一元一次不等式(組)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及典型例題解析

1、一元一次不等式（組）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及典型例題解析【考綱要求】1. 會(huì)解一元一次不等式（組） ，理解一元一次不等式（組）的解集的含義，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；2. 會(huì)用不等式（組）進(jìn)行解題，能利用不等式（組）解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題 .【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】10【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、不等式的相關(guān)概念 1不等式用不等號(hào)連接起來的式子叫做不等式常見的不等號(hào)有五種： “”、 “>” 、 “<” 、 “”、 “”2不等式的解與解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解 不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集 不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法

2、是先確定邊界點(diǎn)：解集包含邊界點(diǎn)，是實(shí) 心圓點(diǎn)；不包含邊界點(diǎn)，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左 .3解不等式求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式 . 要點(diǎn)詮釋：次方程不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的： 不等式的解是不確定的， 是一個(gè)范圍， 而一元 的解則是一個(gè)具體的數(shù)值考點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)性質(zhì) 1：不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子） ，不等號(hào)的方向不變，即如 a> b，那么 a±c>b± c 性質(zhì) 2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即如果a > b ）cc性質(zhì) 3：不等式兩邊乘以（或除以）同一

3、個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即如果a> b，c> 0，那么 ac> bc（或a>b，c< 0，那么 ac<bc（或a < b ） cc1）不等式的其他性質(zhì)：若a> b，則 b< a；若 a>b，b> c，則 a> c；若 a b，且 b a，?則a=b；若 a2 0，則 a=0；若 ab>0或 a ba0，則 a、b同號(hào)；若 ab<0或 ab0，則 a、b 異號(hào).2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a、b 的大小關(guān)系：a-b > O a> b；a-b=Oa=b； a-b < O a<b不等號(hào)具有方向性，其左

4、右兩邊不能隨意交換：但a<b 可轉(zhuǎn)換為 b> a，c d 可轉(zhuǎn)換為 dc.要點(diǎn)詮釋：考點(diǎn)三、一元一次不等式（組）1一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式其標(biāo)準(zhǔn)形式： ax+b> 0（a 0）或 ax+b 0（a 0） ， ax+b< 0（a 0）或 ax+b 0（a 0）2一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，?但要特別注意不等式的兩邊都乘以 （或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向解一元一次不等式的一般步驟： （1） 去分母； （2）去括號(hào)； （3） 移項(xiàng)； （4）合并同類項(xiàng)；

5、 （5） 化系數(shù)為 1 要點(diǎn)詮釋：解一元一次不等式和解一元一次方程類似不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（ 或除以 ）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變，這是解不等式時(shí)最容易出錯(cuò)的地方3一元一次不等式組及其解集含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組 一元一次不等式組中，幾個(gè)不等式解集的公共部分叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集 一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個(gè)條件：組成不等式組的每一個(gè)不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；不等式組中不等式的個(gè)數(shù)至少是 2 個(gè)，也就是說，可以是 2 個(gè)、 3個(gè)、 4

6、個(gè)或更多4一元一次不等式組的解法由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表不等式組 （其中 a>b）圖示解集口訣xa xbbaxa（同大取大）xa xbba axb（同小取小）xa xbbabxa（大小取中間）xa xbba無解（空集）（大大、小小 找不到）注： 不等式有等號(hào)的在數(shù)軸上用實(shí)心圓點(diǎn)表示 .要點(diǎn)詮釋： 解不等式組時(shí)，一般先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集并表示在數(shù)軸上，再求出它們的公共 部分，就得到不等式組的解集5一元一次不等式（組）的應(yīng)用 列一元一次不等式（組）解實(shí)際應(yīng)用問題，可類比列一元一次方程解應(yīng)用問題的方法和技巧，不同 的是，列不等式（組）解應(yīng)

7、用題，尋求的是不等關(guān)系，因此，根據(jù)問題情境，抓住應(yīng)用問題中“不等” 關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)，或從題意中體會(huì)、感悟出不等關(guān)系顯得十分重要要點(diǎn)詮釋： 列一元一次不等式組解決實(shí)際問題是中考考查的一個(gè)重要內(nèi)容，在列不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)掌握以下三個(gè)步驟： （ 1）?找出實(shí)際問題中的所有不等關(guān)系或相等關(guān)系（有時(shí)要通過不等式與方程綜合來 解決），設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組（ ?或不等式與方程的混合組） ；（2）解不等式組； （ 3）從不等式組 （或不等式與方程的混合組） ?的解集中求出符合題意的答案6一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù) y kx b（k0） ，當(dāng)函數(shù)值 y 0時(shí)，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一

