電路的相關(guān)定理

1、第第4 4章章 電路的定理電路的定理 ( (Circuit Theorems)Circuit Theorems) 4.1 4.1 疊加定理疊加定理 4.2 4.2 替代定理替代定理 4.3 4.3 戴維南定理和諾頓定理戴維南定理和諾頓定理 4.4 4.4 特勒根定理特勒根定理 4.5 4.5 互易定理互易定理 4.6 4.6 對(duì)偶原理對(duì)偶原理疊加定理疊加定理在線(xiàn)性電路中，任一支路電流在線(xiàn)性電路中，任一支路電流(或電壓或電壓)都是電路中都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流(或電或電壓壓)的代數(shù)和的代數(shù)和。 4. .1 疊加定理疊加定理 (

2、Superposition Theorem)不作用不作用的的 電壓源電壓源（us=0) 短路短路電流源電流源 (is=0) 開(kāi)路開(kāi)路舉例證明定理舉例證明定理ib1ia1R2R3R1+us1i11ibiaR2+R3+R1+us1us2us3i1ib2ia2R2+R3R1us2i12ib3ia3R2R3+R1us3i13i1 = i11 + i12 + i13證明證明ibiaR2+R3+R1+us1us2us3i1R11ia+R12ib=us11R21ia+R22ib=us22 ssa22s1211s222221121122221211uRuRRRRRRuRui3s122s22121s22uRuR

3、RuRus1- -us2us2- -us3由回路法由回路法ib1ia1R2R3R1+us1i11ib2ia2R2+R3R1us2i12ib3ia3R2R3+R1us3i13R11ia1+R12ib1=us1R21ia1+R22ib1=0R11ia2+R12ib2=-us2R21ia2+R22ib2=us2R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-us3 1s222221121122121s1a0uRRRRRRRui ss2s22122s122s22222112112221222a)(uRRuRuRRRRRRuRui 3s123s1222211211223s123a)(0uRu

4、RRRRRRuRi 1s222221121122121s1a0uRRRRRRRui ss2s22122s122s22222112112221222a)(uRRuRuRRRRRRuRui 3s123s1222211211223s123a)(0uRuRRRRRRuRi3s122s22121s22uRuRRuR ssa22s1211s222221121122221211uRuRRRRRRuRuiia = ia1 + ia2 + ia3證得證得即回路電流滿(mǎn)足疊加定理即回路電流滿(mǎn)足疊加定理推廣到推廣到 l 個(gè)回路個(gè)回路 , 第第 j 個(gè)回路的回路電流：個(gè)回路的回路電流：llsllljlsjjjljRuR

5、RuRRuRi11111s11第第j列列l(wèi)lljsjjjjjjuuuus22s211s1同樣同樣可以證明可以證明：線(xiàn)性電阻電路中任意支路的電壓：線(xiàn)性電阻電路中任意支路的電壓等于各電源（電壓源、電流源）在此支路產(chǎn)生的電壓等于各電源（電壓源、電流源）在此支路產(chǎn)生的電壓的代數(shù)和。的代數(shù)和。llljjjjjuuuuss22s211s1jjus1 usb把把 usi 個(gè)系數(shù)合并為個(gè)系數(shù)合并為GjisibijiuG1jbjijjiiii21第第i個(gè)電壓源單獨(dú)作用時(shí)在個(gè)電壓源單獨(dú)作用時(shí)在第第j 個(gè)個(gè)回路中產(chǎn)生的回路電流回路中產(chǎn)生的回路電流支路電流是回路電流的線(xiàn)性組合，支路電流滿(mǎn)足疊加定理。支路電流是回路電流

6、的線(xiàn)性組合，支路電流滿(mǎn)足疊加定理。1. 疊加定理只疊加定理只適用于適用于線(xiàn)性電路線(xiàn)性電路求電壓求電壓和和電流電流； 不能用疊加定理求功率不能用疊加定理求功率(功率為電源的二次函數(shù)功率為電源的二次函數(shù))。 不適用于非線(xiàn)性電路。不適用于非線(xiàn)性電路。2. 應(yīng)用時(shí)電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)必須應(yīng)用時(shí)電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)必須前后一致前后一致。應(yīng)用疊加定理時(shí)注意以下幾點(diǎn)：應(yīng)用疊加定理時(shí)注意以下幾點(diǎn)：5. 疊加時(shí)注意疊加時(shí)注意參考方向參考方向下求下求代數(shù)和代數(shù)和。3. 不作用的電壓源不作用的電壓源短路短路；不作用的電流源；不作用的電流源開(kāi)路開(kāi)路4. 含受控源含受控源(線(xiàn)性線(xiàn)性)電路亦可用疊加，電路亦可用疊加，受控源受控源應(yīng)始

