第現(xiàn)代控制理論4章

1、整理課件1第四章第四章 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性分析分析整理課件24.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析q 本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。 討論的主要問題有:基本方法基本方法: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析矩陣李雅普諾夫方程的求解 線性時變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分析整理課件3q 由上節(jié)知,李雅普諾夫第二法是分析動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,但具體運用時將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于各類系統(tǒng)的復(fù)雜性,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時,難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。 目前的處理方法是,針對

2、系統(tǒng)的不同分類和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。整理課件4q 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=Ax這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點:1) 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時,系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點;2) 若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;3) 對于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。整理課件5 本節(jié)將討論對線性系統(tǒng),包括 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)、 線性時變連續(xù)系統(tǒng)線性時變連續(xù)系統(tǒng)和 線性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng),如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數(shù)來分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。整理課件6q

3、 定理定理4-7 線性定常連續(xù)系統(tǒng)x=Ax的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為: 對任意給定的一個正定矩陣Q,都存在一個正定矩陣P為矩陣方程PA+AP=-Q的解,并且正定函數(shù)V(x)=xPx即為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。 4.3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析整理課件7證明過程為：證明過程為： 已知滿足矩陣方程PA+AP=-Q的正定矩陣P存在,故令V(x)=xPx. 由于V(x)為正定函數(shù),而且V(x)沿軌線對時間t的全導(dǎo)數(shù)為V(x)=(xPx)=xPx+xPx=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q為正定矩陣,故V(x)為負定函數(shù)整理課件8q

4、 上述定理給出了一個判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡便方法,該方法 不需尋找李雅普諾夫函數(shù), 不需求解系統(tǒng)矩陣A的特征值,只需解一個矩陣代數(shù)方程即可,計算簡便。 該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。整理課件9q 在實際應(yīng)用中: 如果V(x,t)=-xQx沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么Q可取為非負定矩陣,而系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定的充要條件為: 存在正定矩陣P滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。 Q矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為非負定的,那么最終的判定結(jié)果將與Q的不同選擇無關(guān)。 由定理4-7可知,運用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時,最方便的是選取Q為單位矩陣,即Q=I。 于是,矩陣P的元素可按如下李雅

5、普諾夫代數(shù)方程:PA+AP=-I求解,然后根據(jù)P的正定性來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。整理課件10q 下面通過一個例題來說明如何通過求解矩陣李雅普諾夫方程來判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。q 例4-9 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。21211110 xxxxq 解 設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為V(x)=xPx 由定理4-7可知,上式中的正定矩陣P滿足李雅普諾夫方程PA+AP=-I.整理課件11 于是,令對稱矩陣P為22121211ppppP 將P代入李雅普諾夫方程,可得1001111011102212121122121211pppppppp展開后得,有:10012222212221211221

6、21112ppppppppp整理課件12 因此,得如下聯(lián)立方程組:122012221222121112pppppp 解出p11,p12和p22,得21132122121211ppppP整理課件13 為了驗證對稱矩陣P的正定性,用合同變換法檢驗如下: 由于變換后的對角線矩陣的對角線上的元素都大于零,故矩陣P為正定的。因此,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。 此時,系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對時間t的全導(dǎo)數(shù)分別為500961211321)2(3/ ) 1 ()2()2(3/ ) 1 ()2(行列P01001)(0211321)(xxxxxxxxxxQVPV整理課件14q 例例4-10 控制系統(tǒng)方塊圖

7、如下圖所示。 要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,試確定增益的取值范圍。q 解解 由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為32132110120010 xxxkxxx整理課件15 不難看出,原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 選取Q為非負定實對稱矩陣,則000000001Q 只在原點處才恒為零,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。 因此,對上述非負定的Q,李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。整理課件16 設(shè)P為實對稱矩陣并代入李雅普諾夫方程,可得 1112131112131222231222231323331323330001000012002100001101001ppppppkppppppkpppppp 求得212601632(6)06kk

8、kPkkkkk 為使原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,矩陣P須為正定。整理課件17 采用合同變換法,有222(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)1260000063030300606006/3kkkkkkkkkkkkkk 行行列列 從而得到P為正定矩陣的條件1220,30,6/30kkk即0k0)負定(0)半負定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(0)半負定(0)且恒為0(對某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(0)正定(0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(0)半正定(0)且不恒為0(對任意非零的初

9、始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定整理課件26q 上述定理討論的是一般離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的充分判據(jù)。 類似于線性定常連續(xù)系統(tǒng),對線性定常離散系統(tǒng),有如下簡單實用的漸近穩(wěn)定判據(jù)。q 定理定理4-10 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(k+1)=Gx(k) 其中xe=0為其平衡態(tài)。則其平衡態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件為: 對任意給定的一個正定矩陣Q,都存在一個正定矩陣P為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程GPG-P=-Q 的解,并且正定函數(shù)Vx(k)=x(k)Px(k)即為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。整理課件27)()1(kGxkx QPPGGT 且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是：且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是： )()()(kPxkxkxVT ：

10、代替，則有：的導(dǎo)數(shù)用對于線性離散時間系統(tǒng))()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT 整理課件28q 與連續(xù)系統(tǒng)類似,有如下討論:1) 如果對于某個非負定矩陣Q,Vx(k),k=-x(k)Qx(k)沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么,系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定的條件為: 存在正定矩陣P滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。2) 可令正定矩陣Q=I,則判定線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性只需解如下李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程即可:GPG-P=-I 整理課件29試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點 為漸近穩(wěn)定的為漸近穩(wěn)定的k值范圍。值范圍。0 ex根據(jù)根據(jù) 得：得：IQ QPPGGT ?。喝。?100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：已知線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：)()1(kGxkx 其中：其中：0,020100010 kkG整理課件30根據(jù)賽爾維斯特法則：如果根據(jù)賽爾維斯特