第二章 過(guò)程特性及其數(shù)學(xué)模型

1、自動(dòng)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：4自動(dòng)化控制系統(tǒng)特點(diǎn)：2PID圖：AFTPL CIR 安裝位置過(guò)渡過(guò)程？過(guò)渡過(guò)程評(píng)價(jià)指標(biāo)：基本5化工過(guò)程的特點(diǎn)及其描述方法對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立建模目的機(jī)理建模實(shí)驗(yàn)建模描述對(duì)象特性的參數(shù)放大系數(shù)時(shí)間常數(shù)滯后時(shí)間干擾干擾控制作用控制作用y1.1.機(jī)理法機(jī)理法: :2.2.測(cè)試法測(cè)試法: :靜態(tài)模型：輸入靜態(tài)模型：輸入 輸出的傳遞函數(shù)關(guān)系。（設(shè)備、流程設(shè)計(jì)輸出的傳遞函數(shù)關(guān)系。（設(shè)備、流程設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)）的基礎(chǔ)） 精餾塔：精餾塔：Q QF F、Q QD D、Q QWW、T TF F、P P 換熱器：換熱器：F F入入、T T出出、F F、T T動(dòng)態(tài)模型：輸入變化動(dòng)態(tài)模型：輸入變化 輸出隨

2、時(shí)間的變化關(guān)系。（控制系統(tǒng)輸出隨時(shí)間的變化關(guān)系。（控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)）設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)） xyxy（t t）對(duì)于控制系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)模型更重要對(duì)于控制系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)模型更重要 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型描述的是對(duì)象在靜態(tài)時(shí)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系。動(dòng)態(tài)模型描述的時(shí)對(duì)象在輸入量改變以后輸出量的變化情況。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是對(duì)象在達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的一個(gè)特例。n一般是在工一般是在工藝流程和設(shè)備藝流程和設(shè)備尺寸等都確定尺寸等都確定的情況，研究的情況，研究對(duì)象的輸入變對(duì)象的輸入變量是如何影響量是如何影響輸出變量的。輸出變量的。n研究的目研究的目的是為了的是為了使所設(shè)計(jì)使所設(shè)計(jì)的控制系的控制系統(tǒng)達(dá)到更統(tǒng)達(dá)到更好的控制好的控制效

3、果。效果。 n在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量已確定的情況量已確定的情況下，通過(guò)模型計(jì)下，通過(guò)模型計(jì)算，確定設(shè)備的算，確定設(shè)備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝流程和某些工藝條件。藝條件。 n（a）n（b）n（c）n用于用于控制控制的數(shù)學(xué)模型（的數(shù)學(xué)模型（a、b）與用于）與用于工藝設(shè)計(jì)與分析工藝設(shè)計(jì)與分析的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)模型（模型（c）不完全相同。）不完全相同。n4輸入量輸入量0 t0 時(shí)間時(shí)間 tany(n)(t)+ an-1y(n-1)(t)+ a1y (t)+ any(t) = b mx(m)(t)+ bm-1x(m-1)(t)+ b1x (t)+ bnx(t)any(n)(t)+

4、 an-1y(n-1)(t)+ a1y (t)+ any(t) = x(t)a1y (t)+ ay(t) = x(t)輸出量輸出量0 t0 時(shí)間時(shí)間 t一、建模目的n（1 1）控制系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì)）控制系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì) n （2 2）控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定）控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定 n （3 3）制定工業(yè)過(guò)程操作優(yōu)化方案）制定工業(yè)過(guò)程操作優(yōu)化方案 n （4 4）新型控制方案及控制算法的確定）新型控制方案及控制算法的確定 n （5 5）計(jì)算機(jī)仿真與過(guò)程培訓(xùn)系統(tǒng)）計(jì)算機(jī)仿真與過(guò)程培訓(xùn)系統(tǒng) n （6 6）設(shè)計(jì)工業(yè)過(guò)程的故障檢測(cè)與診斷系統(tǒng)）設(shè)計(jì)工業(yè)過(guò)程的故障檢測(cè)與診斷系統(tǒng) 1.1.一階對(duì)

