高數(shù)期中復習ppt課件

1、河海大學理學院高等數(shù)學河海大學理學院高等數(shù)學期中復習期中復習 基本概念基本概念, ,基本定理基本定理, ,基本方法基本方法河海大學理學院高等數(shù)學 1.1.概念羅列概念羅列 函數(shù)函數(shù)( (有確定對應規(guī)則有確定對應規(guī)則),),自變量自變量, ,定義域及求定義域及求法法, ,有有( (上上, ,下下) )界界, ,無界無界, ,奇、偶函數(shù)奇、偶函數(shù), ,單調(diào)單調(diào)( (增、增、減減) )函數(shù)函數(shù), ,復合函數(shù)復合函數(shù), ,直接函數(shù)與反函數(shù)直接函數(shù)與反函數(shù)( (關(guān)于關(guān)于y=xy=x對稱對稱),),基本初等函數(shù)及對應圖形基本初等函數(shù)及對應圖形, ,初等函初等函數(shù)數(shù); ; 極限極限, ,左右極限左右極限,

2、,單側(cè)極限單側(cè)極限, ,無窮大與無窮小無窮大與無窮小, ,無窮小的階無窮小的階( (高階高階, ,低階低階, ,同階同階, ,數(shù)量階數(shù)量階),),等價等價無窮小無窮小, ,連續(xù)連續(xù)(3(3定義定義),),連續(xù)連續(xù), ,間斷點分類間斷點分類, ,導數(shù)導數(shù), ,高階導數(shù)高階導數(shù), ,相關(guān)變化率相關(guān)變化率, ,微分微分( (線性主部線性主部).). 極值極值, ,駐點駐點, ,最值最值( (極值與最值區(qū)別極值與最值區(qū)別););河海大學理學院高等數(shù)學7種自變量的變化種自變量的變化(1)自變量自變量n;(2)自變量自變量xx0 ；(3)自變量自變量xx0+0； (4)自變量自變量xx0-0；(5)自變量

3、自變量x ；(6)自變量自變量x+ ；(7)自變量自變量x-。-雙側(cè)雙側(cè)-雙側(cè)雙側(cè)單側(cè)單側(cè)單側(cè)單側(cè)2.2.極限定義極限定義河海大學理學院高等數(shù)學7種自變量變化的精準定義種自變量變化的精準定義(1)自變量自變量n,時時當當NnZN (2)自變量自變量xx0 ,0, 0,0時時當當 xx(3)自變量自變量xx0+0 , 0,00時時當當 xxx(4)自變量自變量xx0-0, 0,00時時當當xxx (6)自變量自變量x+, 0,時時當當XxX ,0,時時當當XxX (7)自變量自變量x-, 0,時時當當XxX 河海大學理學院高等數(shù)學5種函數(shù)的變化種函數(shù)的變化(3)函數(shù)函數(shù)f(x) 即即f(x)無窮

4、大；無窮大；(4)函數(shù)函數(shù)f(x)+即即f(x)正無窮大；正無窮大；(5)函數(shù)函數(shù)f(x)-即即f(x)負無窮大。負無窮大。(1)函數(shù)函數(shù)f(x)極限極限A;(2)函數(shù)函數(shù)0即即無窮小無窮小;河海大學理學院高等數(shù)學5種函數(shù)變化的精準定義種函數(shù)變化的精準定義(1)函數(shù)函數(shù)f(x)A.)(, 0 Axf(2) 無窮小無窮小., 0 (3) f(x)無窮大無窮大.)(, 0MxfM (4) f(x)正無窮大正無窮大.)(, 0MxfM (5) f(x)負無窮大負無窮大.)(, 0MxfM 河海大學理學院高等數(shù)學 極限的7個定義及無窮大與無窮小的相應定義 組合的例子： , ,當當 時時, ,有有Nn