7、終應(yīng)始終保留保留。例例1.求圖中電壓求圖中電壓u。+10V4A6 +4 u解解:(1) 10V電壓源單獨(dú)作用，電壓源單獨(dú)作用，4A電流源開(kāi)路電流源開(kāi)路4A6 +4 uu=4V(2) 4A電流源單獨(dú)作用，電流源單獨(dú)作用，10V電壓源短路電壓源短路u= - -4 2.4= - -9.6V共同作用：共同作用：u=u+u= 4+(- - 9.6)= - - 5.6V+10V6 +4 u例例2求電壓求電壓Us 。(1) 10V電壓源單獨(dú)作用：電壓源單獨(dú)作用：(2) 4A電流源單獨(dú)作用：電流源單獨(dú)作用：解解:+10V6 I14A+Us+10 I14 10V+6 I1+10 I14 +Us6 I14A+Us

8、+10 I14 +U1+U1Us= - -10 I1+U1Us= - -10I1+U1” Us= - -10 I1+U1= - -10 I1+4I1= - -10 1+4 1= - -6VUs= - -10I1+U1” = - -10 (- -1.6)+9.6=25.6V共同作用：共同作用：Us= Us +Us= - -6+25.6=19.6V10V+6 I1+10 I14 +Us+U16 I14A+Us+10 I14 +U1AI146101 AI6 . 146441 VU6 . 9464641 齊性原理齊性原理（homogeneity property) 當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)當(dāng)電路中只有一個(gè)

9、激勵(lì)(獨(dú)立源獨(dú)立源)時(shí)，則響應(yīng)時(shí)，則響應(yīng)(電壓或電流電壓或電流)與激勵(lì)成正比。與激勵(lì)成正比。RusrRkuskr已知：如圖已知：如圖求：電壓求：電壓 UL例例3R1R3R5R2RL+ +usR4+ +UL設(shè)設(shè) IL =1AILU +- -U K = Us / U UL= K IL RL可加性可加性 (additivity property)線(xiàn)性電路中，所有激勵(lì)都增大線(xiàn)性電路中，所有激勵(lì)都增大(或減小或減小)同樣的倍數(shù)，同樣的倍數(shù)，則電路中響應(yīng)也增大則電路中響應(yīng)也增大(或減小或減小)同樣的倍數(shù)。同樣的倍數(shù)。Rus1r1Rus2r2Rk1 us1+k2 us1k1 r1+ k2 r2Rus1+ u

10、s2r1+ r2Rk1 us1k1 r1Rk2 us2k2 r2us1us2rRk us1k us2k rR線(xiàn)性線(xiàn)性例例4例例5例例64. 2 替代定理替代定理 (Substitution Theorem)任意一個(gè)線(xiàn)性電路，其中第任意一個(gè)線(xiàn)性電路，其中第k條支路的電壓已知為條支路的電壓已知為uk（電流電流為為ik），那么就可以用一個(gè)電壓等于那么就可以用一個(gè)電壓等于uk的理想電壓源（的理想電壓源（電流等于電流等于ik的的 獨(dú)立電流源獨(dú)立電流源）來(lái)替代該支路，替代前后電路中各處電壓和電）來(lái)替代該支路，替代前后電路中各處電壓和電流均保持不變。流均保持不變。替代定理替代定理Aik+uk支支路路 k A

11、+ukikA證明證明:ukukAik+uk支支路路 k+ACBAik+uk支支路路 kABAC等電位等電位+ukAik+ukAB說(shuō)明說(shuō)明1. 替代定理適用于線(xiàn)性、非線(xiàn)性電路、定常和時(shí)變電路。替代定理適用于線(xiàn)性、非線(xiàn)性電路、定常和時(shí)變電路。2) 被替代的支路和電路其它部分應(yīng)無(wú)耦合關(guān)系。被替代的支路和電路其它部分應(yīng)無(wú)耦合關(guān)系。1) 原電路和替代后的電路必須有唯一解。原電路和替代后的電路必須有唯一解。2. 替代定理的應(yīng)用必須滿(mǎn)足兩個(gè)前提替代定理的應(yīng)用必須滿(mǎn)足兩個(gè)前提: 戴維南定理戴維南定理任何一個(gè)線(xiàn)性含有獨(dú)立電源、線(xiàn)性電阻和線(xiàn)性受控任何一個(gè)線(xiàn)性含有獨(dú)立電源、線(xiàn)性電阻和線(xiàn)性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路

