華中賽優(yōu)秀論文A_10520105

1、第六屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了第六屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽的競賽細(xì)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們的參賽報名號為： 10520105 參賽隊(duì)員 (簽名) ：隊(duì)員1： 楊律迅 隊(duì)員2

2、： 程曦 隊(duì)員3： 何晟珂 武漢工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會第六屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽組委會第六屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽編 號 專 用 頁選擇的題號： 1 參賽的編號： 10520105 （以下內(nèi)容參賽隊(duì)伍不需要填寫） 競賽評閱編號： 第六屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽題目： 飛行器空間坐標(biāo)修正 【摘 要】本文通過對所提供的飛行器空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并實(shí)現(xiàn)了飛行器空間坐標(biāo)修正軟件的設(shè)計，以修正坐標(biāo)數(shù)據(jù)提高導(dǎo)航精度，對航天航空技術(shù)的發(fā)展有著理論意義和重要價值。 首先我們對運(yùn)動過程做了整體分析，明確了飛行器相對于觀測站的運(yùn)動過程。其次，對所提供的飛行器空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分

3、析，通過三組能夠相互印證的數(shù)據(jù)（坐標(biāo)，角度，速度）的計算和比較，得出了（偏向角、俯仰角）、（x方向速度、y方向速度、垂直方向速度）兩組數(shù)據(jù)相對于（x方向坐標(biāo)、y方向坐標(biāo)、高度h）更為精確的假設(shè)。在此基礎(chǔ)上，要進(jìn)行飛行器空間坐標(biāo)的隨機(jī)波動誤差和系統(tǒng)誤差的修正，本文主要考慮以下幾個方面：1. 哪些坐標(biāo)觀測值體現(xiàn)了隨機(jī)波動及如何修正隨機(jī)波動誤差；2. 速度和角度兩組較為精確的數(shù)據(jù)具有怎樣的特點(diǎn)，如何利用它們各自精度較強(qiáng)的方面組合來共同修正坐標(biāo)觀測值的系統(tǒng)誤差；3. 針對具體的飛行器的不同飛行過程，如何簡化并分類來找到適合每一種的具體方案從而使每種的誤差修正效果都較為良好。對于問題一，我們利用SPSS

4、軟件進(jìn)行回歸分析，發(fā)現(xiàn)x，y方向坐標(biāo)均隨時間嚴(yán)格線性變化，沒有波動；而對于高度h，則有明顯的白噪聲波動，于是我們在遞推平均濾波法原始方案的基礎(chǔ)上，采用適用于本問題的優(yōu)化方案，利用matlab軟件按照優(yōu)化的遞推平均濾波法重復(fù)計算多次并繪圖，找出既過濾了h的劇烈波動，同時又保留了h的變化趨勢，符合飛行器實(shí)際飛行時的平滑運(yùn)動軌跡狀況，使得隨機(jī)波動誤差修正得較為理想。對于問題二，由于坐標(biāo)觀測值含有線性誤差，我們將該誤差分為兩部分：一部分是常值，反映其平移位置；另一部分是均值為0的變量，反映其形狀。經(jīng)過分析，我們決定用速度數(shù)據(jù)來修正同樣反映斜率變化的變量誤差；用角度數(shù)據(jù)來修正反映平移位置的常值誤差。首先

5、采用vz積分來修正精度相對較高的h，再結(jié)合角度推算出常值誤差。然后通過速度Vx,Vy積分推算變量誤差，最后結(jié)合線性回歸分析使其線性化。最后綜合所得的兩方面誤差，合并為所求線性系統(tǒng)誤差，即可盡最大可能地修正原坐標(biāo)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差。對于問題三，考慮到具體飛行器眾多繁雜的運(yùn)動情況，為了在簡化分類的同時不失其廣泛適用性，我們將復(fù)雜的空間運(yùn)動形式分解到空間坐標(biāo)系中的x,y,z軸上，討論各個方向上單向直線的運(yùn)動的具體情況。又由于x,y,z三個方向的等價性，則只需要討論在x 軸方向上各種運(yùn)動過程即可。同時，為了進(jìn)一步推廣本數(shù)學(xué)模型，簡化各種誤差分析步驟，我們設(shè)計出了飛行器空間坐標(biāo)修正軟件，該軟件能夠?qū)δ骋痪唧w