8、元一次方程； 當(dāng)函數(shù)值 y>0 或y<0時(shí)，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，利用函數(shù)圖象可以確定x 的取值范圍 .典型例題】類型一、解不等式（組）1解不等式（組） ，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來 （1）2x1<3x+2；2【思路點(diǎn)撥】（1）先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1 即可；（2）先求兩個(gè)不等式的解集，再求公共部分即可【答案與解析】解：（1）移項(xiàng)得， 2x 3x<2+1， 合并同類項(xiàng)得， x< 3， 系數(shù)化為 1 得，x> 3在數(shù)軸上表示出來：（）2解得， x< 1， 解得， x 4.5 在數(shù)軸上表示出來：不等式組的解集為 4.5 x< 1.

9、【總結(jié)升華】 解不等式（組）是中考中易考查的考點(diǎn)，必須熟練掌握 舉一反三：變式 】 解不等式： x 13x1123答案】 解：去分母，得(3 x1)2（3x 1） 6 （不要漏乘！每一項(xiàng)都得乘）去括號(hào)，得 3x36x26 （注意符號(hào)，不要漏乘 ! ）移 項(xiàng)，得 3x6x632 （移項(xiàng)要變號(hào)）合并同類項(xiàng)，得3x7（計(jì)算要正確）系數(shù)化為 1， 得x73（同除負(fù)，不等號(hào)方向要改變，分子分母別顛倒了）3x 5 2x,2解不等式組x1并將其解集在數(shù)軸上表示出來2x 1思路點(diǎn)撥】 分別解出兩個(gè)不等式的解集，再求出公共的解集即可 答案與解析】解：由（ 1）式得 x <5，由（ 2）式得 x-1 ， -

10、1 x < 5數(shù)軸上表示如圖：【總結(jié)升華】 注意解不等式組的解題步驟 . 舉一反三：2（x- 1）+3變式 2】解不等式組 x- 24>x33x，并寫出不等式組的整數(shù)解；【答案】 不等式組的解集為 1 x<5， 類型二、一元一次不等式（組）的特解問題故其整數(shù)解為： 1， 2,3,4 3若不等式組的正整數(shù)解有 3 個(gè)，那么 a 必須滿足（變式 1】解不等式組3x 1 2（x 1） ，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來2（x 1） 4x答案】 不等式組的解集為 -3 x<1，數(shù)軸上表示如圖：a 的范圍A 5<a<6B 5a< 6C 5<a6 D 5a6思路

11、點(diǎn)撥】 首先解得不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組只有三個(gè)正整數(shù)解即可確定答案】 C；解析】 解不等式 52x111 得： 3x6若不等式組有 3 個(gè)正整數(shù)解則不等式組的解集是： 3x< a 則正整數(shù)解是： 3， 4，5 5< a 6故選 C總結(jié)升華】 本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思維法解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解問題舉一反三：【變式 1】關(guān)于 x 的方程，如果 3（ x4） 42a1的解大于 4a 1x a（3x 4）43 的解，求 a 的取值范圍【答案】 a> 7 .18【變式 2】若不等式 -3x+n >0的解集是 x<2，則不等式 -3x+n

12、<0的解集是 【答案】 -3x+n >0，x< n ， n =233即 n=6代入 -3x+n < 0得： -3x+6 <0，類型三、4仔細(xì)觀察下圖，認(rèn)真閱讀對(duì)話：元一次不等式（組）的應(yīng)用x>2.根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，試求出一盒餅干和一袋牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少元【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)對(duì)話找到下列關(guān)系：餅干的標(biāo)價(jià) +牛奶的標(biāo)價(jià)> 10 元；餅干的標(biāo)價(jià)< 10；餅干標(biāo)價(jià)的 90%+牛奶的標(biāo)價(jià) =10 元-0.8 元，然后設(shè)未知數(shù)列不等式組【答案與解析】解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒 x 元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋 y 元xy10(1)則0.9xy 10 0.8(2)x 10(3)

