高數(shù)-全微分方程ppt課件

1、顯然全微分方程顯然全微分方程1的隱式通解為的隱式通解為Cy,xu假設(shè)假設(shè)1是全微分方程，有是全微分方程，有CdyyxQdxyxPyxuxxyy00,0其中其中 是是G 內(nèi)一適當(dāng)選定的點。內(nèi)一適當(dāng)選定的點。00y,x 則稱方程則稱方程為全微分方程。為全微分方程。0,dyyxQdxyxP（1） 設(shè)設(shè)y,xP、y,xQ在區(qū)域在區(qū)域 G 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。假設(shè)假設(shè)dyyxQdxyxPyxdu,，形如形如1的方程是全微分方程的方程是全微分方程（2） 注注:xQyP例例 1 求解求解03335222324dyyxyyxdxyxyx解解 23243635yxyyxyxy 所給方程是全微

2、分方程。所給方程是全微分方程。取取 、 ，有，有00 x00yxydyydxyxyxy,xu00232435332253123yxyyxx所以，方程的通解為所以，方程的通解為.Cyxyyxx33225312322233yxyyxx例例 2 求解求解 0 ydxxdy解解,xydxxdyxyd2 由由將方程兩端同乘以將方程兩端同乘以 ，則化為全微分方程，則化為全微分方程 21x知知 是一個積分因子。是一個積分因子。 21x02xydxxdy即即 0 xyd于是原方程的通解為：于是原方程的通解為： Cxy，即即 y = C x 。注注 一般來說，積分因子并不是唯一的。一般來說，積分因子并不是唯一的

3、。 例例2 中中, xyy112、都是都是 它的積分因子。它的積分因子。 11xQyP可引入積分因子可引入積分因子 0y,x ，0dyy,xQdxy,xP 成為全微分方程。成為全微分方程。 當(dāng)條件當(dāng)條件 不能滿足時，不能滿足時， 使使 注注:xQyP例例 3 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 dxdyxydxdyxy22解解022dyxyxdxy取積分因子取積分因子 22211yxxyxyxy 原方程化為全微分方程原方程化為全微分方程 0112dyxydxxy10 x10y取取 、Cyxyln當(dāng)當(dāng) 為齊次方程時，為齊次方程時， 0dyy,xQdxy,xPy,xyQy,xxP1 其積分因子

4、為其積分因子為 即得微分方程的通解為：即得微分方程的通解為： 111211Cdyydxxyyx補充補充0dyy,xQdxy,xP(1)1)微分方程微分方程(1)只有一個只依賴于只有一個只依賴于y的積分因子的充要條件為的積分因子的充要條件為: yHyyxPxyxQyxP,1且其積分因子為且其積分因子為: dyyHey 2)微分方程微分方程(1)只有一個只依賴于只有一個只依賴于x 的積分因子的充要條件為的積分因子的充要條件為: xGxyxQyyxPyxQ,1且其積分因子為且其積分因子為: dxxGex 02322dyxyxdxyx例例 4 求微分方程求微分方程的通解。的通解。解解:. 14 ,2,

5、2xyxQxyxyxQ; 1 ,3,2yPyxyxP顯然該方程不是全微分方程顯然該方程不是全微分方程,但但 ,22122112xxyxyxxQyPQ所以該微分方程有積分因子所以該微分方程有積分因子: 221xexdxx以以 x 乘以原方程的兩側(cè)乘以原方程的兩側(cè),得方程得方程:0232xxdyydxydydx兩邊積分得兩邊積分得: ,32Cxyyx .0是是方方程程的的一一個個特特解解x或或Cxyxyx223補充補充熟記一些簡單常用的二元函數(shù)的全微分，如熟記一些簡單常用的二元函數(shù)的全微分，如yxyxdyxxdyydxyxarcdyxxdyydxyxdxyxdyydxxydxxdyydxyxdyx

6、dyydxxydxdyydxyxddydxln21tanln 2222222221yxdydyxdx022xdydxyyx例例 5 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 解解:顯然該方程不是全微分方程顯然該方程不是全微分方程. 將原方程改寫為將原方程改寫為: 022xdyydxdxyx又又yxarcdyxxdyydxtan22取積分因子取積分因子 ,1,22yxyx 則方程化為則方程化為: 022yxxdyydxdx兩邊積分的方程的通解為兩邊積分的方程的通解為: Cyxx arctan補充補充例例 6 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。011xdyxyydxxy解解它不是全微分方程。它不

7、是全微分方程。,xQyP重新組合得：重新組合得：0 xdyydxxyxdyydx022ydyxdxyxxyd兩邊乘以積分因子兩邊乘以積分因子 得得 221yx022ydyxdxyxxyd兩邊積分得：兩邊積分得：1ln1Cyxxy即方程的通解為即方程的通解為: xyCeyx11CeC補充補充一、一、 型的微分方程型的微分方程 xfyn例例 1 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 xeyxcos 2解解212cos41CxCxeyx12sin21 Cxeyx32212sin81CxCxCxeyx這就是所求的通解。這就是所求的通解。 一般地，形如一般地，形如 的方程，只要連續(xù)積分的方程，只要連續(xù)

