻連接點所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置。不計摩擦，在此過程中A F N1 始終減小， F N2 始終增大B F N1 始終減小， F N2 始終減小CF N1 先增大后減小，F(xiàn)N2 始終減小D F N1 先增大后減小，F(xiàn)N2 先減小后增大解法一： 解析法 畫受力分析圖，正交分解列方程，解出F N1、F N2 隨夾角變化的函數(shù)，然后由函數(shù)討論；【解

3、析】小球受力如圖，由平衡條件，有FN2FN1FN 2 sinmg 0FN 2 cosFN1 0mgmgmg聯(lián)立，解得： FN 2， FN1sintan木板在順時針放平過程中，角一直在增大，可知 F N1、 FN2都一直在減小。選 B。解法二： 圖解法 畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化 ”，不變的是小球重力和 F N1的方向，然后按FN2 方向變化規(guī)律轉(zhuǎn)動 F N2，即可看出結(jié)果?！窘馕觥啃∏蚴芰θ鐖D，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形F N2mg 保持不變， FN1成如右圖所示閉合三角形，其中重力的方向始終水平向右，mg而 F N2 的方向逐漸變得豎直。F

4、N1則由右圖可知 F N1 、 F N2 都一直在減小。【拓展】水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動摩擦因數(shù)為(0 1)?，F(xiàn)對木箱施加一拉力F ，使木箱做勻速直線運動。設(shè)F 的方向與水平地面的夾角為，如圖所示，在從 0 逐漸增大到 90°的過程中，木箱的速度保持不變，則A F 先減小后增大B F 一直增大CF 一直減小D F 先增大后減小解法一： 解析法 畫受力分析圖， 正交分解列方程，解出 F 隨夾角 變化的函數(shù)， 然后由函數(shù)討論；1【解析】木箱受力如圖，由平衡條件，有FNF sinmg 0F cosFf 0FNFFfFN其中Ffmg聯(lián)立，解得： Fsincosmgmg1由數(shù)學(xué)知識

5、可知F2 cos(，其中 tan1)當(dāng)arctan1時， F 最小，則 從 0 逐漸增大到90°的過程中， F先減小后增大。選 A 。F合F N解法二： 圖解法 可將彈力和滑動摩擦力合成為一個力，這個力的方F向是確定的，然后按 “動態(tài)三角形法 ”的思路分析。Ff【解析】小球受力如圖， 將支持力 F N 和滑動摩擦力Ff 合成為一個力F 合 ，由 FfFN 可知， tan。mgF 合由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形，其中重力 mg 保持不變， F 合 的方向始終與豎直方向成 角。 mg 則由右圖可知，當(dāng) 從 0 逐漸增大到 90°的過程中，

6、F 先減小后增大。F2、第二類型：一個力大小方向均確定，另外兩個力大小方向均不確定，但是三個力均與一個幾何三角形的三邊平行 相似三角形【例2】半徑為 R 的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面 B 的距離為 h ，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A 點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由 A 到 B 的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至N 和繩對小球的拉力 FT 的大小變化的情況是A、FN 變大， FT 變小B、 FN 變小， FT 變大C、 FN 變小， FT 先變小后變大D、 FN 不變， FT 變小解法一： 解析法（略）解法

7、二： 圖解法 畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后觀察這個力的三角形，發(fā)現(xiàn)這個力的三角形與某個幾何三角形相似，可知兩個三角形對應(yīng)邊長比邊長，三邊比值相O等，再看幾何三角形邊長變化規(guī)律，即可得到力的大小變化規(guī)律?！窘馕觥啃∏蚴芰θ鐖D，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發(fā)現(xiàn)，這三個力與AOO 的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形AOO 相似。則有。FNF fmgFNFTFNR hRLmg其中， mg、R、h 均不變， L 逐漸減小， 則由上式可知， FN 不變，F(xiàn) fmgFT 變小。O3、第三類型：一個力大小方向均確定，一個力大小確定但方向不確定，另一

8、個力大小方向均不確定 圓與三角形【例3】在共點力的合成實驗中，如圖，用A，B 兩只彈簧秤把橡皮條上的節(jié)點拉到某一位置O，這時兩繩套AO ，BO 的夾角小于 90°，現(xiàn)在保持彈簧秤A 的示數(shù)不變而改變其拉力方向使角變小，那么要2使結(jié)點仍在位置 O，就應(yīng)該調(diào)整彈簧秤B 的拉力的大小及 角，則下列調(diào)整方法中可行的是A 、增大 B 的拉力，增大 角B、增大 B 的拉力， 角不變C、增大 B 的拉力，減小 角D、 B 的拉力大小不變，增大角解法一： 解析法（略）解法二： 圖解法 畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，然后“抓住不變，討論變化 ”保持長度不變FA 將 FA 繞橡皮條拉力F 端點轉(zhuǎn)動形