5、象：一階對(duì)象：物料平衡物料平衡: : Q1Q2 (Q1Q2)dtAdh SRhQ 2h1Q12Q21QRhdtdhARSSAdhdtRhQS)(1SSRKART1KQhdtdhTT:時(shí)間常數(shù)、K:放大系數(shù)hQ1（t）hQhQ1 1（t t）dtQAh11dtQAdh11Q2 不變h1Q1Q2eie0RC根據(jù)基爾霍夫定律0ieiRe0deiCdt00ideRCeedt00ideTeedtTRCidhThK qdt( )(1)tTh tKae一階對(duì)象：一階對(duì)象：3.3.二階對(duì)象：二階對(duì)象： 物料平衡物料平衡: h: h2 2QQ1 1（t t） (Q1Q12)dtAdh1 (Q12Q2)dtAdh

6、2 222RhQ )11(1221222dtdhRdtdhRAdthd并求導(dǎo)得：代入將 2212QdtdhAQ22211 RKARTARTh11Q1h2R1Q12R2Q2 1112RhQ )(11211QQAdtdh )(12122QQAdtdh )(122211RhdtdhAQAdtdh 12222122221QRhdtdhARARdthdARAR）（并整理得：代入將 1222122221KQhdtdhTTdthdTT）（2221212221112222()( )id hdhTTTThK qdtdtTA RTA R KR121222121( )1ttTTTTh tKaeeTTTT機(jī)理建模n對(duì)

7、于某些對(duì)象，人們還難以寫(xiě)出它們的數(shù)學(xué)對(duì)于某些對(duì)象，人們還難以寫(xiě)出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者表達(dá)式中的某些系數(shù)還難以確定表達(dá)式，或者表達(dá)式中的某些系數(shù)還難以確定時(shí)，不能適用。時(shí)，不能適用。n具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應(yīng)性，便于對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。大的適應(yīng)性，便于對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。 n優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)n缺點(diǎn)缺點(diǎn)過(guò)程特性參數(shù)可以由過(guò)程的數(shù)學(xué)模型通過(guò)求解得到，但是在生產(chǎn)過(guò)程中，很多過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是很難得到的。 工程上一般用實(shí)驗(yàn)方法來(lái)測(cè)定過(guò)程特性參數(shù)。最簡(jiǎn)便的方法就是直接在原設(shè)備或機(jī)器中施加一定的擾動(dòng)，通過(guò)該過(guò)程的輸出變量進(jìn)行測(cè)量和記錄，然后通過(guò)分析整理

8、得到過(guò)程特性參數(shù)。階躍輸入t0At0A矩形脈沖t1階躍擾動(dòng)法直觀、簡(jiǎn)便易行、所以得到了廣泛的應(yīng)用。但是階躍擾動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)、擾動(dòng)因素較多的話，會(huì)影響測(cè)試精度；由于工藝條件的限制，階躍擾動(dòng)幅度不能太大，所以在實(shí)施擾動(dòng)法時(shí)應(yīng)該在系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定的情況下進(jìn)行。一般所加輸入作用的大小事取額定值的510%。階躍輸入t0An簡(jiǎn)易但精度較差矩形脈沖干擾法來(lái)測(cè)取對(duì)象特性時(shí)，由于加在對(duì)象的干擾，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后即被去除，因此干擾的幅度可以取得比較大，以提高實(shí)驗(yàn)精度，對(duì)象的輸出量又不至于長(zhǎng)時(shí)間地偏離給定值，因而對(duì)正常生產(chǎn)影響較小。目前，這種方法也是測(cè)取對(duì)象動(dòng)態(tài)特性地常用方法之一。t0A矩形脈沖t1幅值較大，實(shí)驗(yàn)精度較高2.