12、來(lái)說(shuō)，可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源的一端口網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，可以用一個(gè)獨(dú)立電壓源源Uo和電阻和電阻Ri的串聯(lián)組合來(lái)等效替代；其中電壓的串聯(lián)組合來(lái)等效替代；其中電壓Uo等于等于端口開(kāi)路電壓，電阻端口開(kāi)路電壓，電阻Ri等于端口中所有獨(dú)立電源置零后等于端口中所有獨(dú)立電源置零后端口的入端等效電阻端口的入端等效電阻。AababRiUo+- -4. .3 戴維南定理和諾頓定理戴維南定理和諾頓定理 (Thevenin- -Norton Theorem)證明證明:電流源電流源i為零為零abA+u+網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)A中獨(dú)立源全部置零中獨(dú)立源全部置零abPi+uRiu= Uoc (外電路開(kāi)路時(shí)外電路開(kāi)路時(shí)a 、b間開(kāi)路電壓間開(kāi)

13、路電壓) u= - - Ri i得得u = u + u = Uoc - - Ri i證明證明abAi+u替代替代abAi+uNiUoc+uNab+Ri=疊加疊加任何一個(gè)含獨(dú)立電源、線(xiàn)性電阻和線(xiàn)性受控源的一任何一個(gè)含獨(dú)立電源、線(xiàn)性電阻和線(xiàn)性受控源的一端口，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，可以用一個(gè)電流源和電導(dǎo)的并聯(lián)端口，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，可以用一個(gè)電流源和電導(dǎo)的并聯(lián)來(lái)等效替代；其中電流源的電流等于該一端口的短路電來(lái)等效替代；其中電流源的電流等于該一端口的短路電流，而電阻等于把該一端口的全部獨(dú)立電源置零后的輸流，而電阻等于把該一端口的全部獨(dú)立電源置零后的輸入電導(dǎo)。入電導(dǎo)。諾頓定理諾頓定理AababGiIsc證明留作課后

14、思考證明留作課后思考例例1IA2A1+- -uo1Ro1+- -uo2Ro2I例例2 外電路含有非線(xiàn)性元件外電路含有非線(xiàn)性元件J-100V4 40V200V30K10K60K+- -UI5KAB1004020030K10K60K+- - - -ABUAB+- -解：解： 求開(kāi)路電壓求開(kāi)路電壓U UABAB當(dāng)電流當(dāng)電流I I 2mA時(shí)繼電器的時(shí)繼電器的控制觸點(diǎn)閉合（繼電器線(xiàn)圈控制觸點(diǎn)閉合（繼電器線(xiàn)圈電阻是電阻是5K ）。）。問(wèn)現(xiàn)在問(wèn)現(xiàn)在繼電器繼電器觸點(diǎn)是否閉合。觸點(diǎn)是否閉合。60K+- -UI5K+- -uABRABAB1004020030K10K60K+- - - -ABUAB+- -6020

15、0301001040)601301101(ABUUAB=26.7VRAB=10 / 30 / 60 = 6.67K 二極管導(dǎo)通二極管導(dǎo)通I = 26.7 / (5+6.67) = 2.3mA 2mA結(jié)論結(jié)論: : 繼電器繼電器觸點(diǎn)閉合。觸點(diǎn)閉合。例例3R多大時(shí)能從電路中多大時(shí)能從電路中獲得最大功率，并求獲得最大功率，并求此最大功率。此最大功率。解：解：15V5V2A+20 +- - -20 10 5 +- -85VR10 5V+- -20 15V2A20 +- -10 5 +- -85VR10 10V2A10 +- -10 5 +- -85VR10 R =4.29 獲最大功率。獲最大功率。50

