第現(xiàn)代控制理論4章

1、整理課件1第四章第四章 李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性分析分析整理課件24.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析q 本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。 討論的主要問(wèn)題有:基本方法基本方法: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程的求解 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分析整理課件3q 由上節(jié)知,李雅普諾夫第二法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于各類(lèi)系統(tǒng)的復(fù)雜性,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時(shí),難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。 目前的處理方法是,針對(duì)

2、系統(tǒng)的不同分類(lèi)和特性,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。整理課件4q 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=Ax這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn):1) 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時(shí),系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài)xe=0,即為狀態(tài)空間原點(diǎn);2) 若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;3) 對(duì)于該線性系統(tǒng),其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。整理課件5 本節(jié)將討論對(duì)線性系統(tǒng),包括 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)、 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)和 線性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng),如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數(shù)來(lái)分析該線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。整理課件6q

3、 定理定理4-7 線性定常連續(xù)系統(tǒng)x=Ax的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充要條件為: 對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣Q,都存在一個(gè)正定矩陣P為矩陣方程PA+AP=-Q的解,并且正定函數(shù)V(x)=xPx即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 4.3.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析整理課件7證明過(guò)程為：證明過(guò)程為： 已知滿足矩陣方程PA+AP=-Q的正定矩陣P存在,故令V(x)=xPx. 由于V(x)為正定函數(shù),而且V(x)沿軌線對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)為V(x)=(xPx)=xPx+xPx=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q為正定矩陣,故V(x)為負(fù)定函數(shù)整理課件8q

4、 上述定理給出了一個(gè)判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡(jiǎn)便方法,該方法 不需尋找李雅普諾夫函數(shù), 不需求解系統(tǒng)矩陣A的特征值,只需解一個(gè)矩陣代數(shù)方程即可,計(jì)算簡(jiǎn)便。 該矩陣方程又稱(chēng)為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。整理課件9q 在實(shí)際應(yīng)用中: 如果V(x,t)=-xQx沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么Q可取為非負(fù)定矩陣,而系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件為: 存在正定矩陣P滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。 Q矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為非負(fù)定的,那么最終的判定結(jié)果將與Q的不同選擇無(wú)關(guān)。 由定理4-7可知,運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí),最方便的是選取Q為單位矩陣,即Q=I。 于是,矩陣P的元素可按如下李雅

5、普諾夫代數(shù)方程:PA+AP=-I求解,然后根據(jù)P的正定性來(lái)判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。整理課件10q 下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)求解矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程來(lái)判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。q 例4-9 試確定用如下?tīng)顟B(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。21211110 xxxxq 解 設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為V(x)=xPx 由定理4-7可知,上式中的正定矩陣P滿足李雅普諾夫方程PA+AP=-I.整理課件11 于是,令對(duì)稱(chēng)矩陣P為22121211ppppP 將P代入李雅普諾夫方程,可得1001111011102212121122121211pppppppp展開(kāi)后得,有:10012222212221211221

6、21112ppppppppp整理課件12 因此,得如下聯(lián)立方程組:122012221222121112pppppp 解出p11,p12和p22,得21132122121211ppppP整理課件13 為了驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)矩陣P的正定性,用合同變換法檢驗(yàn)如下: 由于變換后的對(duì)角線矩陣的對(duì)角線上的元素都大于零,故矩陣P為正定的。因此,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。 此時(shí),系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)分別為500961211321)2(3/ ) 1 ()2()2(3/ ) 1 ()2(行列P01001)(0211321)(xxxxxxxxxxQVPV整理課件14q 例例4-10 控制系統(tǒng)方塊圖

7、如下圖所示。 要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,試確定增益的取值范圍。q 解解 由圖可寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為32132110120010 xxxkxxx整理課件15 不難看出,原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 選取Q為非負(fù)定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,則000000001Q 只在原點(diǎn)處才恒為零,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。 因此,對(duì)上述非負(fù)定的Q,李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。整理課件16 設(shè)P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并代入李雅普諾夫方程,可得 1112131112131222231222231323331323330001000012002100001101001ppppppkppppppkpppppp 求得212601632(6)06kk

8、kPkkkkk 為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,矩陣P須為正定。整理課件17 采用合同變換法,有222(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)1260000063030300606006/3kkkkkkkkkkkkkk 行行列列 從而得到P為正定矩陣的條件1220,30,6/30kkk即0k0)負(fù)定(0)半負(fù)定(0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(0)半負(fù)定(0)且恒為0(對(duì)某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(0)正定(0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(0)半正定(0)且不恒為0(對(duì)任意非零的初

9、始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定整理課件26q 上述定理討論的是一般離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的充分判據(jù)。 類(lèi)似于線性定常連續(xù)系統(tǒng),對(duì)線性定常離散系統(tǒng),有如下簡(jiǎn)單實(shí)用的漸近穩(wěn)定判據(jù)。q 定理定理4-10 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(k+1)=Gx(k) 其中xe=0為其平衡態(tài)。則其平衡態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件為: 對(duì)任意給定的一個(gè)正定矩陣Q,都存在一個(gè)正定矩陣P為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程GPG-P=-Q 的解,并且正定函數(shù)Vx(k)=x(k)Px(k)即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。整理課件27)()1(kGxkx QPPGGT 且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是：且系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是： )()()(kPxkxkxVT ：

10、代替，則有：的導(dǎo)數(shù)用對(duì)于線性離散時(shí)間系統(tǒng))()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT 整理課件28q 與連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似,有如下討論:1) 如果對(duì)于某個(gè)非負(fù)定矩陣Q,Vx(k),k=-x(k)Qx(k)沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,那么,系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的條件為: 存在正定矩陣P滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。2) 可令正定矩陣Q=I,則判定線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性只需解如下李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程即可:GPG-P=-I 整理課件29試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 為漸近穩(wěn)定的為漸近穩(wěn)定的k值范圍。值范圍。0 ex根據(jù)根據(jù) 得：得：IQ QPPGGT ?。喝。?100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：已知線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：)()1(kGxkx 其中：其中：0,020100010 kkG整理課件30根據(jù)賽爾維斯特法則：如果根據(jù)賽爾維斯特