5、axn NN, 0 axnn lim,RA , 0 .)( AxfA).()( xAxfAxfx )(lim河海大學理學院高等數(shù)學 設 在 的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果對于 當 時， 有 )(xf0 x 00 xx Axf)(, 0, 0 Axfxx )(lim0Axf)( 0 xx 或或 設 在 的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果對于 當 時， 有 )(xf0 x 00 xxMxf )(, 0, 0 M )(lim0 xfxx )(xf 0 xx 或或河海大學理學院高等數(shù)學1.用倒推法導出希望的條件(不是結(jié)果或事實) ； 證極限是從 出發(fā)導出N(或或X) 。 技巧是放大。 證是從 出發(fā)導出N(

6、或或X) 。技 巧是縮小。2.套定義復述。即：用定義證極限用定義證極限(或或)的步驟：的步驟： Axf)(當當 時時, ,有有）或或（或或XxxxNn 00)()(MxfAxf 或或 Mxf )(共共35個可能個可能)河海大學理學院高等數(shù)學例例xxxf12)( 2)(lim xfx )(lim0 xfx設設，用定義證明:; 2; 2、。1、河海大學理學院高等數(shù)學 3.3.基本定理基本定理 極限及無窮小的性質(zhì)極限及無窮小的性質(zhì), ,無窮小與極限的關(guān)系無窮小與極限的關(guān)系, ,極限性質(zhì)極限性質(zhì): :唯一唯一, ,有界有界, ,保號保號, ,局部服從全體局部服從全體. . 極限的四則運算與復合運算性質(zhì)

7、極限的四則運算與復合運算性質(zhì)( (參與的變量參與的變量極限一定要存在極限一定要存在);); 連續(xù)函數(shù)經(jīng)連續(xù)函數(shù)經(jīng)+,-,+,-,* *,/,/與復合運算后仍連續(xù)與復合運算后仍連續(xù); ; 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的( (兩類兩類) )性質(zhì)性質(zhì): :有界有界, ,介值介值. . 可導必連續(xù)可導必連續(xù), ,連續(xù)不一定可導連續(xù)不一定可導. . 左右極限左右極限, ,左右連續(xù)左右連續(xù), ,左右導數(shù)左右導數(shù). . 可導充要條件是可微可導充要條件是可微.dy=ydx.dy=ydx. 4 4個微分中值定理個微分中值定理. .河海大學理學院高等數(shù)學 4.4.極限的求法極限的求法: : 若函數(shù)連續(xù)若函數(shù)

8、連續(xù): ,: ,初等函數(shù)在定義初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)區(qū)間內(nèi)連續(xù). . 四則運算四則運算, ,有理函數(shù)在有理函數(shù)在 的計算公式的計算公式, , 去去0 0 因子因子, ,及有理化及有理化; ; 變量代換變量代換, , 有界與無窮小之積是無窮小有界與無窮小之積是無窮小. . 無窮大與無窮小無窮大與無窮小( (除除0 0外外) )互為倒數(shù)關(guān)系互為倒數(shù)關(guān)系. . 兩準則兩準則; ; 兩極限兩極限; ; 等價無窮小替換等價無窮小替換( (注注: :只用于乘除只用于乘除, , 加減不能用加減不能用) ) 洛必達法則洛必達法則)(0 xx )( )()(lim00 xfxfxx 河海大學理學院高等數(shù)學 5

9、.5.導數(shù)的求法導數(shù)的求法 定義定義( (導數(shù)是切線斜率導數(shù)是切線斜率) )多用于抽象函數(shù)或多用于抽象函數(shù)或分段函數(shù)在固定點分段函數(shù)在固定點. . 初等函數(shù)求導初等函數(shù)求導, ,基本初等函數(shù)求導公式基本初等函數(shù)求導公式, ,求求導導(+-(+-* */)/)運算法則運算法則, ,復合函數(shù)求導公式復合函數(shù)求導公式, ,反反函數(shù)求導公式函數(shù)求導公式; ; 隱函數(shù)求導方法隱函數(shù)求導方法, , 對數(shù)求導法對數(shù)求導法, , 參數(shù)方程求導公式參數(shù)方程求導公式, , 高階導數(shù)公式高階導數(shù)公式. .河海大學理學院高等數(shù)學 隱函數(shù)求導要點隱函數(shù)求導要點: :方程兩端同時關(guān)于方程兩端同時關(guān)于x x求導求導, ,遇

