高數(shù)同濟(jì)37平面曲線的曲率ppt課件

1、第七節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長(zhǎng)有關(guān)主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式 三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 MMM 平面曲線的曲率 第三章 一、 弧微分)(xfy 設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為 AB,弧長(zhǎng))(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx則弧長(zhǎng)微分公式為tyxsdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT幾何意義幾何意義

2、:sdTM;cosddsxsinddsy若曲線由參數(shù)方程表示:)()(tyytxx二、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1 1、曲率的定義、曲率的定義1 )弧段彎曲程度與弧段彎曲程度與 有關(guān)有關(guān).轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角、弧段長(zhǎng)度、弧段長(zhǎng)度) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點(diǎn)點(diǎn)M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角

3、角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 2 2、曲率的計(jì)算公式、曲率的計(jì)算公式注意注意: :(1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.（課本（課本P170）,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds ) S S) .M .MC0Myxo例例1(P171-2)1(P171-2)?2上上哪哪一一點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲率率最最

4、大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)abx .最大最大k,)44,2(2為拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)又又aacbab .最大最大拋物線在頂點(diǎn)處的曲率拋物線在頂點(diǎn)處的曲率三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 處的處的稱(chēng)此圓為曲線在點(diǎn)稱(chēng)此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)MDkDMDM),(,.1, ,曲率中心曲率中心 D.1曲率半徑曲率半徑 k xyo).0(),()( kkyxMxfy處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)

5、曲線設(shè)曲線.曲率圓曲率圓1. 有共同的切線，亦有共同的切線，亦即圓與曲線在點(diǎn)即圓與曲線在點(diǎn)M處處相切相切.曲率圓與曲線在點(diǎn)曲率圓與曲線在點(diǎn)M M處有以下關(guān)系：處有以下關(guān)系：2. 有相同的曲率有相同的曲率.3. 因而，圓和曲線在因而，圓和曲線在點(diǎn)點(diǎn)M處一階導(dǎo)數(shù)相同、處一階導(dǎo)數(shù)相同、二階導(dǎo)數(shù)同號(hào)二階導(dǎo)數(shù)同號(hào).D)(xfy Mk1 xyo例例2 2xyoQP.,.70,/400,)(40002壓力壓力飛行員對(duì)座椅的飛行員對(duì)座椅的到原點(diǎn)時(shí)到原點(diǎn)時(shí)求俯沖求俯沖千克千克飛行員體重飛行員體重秒秒米米處速度為處速度為點(diǎn)點(diǎn)在原在原俯沖飛行俯沖飛行單位為米單位為米飛機(jī)沿拋物線飛機(jī)沿拋物線 vOxy解解如圖如圖,

6、,受力分析受力分析,PQF 視飛行員在點(diǎn)視飛行員在點(diǎn)o o作勻速圓周運(yùn)動(dòng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng), ,.2 mvF O O點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑點(diǎn)處拋物線軌道的曲率半徑002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率為得曲率為.200010 xxk曲率半徑為曲率半徑為.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飛行員對(duì)座椅的壓力為飛行員對(duì)座椅的壓力為641.5千克力千克力.運(yùn)用微分學(xué)的理論運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支

7、分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).小結(jié)1. 弧長(zhǎng)微分弧長(zhǎng)微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圓曲率圓曲率半徑曲率半徑KR1yy 23)1 (2思考題思考題 橢圓橢圓 上哪些點(diǎn)處上哪些點(diǎn)處曲率最大？曲率最大？,cos2tx tysin3 思考題解答思考題解答232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此時(shí)此時(shí) 最大，最大，kyx323 2 ,),(),(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx .)()()()()()(23

8、22ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 補(bǔ)充補(bǔ)充:參數(shù)方程曲率公式參數(shù)方程曲率公式 作業(yè): P177: 2, 5, 8 選講：選講： 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑Tyxo),(DR),(yxMC設(shè)設(shè) M 為曲線為曲線 C 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) ,在點(diǎn)在點(diǎn)在曲線在曲線KRDM1把以把以 D 為中心為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的處的曲率圓曲率圓 ( 密切圓密切圓 ) , R 叫做曲率半徑叫做曲率半徑, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在點(diǎn)在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)

9、有公切線有公切線;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .M 處作曲線的切線和法線處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使使設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為, )(xfy 且且,0 y求曲線上點(diǎn)求曲線上點(diǎn)M 處的處的曲率半徑及曲率中心曲率半徑及曲率中心),(D設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為處的曲率圓方程為222)()(R故曲率半徑公式為故曲率半徑公式為KR1 23)1 (2yy 滿(mǎn)足方程組滿(mǎn)足方程組,222)()(Ryx),(在曲率圓上yxM)(MTDM yyx的坐標(biāo)公式的坐標(biāo)公式 .TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式y(tǒng)y

10、yx )1 (2yyy 21(注意注意y與與y 異號(hào)異號(hào) )當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲沿曲線線 )(xfy 移動(dòng)時(shí)移動(dòng)時(shí),的軌跡的軌跡 G 稱(chēng)為曲線稱(chēng)為曲線 C 的漸屈線的漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心相應(yīng)的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成漸曲率中心公式可看成漸曲線曲線 C 稱(chēng)為曲線稱(chēng)為曲線 G 的漸伸線的漸伸線 .屈線的參數(shù)方程屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停例例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面削其內(nèi)表面 , 問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?解解: 設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為tbytaxsincos),20(abx由例由例3可知可知, 橢圓在橢圓在)0,( aoyx處曲率最大處曲率最大 ,即曲率半徑最小即曲率半徑最小, 且為且為 R23)cossin(2222tbtaba0tab2顯然顯然, 砂輪半徑不超過(guò)砂輪半徑不超過(guò)ab2時(shí)時(shí), 才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損 ,或有的地方磨不到的問(wèn)題或有的地方磨不到的問(wèn)題.ab( 仍為擺線 )sin( a)cos1 ( a例例5. 求擺線求擺線)cos1 ()sin(tayttax的漸屈線方程 . 解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入