6、的飛行器的數(shù)據(jù)進(jìn)行智能分析，得出最優(yōu)方案的誤差修正結(jié)果，并能調(diào)用matlab軟件進(jìn)行直觀的作圖分析。關(guān)鍵詞：回歸分析 遞推平均濾波法 限幅濾波法 累計積分法 差值平均法目 錄一、問題的重述51.1問題背景51.2問題提出5二、問題的分析62.1對飛行器飛行狀態(tài)的整體分析62.2修正飛行器坐標(biāo)觀測值的隨機(jī)波動誤差62.3修正飛行器坐標(biāo)觀測值的系統(tǒng)誤差72.4具體的飛行器隨機(jī)波動誤差和系統(tǒng)誤差的修正方法8三、模型的假設(shè)9四、模型的建立與求解104.1修正飛行器坐標(biāo)觀測值的隨機(jī)波動誤差104.2修正飛行器坐標(biāo)的線性系統(tǒng)誤差124.3具體的飛行器隨機(jī)波動誤差和系統(tǒng)誤差的修正方法20五、模型的評價與推廣

7、245.1模型評價245.2模型改進(jìn)25六、參考文獻(xiàn)25七、附錄26一、 問題的重述1.1 問題背景飛行器的導(dǎo)航精度問題一直是航空航天領(lǐng)域研究的重要課題，常見的導(dǎo)航方式有慣性導(dǎo)航、GPS導(dǎo)航、無線電導(dǎo)航等，而不同的導(dǎo)航系統(tǒng)精度不同。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)是一種不依賴于任何外部信息的自主式導(dǎo)航系統(tǒng)，在航空航天領(lǐng)域起著越來越重要的作用。但由于其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差、慣性測量部件誤差、標(biāo)度系數(shù)誤差等因素的影響，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的積累誤差隨著時間的推移而逐漸增大，這一問題嚴(yán)重影響到航空航天技術(shù)的發(fā)展，因此進(jìn)一步研究飛行器空間坐標(biāo)修正方法有重要的理論意義和應(yīng)用價值。1.2 問題提出圍繞飛行器坐標(biāo)修正問題，本題的目標(biāo)是利用數(shù)學(xué)

8、的方法對飛行器的誤差進(jìn)行修正，并利用結(jié)果進(jìn)行飛行器的仿真。在假設(shè)觀測站為坐標(biāo)原點(diǎn)所建立的空間坐標(biāo)中，由觀測站測得飛行器空間位置X(x、y、z)，飛行器的飛行速度V(x軸、y軸、z軸),飛行器與觀測站之間的偏向角 ，俯仰角 以及觀測數(shù)據(jù)的時間間隔t（0.15秒）。所給的各項(xiàng)數(shù)據(jù)均含有一定的誤差，其中觀測站的坐標(biāo) (0,0,0)不含誤差，飛行器的坐標(biāo)（觀測值）可能含有較大誤差。要求根據(jù)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行如下工作：1.由于電子儀器的精度和噪聲干擾等， 所給的飛行器坐標(biāo)的觀測值含有一定的誤差波動，建立數(shù)學(xué)模型對飛行器坐標(biāo)觀測值的隨機(jī)波動誤差進(jìn)行修正。2.由于觀測數(shù)據(jù)的

9、儀器有系統(tǒng)誤差，在長時間的飛行中飛行器坐標(biāo)數(shù)據(jù)的觀測值由于誤差的累積發(fā)生漂移，建立數(shù)學(xué)模型，對飛行器坐標(biāo)觀測值的系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正(提示：在短時間內(nèi)，可以視為飛行器坐標(biāo)含有一定的常量誤差，或者飛行器的這種誤差是線性變化的)。3.結(jié)合具體的飛行器給出隨機(jī)波動誤差和系統(tǒng)誤差的修正方案。二、 問題的分析2.1 對飛行器飛行狀態(tài)的整體分析 利用matlab軟件對所給坐標(biāo)觀測值數(shù)據(jù)進(jìn)行描繪，得到飛行器的軌跡如下圖：圖 2.1.1 飛行器的飛行軌跡 如圖，同時根據(jù)Vx,Vy幾乎不變，Vz0，可知飛行器大致是做高度不變，朝向x負(fù)半軸和y負(fù)半軸之間方向，以近似勻速直線運(yùn)動飛行的。2.2 修正飛行器坐標(biāo)觀測值的隨

10、機(jī)波動誤差針對題目給出的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，我們分析出航天飛行器的飛行過程。由于所給的飛行器觀測值可能有較大誤差，不能直接用于計算，我們考慮進(jìn)行隨機(jī)波動誤差的修正。對于隨機(jī)波動誤差的修正，常見方法有限幅濾波法、平滑濾波法、算術(shù)平均濾波法、遞推平均濾波法(又稱滑動平均濾波法)等1，但由于前三類方法需要在同一點(diǎn)上多次測量取平均值，不能應(yīng)用于此題。通過對給出的時間、x方向坐標(biāo)、y方向坐標(biāo)三項(xiàng)數(shù)據(jù)關(guān)系的分析，我們發(fā)現(xiàn)三項(xiàng)觀測數(shù)據(jù)均為嚴(yán)格線性變化的，在此對x、y方向坐標(biāo)采用遞推平均濾波法也失效，所以只能對高度h采用遞推平均濾波法進(jìn)行修正。第一問分析過程總體來說可由下圖表示：采用遞推平均濾波法對高度h進(jìn)行修正排