9、成一個圓弧，F(xiàn)B 的一個端點不動，另一個端點在圓弧上滑動，即可看出結(jié)果?！窘馕觥咳缬覉D，由于兩繩套AO、FBBO 的夾角小于 90°，在力的三角形中，F(xiàn)A、FB 的頂角為鈍角，當(dāng)順時針轉(zhuǎn)動時，F(xiàn)A、 FFB 的頂角逐漸減小為直角然后為銳角。F A由圖可知，這個過程中FB 一直增大，但 角先減小，再增大。故選ABC 。F ABB oOAAFFB4、第四類型：一個力大小方向均確定，另兩個力大小方向均不確定，但是另兩個力的方向夾角保持不變 圓與三角形（正弦定理）【例 4】如圖所示裝置， 兩根細繩拴住一球，保持兩細繩間的夾角=120 °不變，若把整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)過 90

10、6;，則在轉(zhuǎn)動過程中， CA 繩的拉力 F T1，CB 繩的拉力 F T2 的大小變化情況是A 、F T1 先變小后變大B、FT1先變大后變小C、 FT2 一直變小D、FT2最終變?yōu)榱憬夥ㄒ唬?解析法 1 讓整個裝置順時針轉(zhuǎn)過一個角度，畫受力分析圖，水平豎直分解，由平衡條件列方程，解出 F T1、 FT2 隨 變化的關(guān)系式，然后根據(jù)的變化求解?！窘馕觥空麄€裝置順時針轉(zhuǎn)過一個角度后，小球受力如圖所示，設(shè)AC 繩與豎直方向夾角為 ，則由平衡條件，有FT1 cosFT2 cos()mg0FT1 sinFT 2 sin()0F T1F T2聯(lián)立，解得)，F(xiàn)T2mg sinFT1 mg sin(mgsi

11、nsin從 90°逐漸減小為 0°，則由上式可知： F T1 先變大后變小， F T2 一直變小。解法二： 解析法 2 畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，在這個三角形中，小球重力不變，F(xiàn) T1、FT2 的夾角 (180 ° )保持不變，設(shè)另外兩個夾角分別為、 ，寫出這個三角形的正弦定理方程，即可根據(jù)、 的變化規(guī)律得到FT1 、 FT2 的變化規(guī)律?！窘馕觥咳鐖D，由正弦定理有mgFT1FT2FT2mgFT1F T2sin( )sinsin整個裝置順時針緩慢轉(zhuǎn)動90°過程的中 角和 mg 保持不F T1mg變， 角從 30°增大， 角從 90

12、76;減小，易知FT1 先變大后變小， F T2 一直變小。解法三： 圖解法 畫受力分析圖，構(gòu)建初始力的三角形，由于這個三角形中重力不變，另兩個力的夾角 (180 ° )保持不變，這類似于圓周角與對應(yīng)弦長的關(guān)系，因此，作初始三角形的外接圓（任意兩邊的中垂線交點即外接圓圓心），然后讓另兩個力的交點在圓周上按FT1 、 FT2 的方向變化規(guī)律滑動，即可看出結(jié)果。F T2 為直徑的圓周，易FT2mg【解析】如右圖，力的三角形的外接圓正好是以初態(tài)時的知 F T1 先變大到最大為圓周直徑，然后變小，F(xiàn) T2 一直變小。答案為： BCD3F T15、其他類型【例 5】如圖所示用鋼筋彎成的支架，水

13、平虛線MN 的上端是半圓形， MNB的下端筆直豎立一不可伸長的輕繩通過動滑輪懸掛一重物G現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的 A 點，另一端從C 點處沿支架緩慢地向最高點B靠近（ C點與 A點等高），則繩中拉力MA 先變大后不變B先不變后變大AC先不變后變小D保持不變解法一： 解析法 分兩個階段畫受力分析圖， 繩端在 CN 段、NB 段，在 CN 段，正交分解列方程易算得左右兩側(cè)繩與水平方向夾角相同，再由幾何關(guān)系易知G這個夾角保持不變， 則易看出結(jié)果； 在 NB 段，左右兩側(cè)繩與水平方向夾角也相同，但這個夾角逐漸增大，由方程易看出結(jié)果。（解析略）解法二： 圖解法 畫滑輪受力分析圖，構(gòu)建力的三角形，如前

14、所述分析夾角變化規(guī)律，可知這是一個等腰三角形，其中豎直向下的拉力大小恒定，則易由圖看出力的F2F 1變化規(guī)律。F2【解析】如右圖，滑輪受力如圖所示，將三個力按順序首尾相接，形成一個等腰三角形。由實際過程可知，這個力的三角形的頂角先保持不變，然后增FT=GF1大，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小。選C。NCFT=G三、練習(xí)1、如圖 1 所示，一光滑水球靜置在光滑半球面上，被豎直放置的光滑擋板擋住，現(xiàn)水平向右緩慢地移動擋板，則在小球運動的過程中(該過程小球未脫離球面且球面始終靜止)，擋板對小球的推力F 、半球面對小球的支持力 F N 的變化情況是（）A F 增大， FN 減小B F 增大， FN