16、V30 +- -5 +- -85VRU0R0+- -RVU8085353050355029. 4355300 RWP37329. 44802max10V2A10 +- -10 5 +- -85VR10 Uo+Ri3 UR- -+解：解：(1) 求開(kāi)路電壓求開(kāi)路電壓UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V3 6 I1+9V+Uo+6I1已知如圖，求已知如圖，求UR 。例例43 6 I1+9V+UR+6I13 (2) 求等效電阻求等效電阻Ri方法方法1 開(kāi)路電壓、短路電流開(kāi)路電壓、短路電流3 6 I1+9VIsc+6I1Uo=9V3I1=- -6I1I1=0Isc=1.5A6 +9VI

17、scRi = Uo / Isc =9/1.5=6 方法方法2 加壓求流（加壓求流（獨(dú)立源置零，受控源保留獨(dú)立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I 6/(6+3)=(2/3)IRi = U /I=6 3 6 I1+6I1U+IU =9 (2/3)I=6I(3) 等效電路等效電路V39363RUUo+Ri3 UR- -+ 0011bkkkbkkkiuiu和和網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)N N 和和 具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。NN2. 各支路電壓、電流均取關(guān)聯(lián)的參考方向各支路電壓、電流均取關(guān)聯(lián)的參考方向1. 對(duì)應(yīng)支路取相同的參考方向?qū)?yīng)支路取相同的參考方向?。喝。禾乩崭ɡ硖乩崭ɡ?u

18、kik+- - ukik+- -N4. 4 特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem)證明證明 iuuiukk)( iuiu iuiu iiiuuukk , 令令流出流出 流出流出 iuiuiubkkk1 i流出節(jié)點(diǎn)流出節(jié)點(diǎn) 的的所有支路電流和所有支路電流和n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) , ,有有n項(xiàng)項(xiàng)= 0同理可證：同理可證：01bkkkiu例例 已知如圖已知如圖 , , 求電流求電流 ix 。R+- -10V1ANR+- -5VixN解解i1i2設(shè)電流設(shè)電流 i1和和 i2 ，方向如圖所示方向如圖所示。由特勒根定理，得由特勒根定理，得00)(1032kbkxiuii01)5()(031

19、kbkiuikkkkkkkuiiRiiuAiixx5 . 05104. 5 互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)第一種形式第一種形式:激勵(lì)激勵(lì)電壓源，響應(yīng)電壓源，響應(yīng)電流電流圖圖a電路中，只有電路中，只有j支路中有電壓源支路中有電壓源uj，其在其在k支路中產(chǎn)生支路中產(chǎn)生的電流為的電流為 ikj 。 圖圖b電路中，只有電路中，只有k支路中有電壓源支路中有電壓源uk，其在其在j支路中產(chǎn)生支路中產(chǎn)生的電流為的電流為 ijk 。當(dāng)當(dāng) uk = uj 時(shí)，時(shí)，ikj = ijk 。ikj線(xiàn)性線(xiàn)性電阻電阻網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) N+ujabcd(a)j支路支路k支路支路cd線(xiàn)性線(xiàn)性電阻電阻網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)

20、絡(luò) Nijk+ukab(b)j支路支路k支路支路證明證明 選定回路電流，使支路選定回路電流，使支路j和支路和支路k都都只有一個(gè)回路電流只有一個(gè)回路電流流過(guò)，且取回路電流的方向和電壓升高的方向一致。流過(guò)，且取回路電流的方向和電壓升高的方向一致。ikj線(xiàn)性線(xiàn)性電阻電阻網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) N+ujabcd(a)cd線(xiàn)性線(xiàn)性電阻電阻網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) Nijk+ukab(b)IjIkIjIk列方程列方程0111212111llkkjjIRIRIRIRIR0222222121llkkjjIRIRIRIRIR000111111111111lllklkjljllklkkkjkjkjljlkjkjjjjllkkjjIRIRIRI

21、RIRIRIRIRuIRIRIRIRIRIRIRIRjjkkjkuIIj行行j列列k列列jjjjjjuII圖圖a000ku圖圖b圖圖a圖圖bkkjjkjuIIk行行kkkkkkuIIjjkkjkuIIjjjjjjuII圖圖a圖圖bkkjjkjuIIkkkkkkuII無(wú)受控源無(wú)受控源，系數(shù)矩陣對(duì)稱(chēng)，系數(shù)矩陣對(duì)稱(chēng)kjjk當(dāng)當(dāng) uk = uj 時(shí)，時(shí)，ikj = ijk000111111111111lllklkjljllklkkkjkjkjljlkjkjjjjllkkjjIRIRIRIRIRIRIRIRuIRIRIRIRIRIRIRIR當(dāng)當(dāng)含有受控源含有受控源時(shí)，系數(shù)矩陣不對(duì)稱(chēng)時(shí)，系數(shù)矩陣不對(duì)稱(chēng)kj