11、除各個常見的隨機(jī)波動誤差的修正方法通過數(shù)據(jù)分析飛行器飛行過程分析隨機(jī)波動誤差的變化規(guī)律，思考修正方法開始結(jié)束2.3 修正飛行器坐標(biāo)觀測值的系統(tǒng)誤差在題目中，存在三組可以相互印證的數(shù)據(jù)，即(x,y,h)、(vx,vy,vz)、(,)。而其中(x,y,h)是精度最低的，結(jié)合題意可知它可能有較大的誤差，所以，應(yīng)當(dāng)用另外兩組數(shù)據(jù)來修正(x,y,h)。而考慮到(vx,vy,vz)只與位置的變化有關(guān)，所以用vx，vy，vz來分別修正x，y，z的斜率變化；而用(,)來修正(x,y,h)的整體漂移，但還缺少一個距離量。此時，注意到h的變化率在6秒內(nèi)趨近于0，可認(rèn)為飛行器在等高平面上飛行，同時數(shù)據(jù)中h的精度很高

12、，故可用前面修正過隨機(jī)誤差的h0來作為真實(shí)高度，即用(vx,vy,vz) 和(,h0)來分別修正(x,y,h)的斜率誤差和整體漂移誤差，從而消除線性系統(tǒng)誤差。第二問具體分析過程可由下圖表示：開始確定誤差最大的數(shù)據(jù)組以及用于修正誤差的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)組確認(rèn)誤差數(shù)據(jù)組（x,y,h）的線性誤差包含因素系統(tǒng)誤差中大小隨時間變化的部分斜率誤差系統(tǒng)誤差中大小不隨時間變化的常量部分整體平移誤差確認(rèn)修正該誤差所用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)組(vx,vy,vz)并進(jìn)行修正確認(rèn)修正該誤差所用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)組(,hx)并進(jìn)行修正綜合上述兩種方法消除線性系統(tǒng)誤差結(jié)束2.4 具體的飛行器隨機(jī)波動誤差和系統(tǒng)誤差的修正方法對于任意一種飛行器，它的運(yùn)動狀態(tài)

13、是有很多種的，如：方向上有單向運(yùn)動、往返運(yùn)動；軌跡上有直線運(yùn)動、曲線運(yùn)動等；速度變化上有勻速、勻加速、勻變速等。各種方案不一而足，為了使解決方案能夠盡可能多地涵蓋各種運(yùn)動，我們將空間運(yùn)動分解為三個坐標(biāo)軸上的直線運(yùn)動的組合，將往返運(yùn)動看成多個單向運(yùn)動的合成。這樣，只需討論單個坐標(biāo)軸上的單向直線運(yùn)動，而近似勻速運(yùn)動是本題1、2問著重討論過的，所以只用考慮勻加速、變加速運(yùn)動和無規(guī)律運(yùn)動的解決方案。開始決定分情況考慮坐標(biāo)軸上的直線運(yùn)動情況討論X軸上的直線運(yùn)動情況分運(yùn)動情況探究修正誤差的方法將X軸運(yùn)算結(jié)果平移到其他坐標(biāo)軸上并建立模型結(jié)束三、 模型的假設(shè)1. 假設(shè)飛行器的干擾噪聲的幅度分布服從高斯分布，功

14、率譜密度又是均勻分布的，即飛行器的隨機(jī)誤差為高斯白噪聲3；2. 假設(shè)相對于x方向坐標(biāo)、y方向坐標(biāo)、高度h的觀測值,偏向角、俯仰角、x方向速度、y方向速度、垂直方向速度的觀測值更為精確；3. 由于慣性導(dǎo)航是利用陀螺儀和加速度計這兩種慣性敏感器，通過測量加速度和角速度而實(shí)現(xiàn)的自主式導(dǎo)航方法，而飛行器姿態(tài)變化會使加速度計收到的重力發(fā)生改變，我們假設(shè)將加速度計安裝在機(jī)電陀螺穩(wěn)定平臺上，不管飛行器怎樣轉(zhuǎn)動，機(jī)電陀螺平臺始終水平并有確定的指向，由此加速度計可以保持水平和確定的方向，即為平臺式慣性導(dǎo)航4；4.假設(shè)在短距離內(nèi)，忽略地球上空間坐標(biāo)的弧度變化，即將地球表面看作平面；5. 假設(shè)在本題目中不存在重力異