9、矩形脈沖擾動(dòng)法矩形脈沖擾動(dòng)法在過(guò)程的輸入端施加一系列頻率不同的周期性擾動(dòng)，一般以正弦波居多。由于正弦波擾動(dòng)圍繞在設(shè)定值上下波動(dòng)，對(duì)工藝生產(chǎn)的影響較小，測(cè)試精度較高，可直接取得過(guò)程的頻率特性，數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單、直觀。本法需要復(fù)雜的正弦波發(fā)生器，測(cè)試的工作量較大。n3.周期擾動(dòng)法周期擾動(dòng)法該法可直接利用正常運(yùn)行所記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而獲得過(guò)程特性參數(shù)。4.統(tǒng)計(jì)分析法統(tǒng)計(jì)分析法 用特性方程來(lái)描述對(duì)象特性在實(shí)際操作中很不直觀，故提取了3個(gè)參數(shù)來(lái)直接描述對(duì)象特性。下面研究前提，假定輸入量是有一定幅值的階躍作用。n一、放大系數(shù)一、放大系數(shù)Kn 對(duì)于前面介紹的水槽對(duì)象，當(dāng)流入流量對(duì)于前面介紹

10、的水槽對(duì)象，當(dāng)流入流量Q1 1有一定的有一定的階躍變化后，液位階躍變化后，液位h也會(huì)有相應(yīng)的變化，但最后會(huì)穩(wěn)定在也會(huì)有相應(yīng)的變化，但最后會(huì)穩(wěn)定在某一數(shù)值上。如果我們將流量某一數(shù)值上。如果我們將流量Q1 1的變化的變化 Q1 1看作對(duì)象的輸看作對(duì)象的輸入，而液位入，而液位h的變化的變化 h看作對(duì)象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)看作對(duì)象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，對(duì)象一定的輸入就對(duì)應(yīng)著一定的輸出，這種特性稱為時(shí)，對(duì)象一定的輸入就對(duì)應(yīng)著一定的輸出，這種特性稱為對(duì)象的靜態(tài)特性。對(duì)象的靜態(tài)特性。 n圖圖2-12 水槽液位的變化曲線水槽液位的變化曲線1QhK1QKhn或或nK在在數(shù)值數(shù)值上等于對(duì)象重新穩(wěn)定后的輸上等

11、于對(duì)象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量之比。出變化量與輸入變化量之比。K越大越大，就表示對(duì)象的輸入量有一定變化時(shí)，就表示對(duì)象的輸入量有一定變化時(shí)，對(duì)輸出量的影響越大，即被控變量對(duì)對(duì)輸出量的影響越大，即被控變量對(duì)這個(gè)量的變化這個(gè)量的變化越靈敏越靈敏。n26n舉例n以合成氨的轉(zhuǎn)換爐為例，說(shuō)明各個(gè)量的變化對(duì)被控變量K的影響n 生產(chǎn)過(guò)程要求一氧化碳的轉(zhuǎn)化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長(zhǎng)。通常用變換爐一段反應(yīng)溫度作為被控變量，來(lái)間接地控制轉(zhuǎn)換率和其他指標(biāo)。 n圖圖2-13 一氧化碳變換過(guò)程一氧化碳變換過(guò)程示意圖示意圖n圖圖2-14 不同輸入作用時(shí)的被控變量不同輸入作用時(shí)的被控變量變化曲線變化曲線u

12、fyK其它參數(shù)不變 uyKofyKf 二、時(shí)間常數(shù)Tn 從大量的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有的對(duì)象受到干擾后，從大量的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有的對(duì)象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達(dá)到了穩(wěn)定值；有的對(duì)象被控變量變化很快，較迅速地達(dá)到了穩(wěn)定值；有的對(duì)象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間才在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。 n圖圖1-15 不同時(shí)間常數(shù)對(duì)象的反應(yīng)曲線不同時(shí)間常數(shù)對(duì)象的反應(yīng)曲線n如何定量地表示對(duì)象受如何定量地表示對(duì)象受干擾后的這種特性呢？干擾后的這種特性呢？ n在自動(dòng)化領(lǐng)域中，往往用在自動(dòng)化領(lǐng)域中，往往用時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T來(lái)表示。時(shí)