13、由（2）得y=9.2-0.9x（4）把（ 4）代入（ 1）得： 9.2-0.9x+x >10，解得 x>8由（ 3）綜合得 8 <x<10又x 是整數(shù)， x=9把 x=9 代入（ 4）得： y=9.2-0.9 × 9=1.1 （元） 答：一盒餅干標(biāo)價(jià) 9 元，一袋牛奶標(biāo)價(jià) 1.1 元總結(jié)升華】 不等式、方程與實(shí)際生活相聯(lián)系的問題，主要是審好題，計(jì)算準(zhǔn)確 舉一反三：【 變式 】某牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，決定從明年起對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品實(shí)行“限產(chǎn)壓庫(kù)”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)量 20 件，這 20 件的總產(chǎn)值 p（萬(wàn)元）滿足： 110< p< 1

14、20已知有關(guān)數(shù)據(jù)如表 所示， ?那么該公司明年應(yīng)怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量？產(chǎn)品每件產(chǎn)品的產(chǎn)值甲4.5 萬(wàn)元乙7.5 萬(wàn)元答案】解：設(shè)該公司安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品 x 件，那么生產(chǎn)新增乙產(chǎn)品（ 20-x ）件，由題意得：110< 4.5x+7.5 (20-x )< 12010< x< ，依題意，得 x=11， 12， 133當(dāng) x=11 時(shí)， 20-11=9 ；當(dāng) x=12 時(shí)， 20-12=8 ；當(dāng) x=13 時(shí)， 20-13=7 所以該公司明年可安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品 11 件，乙產(chǎn)品 9 件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品 12 件，乙產(chǎn)品 8 件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品 13 件，乙產(chǎn)品 7

15、件類型四、一元一次不等式（組）與方程的綜合應(yīng)用某錢幣收藏愛好者，想把 3 50 元紙幣兌換成的 1 分，2?分， 5 分的硬幣；他要求硬幣總數(shù)為150 枚， 2分硬幣的枚數(shù)不少于 20枚且是 4 的倍數(shù)， 5?分的硬幣要多于 2 分的硬幣；請(qǐng)你根據(jù)此要求，350 元；共有硬幣 150 枚 ?不等設(shè)計(jì)所有的兌換方案【思路點(diǎn)撥】 題目中包含的相等關(guān)系有：所有硬幣的總價(jià)值是關(guān)系有： 2分的硬幣的枚數(shù)不少于 20 枚； 5分的硬幣要多于 2分的硬幣且硬幣的枚數(shù)為 整數(shù)， 2 分的硬幣的數(shù)量是 4 的倍數(shù)答案與解析】解：（法一）設(shè)兌換成1 分， 2 分xyz 150,(1)x2y5z 350,(2)zy

16、,(3)y20,(4)由1），（2）得5 分硬幣分別為 x 枚， y 枚， z 枚，依據(jù)題意，得2004z20,解得40<z 45，z為正整數(shù)，z只能取41，42，43，44，45，由此得出 x，y 的對(duì)應(yīng)值，共有5 種兌換方案x73,x76,x79,x82,x 85,y36,y32,y28,y24,y 20,z41.z42.z43,z44.z 45.將 y 代入（ 3），（ 4）得4z,200法二）：設(shè)兌換成的1 分， 2 分， 5 分硬幣分別為x 枚， y 枚， z 枚，依據(jù)題意可得x y z 150, (1)x 2y 5z 350, (2)z y (3)y 是 4 的倍數(shù)，可設(shè) y

17、=4k （k 為自然數(shù)），y20， 4k20，即 k5將 y=4k 代入（ 1），（ 2）可解得 z=50-k ，z>y， 50-k >4k，即 k<105k<10，又 k 為自然數(shù)， k 取 5，6，7，8，9由此得出 x，y 的對(duì)應(yīng)值，共有 5種兌換方案：x73,x76,x79,x82,x85,y36,y32,y28,y24,y20,z41.z42.z43,z44.z45.【總結(jié)升華】 這是一道方案設(shè)計(jì)題， ?是涉及到方程和不等式的綜合應(yīng)用題6某校組織學(xué)生到外地進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)，共有680 名學(xué)生參加，并攜帶 300 件行李學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車共 20 輛經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載 40 人和 10 件行李，乙種汽車每 輛最多能載 30 人和 20 件行李 如何安排甲、乙兩種汽車可一次性地將學(xué)生和行李全部運(yùn)走？有哪幾種方案？ 如果甲、乙兩種汽車每輛的租車費(fèi)用分別為 2000 元、 1800 元，請(qǐng)你選擇最省錢的一種租車方案 思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意列出不等式組，解出未知數(shù)的取值范圍，分類討論各種方案 .答案與解析】解：（1）設(shè)安排 x輛甲型汽車，安排（ 20-x ）輛乙型汽車 .由題