15、常5。（慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的導(dǎo)航精度與地球參數(shù)的精度密切相關(guān)，而由于地殼密度不均勻、地形變化等因素，地球各點(diǎn)的參數(shù)實(shí)際值與計算值之間往往有隨機(jī)性的差異，稱為重力異常） 四、 模型的建立與求解4.1 修正飛行器坐標(biāo)觀測值的隨機(jī)波動誤差4.1.1 符號說明符號含義t-x的方差t-y的方差t-h的方差修正隨機(jī)誤差后的最新值原始數(shù)據(jù)值N進(jìn)行平均的數(shù)據(jù)個數(shù)H的第i個數(shù)據(jù)在第c次修正隨機(jī)波動誤差后的結(jié)果H的第i個數(shù)據(jù)C重復(fù)遞推平均濾波法運(yùn)算的次數(shù)4.1.2 模型建立以t為自變量，分別以x，y，h為因變量，利用SPSS軟件進(jìn)行回歸分析，結(jié)果分別為： (1.2)可以看出t-x，t-y為標(biāo)準(zhǔn)直線，沒有波動變化和隨機(jī)誤

16、差體現(xiàn)，而t-h具有波動變化。所以，對隨機(jī)誤差的修正只能對于h進(jìn)行。4.1.2.1 遞推平均濾波法原始方案h在同一個t上僅有一個測量值，需要在變化過程中消除隨機(jī)波動，這是一種消除高斯白噪聲的濾波，所以我們采用遞推平均濾波法。原始模型如下：在存儲器中，開辟一個區(qū)域作為暫存隊(duì)列使用，隊(duì)列的長度固定為N，每進(jìn)行一次新的測量，把測量結(jié)果放入隊(duì)尾，而扔掉原來隊(duì)首的那個數(shù)據(jù)，這樣在隊(duì)列中始終有N個“最新”的數(shù)據(jù)。即： （1.2.1）4.1.2.2 遞推平均濾波法基于本題的優(yōu)化方案對于本問題，數(shù)據(jù)處理不要求實(shí)時性；并且對于41個連續(xù)數(shù)據(jù)的優(yōu)化，取N=5較為合適，所以可將上述模型優(yōu)化并具體為：對于第339個數(shù)

17、據(jù)取其和其左右各2個數(shù)據(jù)共5個數(shù)據(jù)求平均作為新值，對于第2個和第40個數(shù)據(jù)取其及其相鄰共3個數(shù)據(jù)平均作為新值，對于第1個和第41個數(shù)據(jù)直接保留。即： （1.2.2）上述算法可以多次重復(fù)進(jìn)行。每進(jìn)行一次，數(shù)據(jù)波動的平滑度會上升，但是靈敏度會下降，故需要在模型求解中根據(jù)試驗(yàn)情況確定重復(fù)運(yùn)算次數(shù)C。4.1.3 模型求解利用matlab軟件按照公式(1.2.2)進(jìn)行10次計算，依次得到10個數(shù)組 ,在同一個坐標(biāo)軸中描繪 圖像，如下：圖 4.1.3-1 隨機(jī)誤差減小效果圖上圖中，隨著c的增加，曲線不斷趨于平滑，但是幅度也越來越小。C過小時，震蕩頻繁，隨機(jī)誤差修正不明顯；c過大時，振幅偏小，過多的平均使其

18、與真實(shí)值之間差值過大。經(jīng)過比較，我們認(rèn)為c=3時修正效果較為理想（是使曲線較為平滑的最小c值）。c=3時如下圖：圖 4.1.3-2 h修正隨機(jī)誤差前后對比圖可以看出，h3已經(jīng)過濾了h的劇烈波動，同時又保留了h的變化趨勢，符合飛行器實(shí)際飛行時的平滑運(yùn)動軌跡狀況，隨機(jī)波動誤差修正得較為理想。不過，兩頭的2個數(shù)據(jù)由于半邊數(shù)據(jù)缺失沒有得到修正，真實(shí)度稍低，但這并不影響到其他數(shù)據(jù)的修正，所以若需要時，可以人為去掉兩頭2個數(shù)據(jù)。4.2 修正飛行器坐標(biāo)的線性系統(tǒng)誤差4.2.1 符號說明符號說明h起點(diǎn)為0，由速度Vz積分得到的高度值數(shù)組h平移成為的均值為0的數(shù)組通過問題1中得到的h3平移成為的均值為0的數(shù)組通