13、間常來(lái)表示。時(shí)間常數(shù)越大，表示對(duì)象受到干數(shù)越大，表示對(duì)象受到干擾作用后，被控變量變化擾作用后，被控變量變化得越慢，到達(dá)新的穩(wěn)定值得越慢，到達(dá)新的穩(wěn)定值所需的時(shí)間越長(zhǎng)。所需的時(shí)間越長(zhǎng)。 n291KQhdtdhTn舉例舉例n簡(jiǎn)單水槽為例簡(jiǎn)單水槽為例n由前面的推導(dǎo)可知由前面的推導(dǎo)可知n假定假定Q1 1為階躍作用，為階躍作用，t000或或t=0=0時(shí)時(shí)Q1 1= =A，如左圖。，如左圖。 TteKAth1n則函數(shù)表達(dá)式為則函數(shù)表達(dá)式為n（2-33）n圖圖2-16 2-16 反應(yīng)曲線反應(yīng)曲線 KAh AhKn 從上頁(yè)圖反應(yīng)曲線可以看出，對(duì)象受到階躍作用后，被從上頁(yè)圖反應(yīng)曲線可以看出，對(duì)象受到階躍作用后，

14、被控變量就發(fā)生變化，當(dāng)控變量就發(fā)生變化，當(dāng)t時(shí)，被控變量不再變化而達(dá)到時(shí)，被控變量不再變化而達(dá)到了新的穩(wěn)態(tài)值了新的穩(wěn)態(tài)值h（），這時(shí)上式可得：），這時(shí)上式可得： n或或n 對(duì)于簡(jiǎn)單水槽對(duì)象，對(duì)于簡(jiǎn)單水槽對(duì)象，K= =RS，即放大系數(shù)只與出水閥的阻，即放大系數(shù)只與出水閥的阻力有關(guān)，當(dāng)閥的開(kāi)度一定時(shí)，放大系數(shù)就是一個(gè)常數(shù)。力有關(guān)，當(dāng)閥的開(kāi)度一定時(shí)，放大系數(shù)就是一個(gè)常數(shù)。n（2-34） KAeKATh632. 011 hTh632. 0n將將 t=T 代入式（代入式（2-33），得），得n（2-35）n將式（將式（2-34）代入式（）代入式（2-35），），得得n（2-36）n 當(dāng)對(duì)象受到階躍輸入后

15、，被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的當(dāng)對(duì)象受到階躍輸入后，被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.263.2所需的時(shí)間，就是時(shí)間常數(shù)所需的時(shí)間，就是時(shí)間常數(shù)T，實(shí)際工作中，常用這，實(shí)際工作中，常用這種方法求取時(shí)間常數(shù)。顯然，時(shí)間常數(shù)越大，被控變量的種方法求取時(shí)間常數(shù)。顯然，時(shí)間常數(shù)越大，被控變量的變化也越慢，達(dá)到新的穩(wěn)定值所需的時(shí)間也越大。變化也越慢，達(dá)到新的穩(wěn)定值所需的時(shí)間也越大。 n圖圖2-17 不同時(shí)間常數(shù)下的反應(yīng)曲線不同時(shí)間常數(shù)下的反應(yīng)曲線nT1T2T3T4n 說(shuō)明說(shuō)明n時(shí)間常數(shù)大的對(duì)象（如時(shí)間常數(shù)大的對(duì)象（如T4)n對(duì)輸入的反應(yīng)較慢，對(duì)輸入的反應(yīng)較慢，n一般認(rèn)為慣性較大。一般認(rèn)為慣性較大。TteTKAd

16、tdh ThTKAdtdht00tdtdhn在輸入作用加入的瞬間，液位在輸入作用加入的瞬間，液位h的變化速度是多大呢？的變化速度是多大呢？n將式（將式（2-332-33）對(duì)）對(duì) t 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得n（2-37）n當(dāng)當(dāng) t =0n（2-38）n當(dāng)當(dāng) t 時(shí)，式（時(shí)，式（2-37）可得）可得n（2-39） hKAeKATh95. 095. 0133n圖圖2-18 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T的求法的求法n 由左下圖所示，式（由左下圖所示，式（2-38）代表了曲線在起始點(diǎn)時(shí)切線的）代表了曲線在起始點(diǎn)時(shí)切線的斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值h（）上截得的一段時(shí)間正好）上截得的一段時(shí)間正好等