15、增大CF 減小， FN 減小D F 減小， FN 增大F NFF NmgmgF【解析】 小球受力如圖， 由平衡條件可知， 將三個力按順序首尾相接，可形成如上圖所示閉合三角形，其中重力 mg 保持不變， F 的方向始終水平向左，而F N 的方向逐漸變得水平。則由上圖可知 F 、 F N 都一直在增大。故B正確2、如圖 2 所示是一個簡易起吊設(shè)施的示意圖，AC 是質(zhì)量不計的撐桿，A 端與豎直墻用鉸鏈連接，一滑輪固定在 A 點正上方， C 端吊一重物?，F(xiàn)施加一拉力F 緩慢將重物 P 向上拉，在 AC 桿達到豎直前（）A BC 繩中的拉力 FT 越來越大B BC 繩中的拉力 FT 越來越小CAC 桿中

16、的支撐力 F N 越來越大D AC 桿中的支撐力 F N 越來越小F TF NFT1=GFT1=G4【解析】 C 點受力如圖，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如右圖所示閉合三角形。很容易發(fā)現(xiàn)，這三個力與ABC 的三邊始終平行，即力的三角形與幾何三角形ABC 相似。則有。GFNFTABACBC其中， G、AC 、 AB 均不變， BC 逐漸減小，則由上式可知，F(xiàn)N 不變， FT 變小。 B 正確3、質(zhì)量為 M 、傾角為 的斜面體在水平地面上，質(zhì)量為m 的小木塊（可視為質(zhì)點）放在斜面上，現(xiàn)用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F 作用于小木塊， 拉力在斜面所在的平面內(nèi)繞小木塊旋轉(zhuǎn)一周的過程

17、中，斜面體和木塊始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，下列說法中正確的是（）A 小木塊受到斜面的最大摩擦力為F 2(mg sin ) 2B小木塊受到斜面的最大摩擦力為F-mgsinC斜面體受到地面的最大摩擦力為FFD斜面體受到地面的最大摩擦力為FcosFfF fmgsinmgsin【解析】對小木塊受力分析可得斜面上的受力如圖所示，由于小木塊始終靜止則重力沿斜面向下的分量 mgsin始終不變， 其與 F 和 Ff 構(gòu)成一個封閉的三角形，當(dāng) F 方向變化時可知當(dāng)F 與 mgsin方向相反時 Ff 最大，其值為F+mgsin。對于 C， D 選項一斜面和小木塊為整體進行研究，當(dāng)力F 水平向左時摩擦力最大值為 F。故 C

18、 正確。4、如圖所示，圓弧形貨架擺著四個完全相同的光滑小球，O 為圓心對圓弧面的壓力最小的是A a 球B b 球C c 球D d 球FN2FN1FN1FN2mgmg【解析】小球受力分析如圖所示，其中小球重力相同，F(xiàn)N1 方向始終指向圓心，F(xiàn)N2 方向始終垂直于FN1 ，這三個力構(gòu)成一個封閉的三角形如乙圖所示，從 a 位置到 d 位置 FN1 與豎直方向夾角在變小， 做出里的動態(tài)三角形，易得a 球?qū)A弧面的壓力最小。A 正確。5、目前，我市每個社區(qū)均已配備了公共體育健身器材如圖所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點由于長期使用，導(dǎo)致兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，如圖中虛

19、線所示，但兩懸掛點仍等高座椅靜止時用F 表示所受合力的大小，F(xiàn) 1 表示單根輕繩對座椅拉力的大小，與傾斜前相比（）A F 不變， F1變小BF 不變， F1變大CF 變小， F1 變小DF 變大， F1 變大F1F1F 1GGF1【解析】座椅受力如圖所示，將三個力按順序首尾相接，形成一個封閉的三角形如圖。兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜， 則這個力的三角形的頂角變小， 從圖中可以得到則繩中張力 F1 逐漸減小， 由于座椅仍靜止所受合力 F 始終為零。選 A 。56、如圖所示， 在傾角為的固定粗糙斜面上，一個質(zhì)量為m 的物體被水平力F 推著靜止于斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為 ，且 tan ，求力 F 的取值范圍。【解析】物體受力如圖所示，將靜摩擦力F f 和彈F力 F N 合成為一個力 F合，則 F合的方向允許在FN 兩側(cè)合FN最大偏角為 的范圍內(nèi)，其中tan。將這三個力按順序首尾相接， 形成如圖所示三角形，圖中虛線即為FfFF 合F 合的方向允許的變化范圍。由圖可知： mg tan()Fmg tan()mg mg即： sincos mgsincosFmgFcossincossin7、如圖所示，在傾角為的固定粗糙斜面上，一個質(zhì)量為m 的物體在拉力F 的作用下沿斜面向上做勻加速直線運動，已知物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，為使物體加速度大小為a，試求力 F 的最