19、過和綜合修正h后得到的數(shù)組，對h和h0之間誤差的線性回歸分析的系數(shù)h0與h差值的數(shù)組線性化后的數(shù)組h修正線性誤差后的結(jié)果，x,y修正線性誤差后的結(jié)果xp,ypx,y系統(tǒng)誤差中的常量部分，由角度確定x，yx,y系統(tǒng)誤差中的變量部分，其均值為0，由速度積分確定x1,y1由角度確定的x，y坐標(biāo)數(shù)組x2,y2由速度積分確定的，起點(diǎn)設(shè)為0的x，y坐標(biāo)數(shù)組,x2,y2與x,y比較得到的差值數(shù)組，,線性化處理后的均勻變化結(jié)果4.2.2 所給數(shù)據(jù)的精度判斷從題目已知坐標(biāo)觀測值可能含有較大誤差，可能漂移；而角度和速度的誤差未知。因此，完全消除所有誤差是不可能做到的。這就需要判斷角度和速度在哪方面具有較小誤差，并

20、利用它們的特性修正坐標(biāo)觀測值的誤差，這樣才能盡可能地使誤差最小化。首先，我們用速度積分后（這里目的只是做初步判斷，且相關(guān)算法在模型建立中都有闡述，所以這里不做算法詳述），與坐標(biāo)觀測值比較，得到如下結(jié)果（以t-x為例）：可見，速度數(shù)據(jù)基本反映了坐標(biāo)值曲線的斜率變化，且反映出了6s內(nèi)的誤差積累，作為斜率誤差的修正是十分合適的。然后，我們用坐標(biāo)觀測值計算偏向角和俯仰角，與直接測算的偏向角和俯仰角進(jìn)行對比，如下圖（以t-alpha為例）：可見，兩條曲線存在一定的平移偏差，這一偏差反映出了坐標(biāo)觀測值數(shù)據(jù)的整體漂移誤差，用于修正這一誤差是十分合適的。而由于角度計算坐標(biāo)變化斜率時需要加入其它數(shù)據(jù)，產(chǎn)生的誤差

21、相比用速度來計算要大，所以不適宜用角度來修正斜率變化。另外，h的精度在坐標(biāo)觀測值中是較高的。x,y是嚴(yán)格均勻變化的，顯然不符合實(shí)際情況，誤差較大；h在一個常值附近進(jìn)行微小的波動，誤差微小，且在誤差積累的同時也會正負(fù)抵消。所以，首先使h誤差最小化，以滿足后續(xù)計算的需求，是合適的。 鑒于上述數(shù)據(jù)精度分析，我們建立下述模型來修正坐標(biāo)值誤差。4.2.3 模型建立4.2.3.1 h的誤差模型雖然h誤差相對較小，但由于我們需要用,h確定較為準(zhǔn)確的位置整體漂移信息，所以h的準(zhǔn)確度尤為重要，我們需要進(jìn)一步使其誤差達(dá)到最小化。我們采用較為精確的vz通過積分來描摹飛行器高度曲線的整體趨勢。在每段時間間隔（0.15

22、s）內(nèi)飛行器運(yùn)動可以近似于勻速直線運(yùn)動，其每段速度取兩端平均，再由所得平均速度求各項(xiàng)積分可得高度h,即為（不妨設(shè)起始點(diǎn) =0）：得到的h是初始值為0的遞減數(shù)列，為了使其具有修正原h(huán)的作用，通過平移h使其成為均值為0的量，獲得一組能修正h同時不改變h波動中心的量h： 但由于的遞減變化不符合原始h數(shù)據(jù)的上下波動，所以我們把前一問中修正隨機(jī)誤差后的h3的波動情況也保留下來，作為均值為0的數(shù)組h3： 由于這兩種波動都含有誤差且增減類型不同，為了使誤差最小化，采用兩種波動平均化，再平移到原來位置上的方法，得到h修正后的數(shù)組h0： 由此而得的高度h0已經(jīng)盡可能地使h誤差最小化了。4.2.3.2 h的誤差線

23、性化模型由于h的誤差也是線性化的，這里將h的誤差線性回歸為直線。即： ，其中 通過 得到線性化的誤差，再添加到h上，得到h線性誤差修正后的h00：4.2.3.3 x,y的誤差模型x,y的觀測值精度是非常低的，其修正誤差后的修正值和誤差表示如下：（2.2.2）Xp,yp為常量，表示x,y的平移誤差，用（,h0）來推算；x和y是線性變量且有 ，表示x,y的斜率誤差，用(Vx,Vy,Vz)推算。因此用下面的方法推算出盡可能精確的xp,yp,。4.2.3.4 通過類極坐標(biāo)（,H）推算xp,yp的算法由于2.2.1校正H較為精確，結(jié)合偏向角、俯仰角可以得到較為精確的(x1,y1,h1)，進(jìn)一步計算即可得