22、jk互易定理不成立互易定理不成立?；ヒ锥ɡ沓闪?。互易定理成立。ukjij+jjkk(a)ik+ujkjjkk(b)第二種形式第二種形式:激勵(lì)激勵(lì)電流源，響應(yīng)電流源，響應(yīng)電壓電壓當(dāng)當(dāng) ik = jj 時(shí)，時(shí)，ukj = ujk 課后思考課后思考求電流求電流I 。解解利用互易定理利用互易定理I2 = 0.5 I1=0.5A I= I1- -I3 = 0.75AA14/)32/2(8101I例例1I2 4 2 8 +10V3 I2 4 2 8 +10V3 I1I2I3I3 = 0.5 I2=0.25A 例例2R+_2V2 0.25A已知如圖已知如圖 , 求：求：I1R+_10V2 I1解解R+_2V

23、2 0.25A互易互易齊次性齊次性注意方向注意方向AI25. 1)25. 0(2101(1) 適用于線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)適用于線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)只有一個(gè)電源只有一個(gè)電源時(shí)，電源支路和另一支路時(shí)，電源支路和另一支路間電壓、電流的關(guān)系。間電壓、電流的關(guān)系。(2) 激勵(lì)為電壓源時(shí)，響應(yīng)為電流激勵(lì)為電壓源時(shí)，響應(yīng)為電流激勵(lì)為電流源時(shí)，響應(yīng)為電壓激勵(lì)為電流源時(shí)，響應(yīng)為電壓電壓與電流互易。電壓與電流互易。(3) 電壓源激勵(lì)電壓源激勵(lì)，互易時(shí)原電壓源處短路，電壓源串入另一，互易時(shí)原電壓源處短路，電壓源串入另一支路；支路； 電流源激勵(lì)電流源激勵(lì)，互易時(shí)原電流源處開(kāi)路，電流源并入另一，互易時(shí)原電流源處開(kāi)路，電流源并入另一支路的兩個(gè)節(jié)

24、點(diǎn)間。支路的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間。(4) 互易時(shí)要注意電壓、電流的方向。互易時(shí)要注意電壓、電流的方向。(5) 含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。應(yīng)用互易定理時(shí)應(yīng)注意：應(yīng)用互易定理時(shí)應(yīng)注意：4. 6 對(duì)偶原理對(duì)偶原理 (Dual Principle)一一. 網(wǎng)絡(luò)對(duì)偶的概念網(wǎng)絡(luò)對(duì)偶的概念1. 平面網(wǎng)絡(luò)；平面網(wǎng)絡(luò)；3. 兩個(gè)方程中對(duì)應(yīng)元素互換后方程能彼此轉(zhuǎn)換兩個(gè)方程中對(duì)應(yīng)元素互換后方程能彼此轉(zhuǎn)換 , 互換的元素互換的元素 稱(chēng)為對(duì)偶元素稱(chēng)為對(duì)偶元素 ; 這兩個(gè)方程所表示的兩個(gè)電路互為對(duì)偶。這兩個(gè)方程所表示的兩個(gè)電路互為對(duì)偶。例例1.網(wǎng)孔電流方程：網(wǎng)孔電流方程：(R1 + R2)il = us節(jié)點(diǎn)電壓方程：節(jié)點(diǎn)電壓方程：(G1 + G2 )un = isR2+usilR1G1G2unis2. 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)所涉及的量屬于同一個(gè)物理量?jī)蓚€(gè)網(wǎng)絡(luò)所涉及的量屬于同一個(gè)物理量(電路）；電路）；(R1 + R2)il = us(G1 + G2 )un = isR2+usilR1G1G2unis電阻電阻 R 電壓源電壓源 us 網(wǎng)孔電流網(wǎng)孔電流 il KCL 串聯(lián)串聯(lián) 網(wǎng)孔網(wǎng)孔電導(dǎo)電導(dǎo) G 電流