10、到遇到y(tǒng) y時時, ,將將y y當作中間變量當作中間變量, ,先對先對y y求導求導, ,然然后后, ,馬上乘以馬上乘以y, y, 最后解出最后解出y.y. 對數(shù)求導注意點對數(shù)求導注意點: :要充分地使用對數(shù)性質(zhì)要充分地使用對數(shù)性質(zhì), ,將對數(shù)性質(zhì)發(fā)揮至極致將對數(shù)性質(zhì)發(fā)揮至極致. .適用于適用于(1)(1)冪指函冪指函數(shù)數(shù);(2);(2)多因子乘積多因子乘積. . 參數(shù)方程求導注意點參數(shù)方程求導注意點: y,y: y,y是是t t的函數(shù)的函數(shù), ,對對t t求導后一定要及時除以求導后一定要及時除以xt.xt.河海大學理學院高等數(shù)學則則階階導導數(shù)數(shù)具具有有和和設設函函數(shù)數(shù),nfvu)()()()

11、(,:)2()()()(xvxuxvxunnn 常常數(shù)數(shù)線線性性性性質(zhì)質(zhì)常常數(shù)數(shù) hkhkxfkhkxfnnn,)()()1()()(（3萊布尼茨萊布尼茨Leibniz公式公式)()(0)()(kknnkknnvuCuv 高階導數(shù)公式高階導數(shù)公式河海大學理學院高等數(shù)學求高階導數(shù)的方法小結(jié) 抽象函數(shù)關(guān)于某一點或分段函數(shù)在分段點求(高階) 導數(shù),多用定義求得. 具體函數(shù)的低階導數(shù)要由一階導數(shù),二階導數(shù), 依序算出. 簡單函數(shù)類的高階導數(shù)求至3,4階后,盡量把它們 變換成同一形式,用不完全歸納法得一般規(guī)律.或套 公式(1)做.簡單函數(shù)類指f(x)=xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等 和中

12、間變量為線性的函數(shù)復合而成. 不太復雜函數(shù)的高階導數(shù),先化成簡單函數(shù)類的線 性組合,而后用高階導數(shù)的線性運算法則即公式(2)做. 尤其是多項式和簡單函數(shù)類乘積的高階導數(shù),用 Leibniz公式.河海大學理學院高等數(shù)學6.6.微分中值定理微分中值定理)(xf條件條件: : 滿足：滿足：（1在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a ,b 上連續(xù)；上連續(xù)；（2在開區(qū)間在開區(qū)間 (a ,b) 內(nèi)可導；內(nèi)可導；（3）結(jié)論結(jié)論: : 在開區(qū)間在開區(qū)間(a ,b) (a ,b) 內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使，使 f微分中值定理的特點微分中值定理的特點河海大學理學院高等數(shù)學 羅爾中值定理適用于有關(guān)方程的根羅爾中值定理適用于有關(guān)

13、方程的根( (牽涉到牽涉到一個函數(shù)一個函數(shù));); 拉格朗日中值定理的適用于有關(guān)函數(shù)的改拉格朗日中值定理的適用于有關(guān)函數(shù)的改變量變量; ; 拉格朗日中值定理的推論拉格朗日中值定理的推論( (導數(shù)為零的函數(shù)導數(shù)為零的函數(shù)是常數(shù)是常數(shù)) )適用于恒等式適用于恒等式; ; 柯西中值定理適用于方程的根柯西中值定理適用于方程的根( (牽涉到兩個牽涉到兩個函數(shù)函數(shù));); 泰勒中值定理涉及函數(shù)的高階導數(shù)泰勒中值定理涉及函數(shù)的高階導數(shù). .河海大學理學院高等數(shù)學. 0)()( ff)()(xfxfk河海大學理學院高等數(shù)學7.7.洛必達法則洛必達法則(24(24個個) )使用說明使用說明: :(1)(1)可反復使用可反復使用, ,但每次使用前但每次使用前, ,必須