24、到常值誤差xp，yp。首先建立空間直角坐標(biāo)系，通過繪制出偏向角（飛行器與觀測站之間連線在地球平面上的投影與y軸間的夾角）、俯仰角（飛行器與觀測站之間連線與其投影線間的夾角），不難看出x1，y1與高度H間的關(guān)系： 由此得到兩組x,y數(shù)據(jù)分別為 ，繪制出坐標(biāo)值校正一次曲線C5；結(jié)合h觀測值原始數(shù)據(jù)，采用與2.2.1相同的差值平均法，可得這樣就得到了常值誤差xp,yp,以修正x,y的整體平移誤差。4.2.3.5 通過速度Vx,Vy積分推算,的算法要推算誤差,，首先要推算一組包含斜率信息的坐標(biāo)(x2,y2,h2).由于不需要位置信息，不妨人為設(shè)定起點(diǎn) 。由速度與位移關(guān)系公式： 且飛行器在0.15s的時

25、間間隔內(nèi)近似于勻速直線運(yùn)動，其速度為兩端速度的平均，可用分段累加替換分段積分，得到x2，y2算法： 由此結(jié)果和2.2.1所得h2可得出(x2,y2,h2)。將此結(jié)果與(x,y,h)進(jìn)行差值比較，得出未線性化誤差,，即： 再對,相對于時間t作線性回歸分析，即： , 得到回歸方程： 此時即求出了線性變化的，但是還未滿足，只需向下平移平均量即可，即： 這樣就求出了包含斜率變化的線性誤差，。4.2.3.6 匯總修正誤差將所得的xp,yp,代入2.2.1中的式(2.2.2)即可得到x,y修正系統(tǒng)誤差后的x0,y0。與2.2.1匯總即可得到修正系統(tǒng)誤差后的坐標(biāo)(x0,y0,h0).4.2.4 模型求解x,

26、y都是是單調(diào)遞減的，所以vx，vy應(yīng)取符號為負(fù)。在2.2的計算和作圖中印證，更改后數(shù)據(jù)是相符的。在4.2.2的精度分析中， 數(shù)值與相符，與(-)相符 ，所以應(yīng)是連線在水平面上投影與y正半軸順時針偏向的夾角，應(yīng)取正值，表示連線與水平面的夾角。4.2.4.1 數(shù)值計算利用matlab編寫算法，利用上述模型進(jìn)行計算。下面列舉有價值的結(jié)果。1) 修正h過程中得到的波動圖像和平均化對比圖4.2.4.1-1兩種波動的平均化處理2) h誤差線性化模型中對誤差的線性回歸系數(shù)為： 而最終h的回歸曲線圖像一并在下面的匯總部分展示。3) 求得常值誤差xp,yp利用matlab軟件按照算法求得xp=65.0860,y

27、p=93.62324) 求得線性誤差，線性化之前的,以0為起點(diǎn)如下圖：回歸分析后，得到回歸方程，平移使平均值為0后得到線性斜率誤差x，y如下圖：5) (x,y,h)系統(tǒng)誤差修正結(jié)果加上斜率修正誤差和整體平移修正誤差后得到(x0,y0,h00)與t的關(guān)系如下圖所示，每張圖均加入了原始(x,y,h)進(jìn)行對比：x系統(tǒng)誤差修正前后對比如下圖：該誤差的方程為： 可以看出，x需要修正的誤差主要是常量誤差66.940，而其斜率-0.618使得誤差積累在6s內(nèi)只有-0.618*6=-3.708，是十分微小的。y系統(tǒng)誤差修正前后對比如下圖：該誤差的方程為：可以看出，y需要修正的誤差主要是常量誤差95.657，而

28、其斜率-0.678使得誤差積累在6s內(nèi)只有-0.678*6=-4.068，是十分微小的。h的誤差修正如下圖所示：該誤差的方程為：可以看出，h的誤差是十分微小的，系統(tǒng)誤差修正的意義也是較小的，所以只需用第一題中的修正隨機(jī)誤差后的h3就能較為準(zhǔn)確地反映h的變化情況。4.3 具體的飛行器隨機(jī)波動誤差和系統(tǒng)誤差的修正方法4.3.1 模型建立針對不同飛行過程的飛行器，可能出現(xiàn)的情況有單程運(yùn)動和往返運(yùn)動。而單程運(yùn)動中又包括直線運(yùn)動，曲線運(yùn)動。在直線運(yùn)動中又可以分為勻速直線運(yùn)動，勻加速直線運(yùn)動，變加速運(yùn)動（在此僅討論加速的情況，減速同理可得）等；曲線運(yùn)動同樣有以上幾種速度變化形式。往返運(yùn)動可以分解為多個單程