17、于等于T。n由式（由式（2-33），當(dāng)），當(dāng) t =時(shí)，時(shí)，h = KA。當(dāng)。當(dāng) t=3T時(shí)，代入式（時(shí)，代入式（2-33）得）得n（2-40）n 從加入輸入作用后，經(jīng)過(guò)從加入輸入作用后，經(jīng)過(guò)3T時(shí)間，液位已經(jīng)變化了全部變化范時(shí)間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的圍的95，這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動(dòng)態(tài)過(guò)程基本結(jié)束。所以，時(shí)間常，這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動(dòng)態(tài)過(guò)程基本結(jié)束。所以，時(shí)間常數(shù)數(shù)T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過(guò)程所需要的時(shí)間的是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過(guò)程所需要的時(shí)間的一個(gè)重要參數(shù)。一個(gè)重要參數(shù)。 n結(jié)結(jié)n論論 T O c(t) t B 63.2% ( )(1)tTh tKae

18、1( )(1)0.632tTh TKAeKA將代入三、滯后時(shí)間n定義定義n分類(lèi)分類(lèi)n 對(duì)象在受到輸入作用后，被控變量卻不能對(duì)象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。n滯滯n后后n性性n質(zhì)質(zhì)n傳遞滯后傳遞滯后n容量滯后容量滯后n 傳遞滯后又叫純滯后，一般用傳遞滯后又叫純滯后，一般用 0 0表表示。示。 0 0的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時(shí)間而引起的。要一段時(shí)間而引起的。 n 對(duì)象在受到階躍輸入作用對(duì)象在受到階躍輸入作用x后，被控后，被控變量變量y開(kāi)始變化很慢，后來(lái)才逐漸加快，最開(kāi)始變化很慢

19、，后來(lái)才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。n1. 1. 傳遞滯后傳遞滯后n顯然，純滯后時(shí)間顯然，純滯后時(shí)間 0 0與皮帶輸送機(jī)的傳送速度與皮帶輸送機(jī)的傳送速度v和傳送距和傳送距離離L有如下關(guān)系：有如下關(guān)系： vL0n（2-41）n溶解槽及溶解槽及其反應(yīng)曲線其反應(yīng)曲線n純滯后時(shí)間純滯后時(shí)間n舉例舉例n第三節(jié)第三節(jié) 描述對(duì)象特性的參數(shù)描述對(duì)象特性的參數(shù)n從測(cè)量方面來(lái)說(shuō)，從測(cè)量方面來(lái)說(shuō)，由于測(cè)量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測(cè)量元件安裝不由于測(cè)量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測(cè)量元件安裝不合適等原因也會(huì)造成傳遞滯后。合適等原因也會(huì)造成傳遞滯后。n蒸汽直接加熱器蒸汽直接加熱器n 當(dāng)加熱蒸汽量增大時(shí)，槽當(dāng)

20、加熱蒸汽量增大時(shí)，槽內(nèi)溫度升高，然而槽內(nèi)溶液流內(nèi)溫度升高，然而槽內(nèi)溶液流到管道測(cè)溫點(diǎn)處還要經(jīng)過(guò)一段到管道測(cè)溫點(diǎn)處還要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間時(shí)間0。所以，相對(duì)于蒸汽流。所以，相對(duì)于蒸汽流量變化的時(shí)刻，實(shí)際測(cè)得的溶量變化的時(shí)刻，實(shí)際測(cè)得的溶液溫度液溫度T要經(jīng)過(guò)時(shí)間要經(jīng)過(guò)時(shí)間0后才開(kāi)后才開(kāi)始變化。始變化。 n注意：注意：安裝成分分析儀器時(shí)，取樣管線太長(zhǎng)，取樣點(diǎn)安裝離安裝成分分析儀器時(shí)，取樣管線太長(zhǎng)，取樣點(diǎn)安裝離設(shè)備太遠(yuǎn)，都會(huì)引起較大的純滯后時(shí)間，工作中要盡量避免。設(shè)備太遠(yuǎn)，都會(huì)引起較大的純滯后時(shí)間，工作中要盡量避免。 n圖圖2-21 有、無(wú)純滯后有、無(wú)純滯后的一階階躍響應(yīng)曲線的一階階躍響應(yīng)曲線nx為輸入量，為

