基本初等函數(shù)知識點(一輪復(fù)習(xí))

1、名師整理精華知識點基本初等函數(shù)中學(xué)階段(初高中)我們只要求掌握基本初等函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)即可。什么是基本初等函數(shù)？就是那些：幕函數(shù)(一次二次負一次)、指數(shù)、對數(shù)、三角等。力求在這些具體函數(shù)中，運用函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、周期、單調(diào)等的性質(zhì))，掌握某些函數(shù)的特殊技巧。一、 一次函數(shù)初中的一個函數(shù)，Primary 基本、簡單而又很重要。解析式：y=kx+b 或 y=ax+b，通常我們會這樣設(shè)。那么高中我們在什么地方會用到它呢？解析幾何中我們會設(shè)直線；線性規(guī)劃會有好多跟直線；也容易在函數(shù)里面作為條件表達一下畫出以下解析式的圖像：要求快(1)y=x+1; (2)y=x_1 (3)y=_x+1 (4)y=_x

2、_1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根據(jù)以下條件，設(shè)出一次函數(shù)的解析式：(1) 直線經(jīng)過(1,2)點(2) 直線的斜率是 2總結(jié)：兩個參數(shù)主宰斜率和與 y 軸的交點位置。因為兩個參數(shù)，所以要有兩個條件才能解得 解析式。二、 二次函數(shù)二次函數(shù)的大部分內(nèi)容在另外一個講義里面已經(jīng)講述了，這里補遺強調(diào)一下。十分重要的內(nèi)容，屬于幕函數(shù)中最重要的一類。二次函數(shù)圖象的應(yīng)用與其最值問題是高考的熱點， 題型多以小題或大題中關(guān)鍵的一步的形式出現(xiàn)，主要考查二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式三者的綜合應(yīng)用，幕函數(shù)的內(nèi)容要求較低，只要求會簡單幕函數(shù)的圖象與 性質(zhì).1、二次函數(shù)的三種表示形式(1) 一般式：

3、y = ax2 + bx + c, (a豐0);(2) 頂點式：y = a(x h)2 + k(頂點坐標為(h, k);雙根式：y = a(x x1)(x x2)(圖象與 x 軸的交點為(x1,0) , (x2,0)求一元二次解析式：將題目有的條件表示一下，沒有難度，過場的題目而已Eg:已知二次函數(shù) f(x)同時滿足條件：(1)f(1 + x) = f(1 x);f(x)的最大值為 15; (3)f(x)= 0 的兩根平方和等于7求 f(x)的解析式.Ans： f(1 + x) = f(1 x)知二次函數(shù)對稱軸為x = 1.2 2已知最大值和對稱軸，用頂點式，設(shè) f(x) = a(x 1) +

4、 15= ax 2ax + 15+ a.222/ X1+ X2= 7 即(X1+ X2) 2X1X2= 7名師整理精華知識點2、二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題EX :函數(shù) y=x2+4x+3 在-1,0上的最大值是 _ ,最小值是 _.解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,對稱軸 x=-2,在-1,0的左側(cè),所以在-1,0上單調(diào)遞增故當(dāng) x=0 時,f(x)取最大值 f(0)=3;當(dāng) x=-1 時,f(x)取最小值 f(-1)=0. 答案:30進階 Eg:(建議一做)：已知函數(shù) f(x)=-x2+2mx+1-m 在 0 x 1 時有最大值 2,求 m 的值(1)若(xb=0)(2)若(0

5、 xb=1) key:m=-1 or m=22a2a2a解析：每種情況分別畫出草圖。原草圖作法：求根得到與x 軸的交點，c 與 y 軸的交點，a看開口，估計著畫。但是這里 m 為參數(shù)解不出根，c 也未知。題目的條件是固定區(qū)間的最值， 我們只要知道定義域內(nèi)的增減性(單調(diào)性)即可，由于已經(jīng)知道開口向下，所以只要分類討論對稱軸的位置即可。123 問分別是分類討論的三種情況進階 Ex :已知 f(x)=x2+3x-5,x t,t+1,若 f(x)的最小值為 h(t),寫出 h(t)的表達式.解析：所求二次函數(shù)解析式(所以圖像也)固定，區(qū)間變動，可考慮區(qū)間在變動過程中，二次函數(shù)的單調(diào)性，從而利用二次函數(shù)