29、運(yùn)動的疊加，采用同樣的討論方法。考慮到眾多繁雜的運(yùn)動情況，不妨將各種運(yùn)動形式分解到空間坐標(biāo)系中的x,y,z軸上，討論各個方向上運(yùn)動的具體情況，便于歸類匯總。本題目前兩個問題已經(jīng)對近似勻速直線運(yùn)動做了探究，以下我們通過三個坐標(biāo)軸的分類對其他幾種飛行情況進(jìn)行闡述。又由于x,y,z三個方向的等價性，在此只需要討論在x 軸方向上各種運(yùn)動過程即可推導(dǎo)y,z軸上的等同運(yùn)動變化。飛行器在x軸上的運(yùn)動類型的判斷過程如下:1) 飛行器在x軸上做近似勻速直線運(yùn)動符號說明 利用加速度計測得的各個時間點(diǎn)上的加速度 相同的時間間隔 觀測的速度值采用累計積分法所得的速度值 積分所得速度值與觀測值之間的差值 修正后的x方向

30、坐標(biāo)根據(jù)分類，不同運(yùn)動方式的差異主要體現(xiàn)在速度變化上。所以，首先應(yīng)當(dāng)對其坐標(biāo)觀測值進(jìn)行微分得到速度數(shù)據(jù)： 對速度曲線進(jìn)行描繪，如果接近于一條直線且斜率接近0，則可歸為勻速直線運(yùn)動；如果接近一條直線而斜率不接近0，則可歸為勻加速直線運(yùn)動；如果曲線無規(guī)律，則繼續(xù)微分： 如果a接近一條直線，則可歸為變加速直線運(yùn)動；否則，歸為無規(guī)律運(yùn)動。2) 飛行器在x軸上做近似勻加速直線運(yùn)動符號說明加速度計測得的一組加速度值 采用限幅濾波法后較為精確的加速度 所給的觀測速度值 相同的時間間隔由加速度 和時間間隔 計算得到的一組速度值 由差值平均法所求的誤差 將平移 個單位所得的較為精確的一組速度值 修正后的x方向坐

31、標(biāo)由于在勻加速直線運(yùn)動中，加速度為一定值，且對后面速度的修正有重要影響，我們決定采用限幅濾波的方法測定此加速度。限幅濾波法即為，利用加速度計多次測量加速度得出多組采樣值，把相鄰兩次采樣值相減求其改變量，然后與兩組采樣值允許的最大差值進(jìn)行比較，若小于允許的最大差值則保留，反之則舍去。逐一比較兩兩相鄰的采樣加速度值，進(jìn)行上述篩選過程，得出一組差值允許范圍內(nèi)的加速度值 ，再取算術(shù)平均值，由此得到了較為精確的加速度值；由確定的加速度值 與時間間隔，不難得出各個時間點(diǎn)上的速度值 ；結(jié)合所給出的觀測速度值 ，我們可以采用與上文中相同的差值平均法進(jìn)行誤差估計，即將 對應(yīng)相減再取平均值可得 以觀測速度值為基準(zhǔn)

32、，將描述變化的曲線平移 個單位，得到較為精確的速度變化曲線，其中包含對應(yīng)的n個修正速度值 ；利用得到的n個修正速度值，通過累計積分法可得 再結(jié)合所測的x方向坐標(biāo)值，再次運(yùn)用上述差值平均法進(jìn)行修正，得出后進(jìn)行平移可得較為精確的x方向坐標(biāo)值，達(dá)到了修正的目的。3) 飛行器在x軸上做變加速直線運(yùn)動符號說明 利用加速度計測得的各個時間點(diǎn)上的加速度 相同的時間間隔 觀測的速度值采用累計積分法所得的速度值 積分所得速度值與觀測值之間的差值 修正后的x方向坐標(biāo)假設(shè)我們用加速度計測出了各個時間點(diǎn)上的加速度，令為，由累計積分法可以進(jìn)行x方向坐標(biāo)的修正。具體過程如下：已知每一個時間間隔，則有那么可以得出一組關(guān)于用

33、累計積分加速度得到的速度值，為；再結(jié)合已知的速度觀測值，運(yùn)用差值平均法可得，；由于通過速度積分所得的Vx變化初始值為零，則以速度觀測值曲線為基準(zhǔn)，將累計積分曲線平移個單位，由此得到校正速度曲線；下面同理，運(yùn)用累計積分法和差值平均法，通過對Vx的積分再結(jié)合觀測所得x軸方向坐標(biāo)的整合，得到修正后的x方向的坐標(biāo)值 。4) 飛行器在x軸上做無規(guī)律運(yùn)動由于飛行器在x軸上做無規(guī)律運(yùn)動，無法確切得出它的運(yùn)動過程和各個時間點(diǎn)上的加速度，由此，只能采用觀測所得的速度值，通過累計積分法得出較為精確的x方向坐標(biāo)變化情況，即 同上，結(jié)合所測的x方向坐標(biāo)值，再次運(yùn)用差值平均法，即可對x方向坐標(biāo)進(jìn)行修正。4.3.2 模型