8、積分n 次，即可次，即可 xfyn求得通解。求得通解。 對所給方程積分三次得對所給方程積分三次得 二二 、 型的微分方程型的微分方程( (不顯含不顯含 y )y ) y,xfy ,xpy 令令那么那么 .py 對應(yīng)的微分方程對應(yīng)的微分方程 就成為一個關(guān)于變量就成為一個關(guān)于變量 x、p 的一階微分方程的一階微分方程 p,xf p 設(shè)其通解為設(shè)其通解為 1C,xp 則又得到一個一階微分方程則又得到一個一階微分方程 1C,x y 兩端積分便得原方程的通解為兩端積分便得原方程的通解為 21CdxC,xy 例例 2 求解初值問題求解初值問題:3121002xx y,yxyyx解解 ,xpy 令令兩邊積分

9、得兩邊積分得Cxp21lnln, yx30由由得得31C213x y兩端再積分得兩端再積分得: 323Cxxy于是所求的特解為于是所求的特解為 133.xxy，10 xy由由12C得得即即 121xC ypCeC1dxxxpdp212分離變量后，有分離變量后，有代入方程得代入方程得 xppx212 例例 3 懸鏈線的方程將一均勻、柔懸鏈線的方程將一均勻、柔軟的軟的 繩索兩端固定，繩索僅受重力作用繩索兩端固定，繩索僅受重力作用而下垂，達(dá)平衡狀態(tài)時即為懸鏈線）。而下垂，達(dá)平衡狀態(tài)時即為懸鏈線）。TOxyAMg sH解解且且OA= 某個定值某個定值 。設(shè)繩索的最低點為設(shè)繩索的最低點為 A，取，取 y

10、 軸通過點軸通過點 A、x 軸水平向右，軸水平向右，設(shè)繩索曲線的方程為設(shè)繩索曲線的方程為 y=y(x) ,則該段繩索的重量為則該段繩索的重量為gs。在曲線上任取一點在曲線上任取一點M (x，y),設(shè)設(shè)A 到到M 弧段長為弧段長為s，繩索的線密度為繩索的線密度為，繩索在點繩索在點A 處的張力沿水平方向向左，其大小設(shè)為處的張力沿水平方向向左，其大小設(shè)為H；在點在點M 處的張力沿繩索斜向上處的張力沿繩索斜向上, 并在并在M 點與繩索相切點與繩索相切, 設(shè)其傾角為設(shè)其傾角為、大小為、大小為T 。xdx yay0211, tany 于是于是 ，y= y(x) 應(yīng)滿足的微分方程為應(yīng)滿足的微分方程為:211

11、 yay（*）因作用于因作用于AM 弧段上的外力相互平衡，弧段上的外力相互平衡，把作用于此弧段上的外力沿鉛直及把作用于此弧段上的外力沿鉛直及水平兩方向分解，得水平兩方向分解，得TOxyAMg sH將兩式相除得將兩式相除得 ,1tansa .gHa xdx ys021又由弧長公式又由弧長公式取取AO=，,ayx0初始條件為初始條件為. yx00 , singsT HT cos令令 ，代入方程（，代入方程（*）并分離變量得）并分離變量得p y adxpdp21, 01C00 x y代入初值條件代入初值條件，得，得積分得積分得1Caxarshp（*）于是（于是（*）式成為）式成為,axshp axs

12、h y 即即2Caxachy代入初始條件代入初始條件,ayx0得得.C02所以，懸鏈線方程為所以，懸鏈線方程為axaxeeaaxachy2221ln1lnyypparshp2;2xxxxeechxeeshxaxarshp 三三 、 型的微分方程型的微分方程( (不顯含不顯含 x )x ) y,yfy 令令 ,ypy 那么那么dxdpy y,yfy 于是于是就成為就成為py,fdydpp 分離變量并積分，便得原方程的通解為分離變量并積分，便得原方程的通解為21CxC,ydy 這是一個關(guān)于這是一個關(guān)于y、p的一階微分方程。的一階微分方程。1C,yp y 設(shè)其通解為設(shè)其通解為dxdydydp. dy

13、dpp例例 4 求微分方程求微分方程 的通解的通解.02 y yy解解代入原方程得代入原方程得02 pdydpyp令令 , ypy ,dydppy 那么那么兩端積分得兩端積分得1lnlnlnCyp即即, yCp1 1yC y 或或原方程的通解為原方程的通解為xCeCy12.CeC 22分離變量得：分離變量得：dxCydy1兩端積分得兩端積分得21lnCxCy在在 y 0、p 0 時，時，ydypdp約去約去 p 并分離變量得并分離變量得由由,p0得得;Cy 顯然顯然, y=C 也在通解中也在通解中. 練習(xí)：練習(xí)：P366 1P366 15 5）(7)(7)（1010）解解5） ： ,xpy 令令則原方程化為則原方程化為,xp p,xp p即即Cdxxeepdxdx1Cdxxeexx11xeCx即即11xeCyxdxxeCyx1122121CxxeCx解解10） ：令令 , ypy ,dydppy 那么那么原方程化為原方程化為,ppdydpp3即即.pdydpp012由由得得,p0;Cy 由由,pdydp012分離變量得分離變量