21、輸入量，y（t）、）、 y（t）分別為無(wú)、有純滯后時(shí)的輸出量）分別為無(wú)、有純滯后時(shí)的輸出量時(shí)時(shí) tKxtydttdyT tKxtydttdyT tttyty, 0, 0, 00,ttyttytyn或或n若無(wú)純滯后的對(duì)象特性可以用下述方程式描述若無(wú)純滯后的對(duì)象特性可以用下述方程式描述n（2-44）n則有純滯后的對(duì)象特性可以用下述方程式描述則有純滯后的對(duì)象特性可以用下述方程式描述n（2-45）KxydtdyTTdtydTT212221 tytytysstrn一般是由于物料或能量的傳遞需要通過(guò)一定阻力而引起的。一般是由于物料或能量的傳遞需要通過(guò)一定阻力而引起的。 n舉例舉例n前面介紹過(guò)的兩個(gè)水槽串聯(lián)

22、的二階對(duì)象前面介紹過(guò)的兩個(gè)水槽串聯(lián)的二階對(duì)象n將輸出量將輸出量h2用用y表示，輸入量表示，輸入量Q1 1用用x表示，則方程式可寫(xiě)表示，則方程式可寫(xiě)為為n假定輸入作用為階躍函數(shù)，其幅值為假定輸入作用為階躍函數(shù)，其幅值為A。已知，二階常。已知，二階常系數(shù)微分方程式的解是系數(shù)微分方程式的解是n（2-46）n（2-47）n2. 2. 容量滯后容量滯后0212221ydtdyTTdtydTT0121221STTSTT22111,1TSTS 2121TtTttreCeCtyn由于對(duì)應(yīng)的齊次方程式為由于對(duì)應(yīng)的齊次方程式為n其特征方程其特征方程為為n求得特征根為求得特征根為n故齊次方程式的通解為故齊次方程式的

23、通解為n式中，式中，C1、C2為決定于初始條件的待定系數(shù)。為決定于初始條件的待定系數(shù)。n（2-48）n（2-49）n（2-50） KAtyss KAeCeCtyTtTt2121KATTTC1211n式（式（2-46）的一個(gè)特解可以認(rèn)為是穩(wěn)定解，）的一個(gè)特解可以認(rèn)為是穩(wěn)定解，n由于輸入由于輸入xA，穩(wěn)定時(shí)，穩(wěn)定時(shí)KATTTC1222n將式（將式（2-51）及式（）及式（2-50）代入式（）代入式（2-47）n可得可得n用初始條件用初始條件y(0)=0， y(0)=0代入式（代入式（ 2-52 ）n可分別解得可分別解得n圖圖2-22 具有容量滯具有容量滯后對(duì)象的反應(yīng)曲線后對(duì)象的反應(yīng)曲線n （2-5

24、1）n（2-52）n（2-53）n（2-54） KAeTTTeTTTtyTtTt121122121KAeTeTTTKATtTt212112n將上述兩式代入式（將上述兩式代入式（2-52），可得），可得n 上式便是串聯(lián)水槽對(duì)象的階躍反應(yīng)函數(shù)。由此式可上式便是串聯(lián)水槽對(duì)象的階躍反應(yīng)函數(shù)。由此式可知，在知，在t=0時(shí)時(shí)y（t）=0；在；在t=時(shí)，時(shí)，y（t）KA。y（t）是穩(wěn)態(tài)）是穩(wěn)態(tài)值值KA與兩項(xiàng)衰減指數(shù)函數(shù)的代數(shù)和。與兩項(xiàng)衰減指數(shù)函數(shù)的代數(shù)和。n說(shuō)明：說(shuō)明：輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度等于零，以后隨著等于零，以后隨著t的增加，變化速度慢慢增大，但當(dāng)?shù)脑黾樱兓俣嚷龃?，但?dāng)t大大于某一個(gè)于某一個(gè)t1值后，變化速度又慢慢減小，直至值后，變化速度又慢慢減小，直至t時(shí)，時(shí)，變化速度減少為零。變化速度減少為零。 n（2-55）n圖