34、的求解為了便于對不同飛行器的具體情況給出具體方案，我們利用Visual C+語言調(diào)用Matlab軟件，按照上述算法設(shè)計出了飛行器誤差修正軟件。該軟件的工作流程是：1、 根據(jù)用戶輸入的飛行器數(shù)據(jù)進(jìn)行微分、平均等運(yùn)算，以判斷飛行器運(yùn)動類型，對應(yīng)相應(yīng)的模型；2、 調(diào)用matlab軟件，按照編寫的模型算法計算出結(jié)果；3、 給出結(jié)果圖像和統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并顯示提前設(shè)定好的文字解釋。該軟件運(yùn)行示例如下：圖4.3.2-1 數(shù)據(jù)輸入界面圖4.3.2-2 結(jié)果顯示界面五、 模型的評價與推廣5.1 模型評價建模過程中我們采用SPSS軟件及matlab軟件，對于處理大量的數(shù)據(jù)具有速度快、效率高、準(zhǔn)確度高的優(yōu)點(diǎn)。在建立第一

35、個模型的過程中，我們結(jié)合本題的具體情況對遞推平均濾波法的原始方案進(jìn)行了優(yōu)化，在不要求實(shí)時性的前提下設(shè)計出與所提供數(shù)據(jù)個數(shù)相符的遞推平均濾波法。在進(jìn)行C次這一運(yùn)算方法后，數(shù)據(jù)波動圖像的平滑度顯著上升，考慮到靈敏度會隨之下降，我們經(jīng)過比對多次試驗(yàn)結(jié)果，取使曲線較為平滑的C，有效修正了飛機(jī)器飛行的隨機(jī)波動誤差。本模型同樣也存在一些不足，如首尾兩個數(shù)據(jù)無法通過遞推平均濾波法求得、增加數(shù)據(jù)波動平滑度的同時可能會削弱真實(shí)數(shù)據(jù)的波動峰值。在建立第二個模型的過程中，我們將系統(tǒng)誤差分為斜率誤差與整體漂移誤差。通過兩個精確的數(shù)據(jù)組去修正受系統(tǒng)誤差影響較大的（x，y，h）有效減少了系統(tǒng)誤差造成的影響。在建立第三個模

36、型的過程中，通過對飛行器復(fù)雜運(yùn)動在三個坐標(biāo)軸上的分解大大簡化了問題的復(fù)雜程度，將空間運(yùn)動化作直線運(yùn)動來進(jìn)行分類討論，使得分類情況變得更為簡明，計算也更為方便簡潔。5.2 模型改進(jìn)對于問題1，該模型的最大特點(diǎn)是增加平滑度，減小靈敏度，所以其改進(jìn)也應(yīng)當(dāng)從算法應(yīng)用程度出發(fā)。注意到c=2,3時擬合效果都很好，可以考慮用加權(quán)平均的辦法綜合多次結(jié)果達(dá)到最優(yōu)。另外，該算法不可避免的使變化幅度減小，所以可以考慮根據(jù)曲線變化，人為適當(dāng)怎大其幅度。對于問題2，該模型還顯得較為繁瑣復(fù)雜，可考慮通過公式迭代運(yùn)算得出總公式以減小復(fù)雜性；另外，位置的修正對h的依賴較高，應(yīng)當(dāng)增添更多手段修正h的精度。對于問題3，該模型針對

37、不同運(yùn)動狀況提出不同方案，且將運(yùn)動在三個坐標(biāo)軸上分解，可考慮提供針對某些有規(guī)律的曲線運(yùn)動的方案（如勻速圓周運(yùn)動具有很強(qiáng)的規(guī)律性，但是分解以后可能三個方向都屬于無規(guī)則運(yùn)動）。六、 參考文獻(xiàn)1 杜勇,數(shù)字濾波器的MATLAB與FPGA實(shí)現(xiàn)，北京，電子工業(yè)出版社，2012；2 張德豐，MATLAB語言高級編程，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，20103 Harry L.Van Trees，檢測、估值與調(diào)制理論（卷）:雷達(dá)-聲納信號處理與噪聲中的高斯信號，北京，電子工業(yè)出版社，2003；4 高鐘毓，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)，北京，清華大學(xué)出版社，2006；5 章燕申，高精度導(dǎo)航系統(tǒng)，北京，中國宇航出版社，2005；6 沈