6、的單調(diào)性求函數(shù)在區(qū)間上的最值.解如圖所示；函數(shù)圖象的對稱軸為 x=-3,23522(5(1 當(dāng) t +1W，即 tw時,h(t )=f (t+1 )=(t+1 ) +3(t+1)5，即 h(t )=t2+5t1.tw2 3、方法技巧：待定系數(shù)法，恒成立問題之分離變量Eg/Ex:已知二次函數(shù) f(x)滿足 f(x + 1) f(x) = 2x，且 f(0) = 1.(1)求 f(x)的解析式；在區(qū)間1,1上，函數(shù) f(x)的圖象恒在直線 y = 2x + m 的上方，求實數(shù) m 的取值范圍.【解析】1 設(shè)函數(shù) f x = ax2+ bx+1(a =0),Tf(x+1)-f(x)=2x帶入假設(shè)的解

7、析式則 a(x+1)2+ b(x+1)+1 = ax2+ bx+1 + 2x,(2a 亠 b 二 b 亠 2fa 二 1-整理得2a b b 2,解得a 1所以 f x = x2 x+1.|a+b 勺=1b=1人,2 當(dāng)T,1 時，由 x2 x+1 2x+ m,得 x23x m-1 當(dāng) x=1 時,(x23x)min= 2, 所以 m-1 f(x)在 R 上恒成立名師整理精華知識點(1 )求 f(x)的解析式；求 m 的取值。Key:f(x)=2x+1;m0三、幕函數(shù)解析式f(x) =xa，當(dāng) a=1 時，一次函數(shù)；當(dāng) a=2 時，二次函數(shù)；當(dāng) a=-1 時，反比例函數(shù)；當(dāng) a=l 時，y=

8、x。幕函數(shù)只要求掌握 a 為某些特殊值的時候的圖象即可。2幕函數(shù)性質(zhì)的推廣(1)一般地，當(dāng) a 0 時,幕函數(shù) y=X a 有下列性質(zhì)：1圖象都通過點(0,0),(1,1)；2在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨 x 的增大而增大【也就是x0 單調(diào)遞增咯】3在第一象限內(nèi)，a 1 時，圖象是向下凹的；0a 1 時，圖象是向上凸的；4在第一象限內(nèi)，過(1,1)點后，圖象向右上方無限伸展當(dāng) a 0 單調(diào)遞減咯】3在第一象限內(nèi)，圖象向上與 y 軸無限地接近，向右與 x 軸無限地接近；4在第一象限內(nèi)，過(1,1)點后,|a I 越大，圖象下落的速度越快1、看指數(shù)判斷圖象前人歸納的結(jié)論：幕函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限

9、， 一定不會出現(xiàn)在第四象限， 是否在 第二、三象限內(nèi)出現(xiàn)，要看奇偶性；在 (0,1)上幕函數(shù)中指數(shù)愈大，函數(shù)圖象愈靠近 x 軸(簡 記“指大圖低”)在(1 ,+ )上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離 x 軸.Eg :如上圖，為幕函數(shù)A . C1C2C3C4C. C1C2C4C3y xAn 在第一象限的圖象，則 C1、C2、C3、C4 的大小關(guān)系為()B . C2C1C4C3D . C1C4C3C2【解析】觀察圖形可知，C10 , C20，且 C11，而 0C21 , C30, C40,且 C3C4.【答案】 CEx:如上圖是幕函數(shù) y= xm 和 y = xn 在第一象限內(nèi)的圖象，則()A1

10、*0m1B . * 1,0m1C. 1n1 D. * 1, m1 key:A 2、比較大小-利用幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小要注意以下幾名師整理精華知識點點:名師整理精華知識點將要比較的兩個數(shù)都寫成同一個函數(shù)的函數(shù)值的形式.(2)構(gòu)造的幕函數(shù)，要分析其單調(diào)性.(3)注意兩個函數(shù)值要在同一個單調(diào)區(qū)間上取到.若直接不易比較大小，可構(gòu)造中間值，間接比較其大小.(中間值通常選用 0、1)例4比較下列各組數(shù)的大小.(1)1. Ht0. 9J；fyfy 2_2_inj_(2)( -y)T.( -y)T,( -I- DJ.即0.9T 1 1. 1T.J7T(4)(3. 8_y(4. I)y3、幕函數(shù)的概念(補加的

11、)2已知f x=(m2+2m)xm+,實數(shù)m為何值時，f x是:1正比例函數(shù)；2反比例函數(shù)；3二次函數(shù)；4幕函數(shù).| 21 若 f x 是正比例函數(shù)，貝 ym220，解得 m=1;Q * Jm2+m 1 =1 22 若 f x 是反比例函數(shù)，則m 2m_ ，解得 m=-1; * “肝+m-1=-13 若 f x 是二次函數(shù)，則m2Jm0，解得 m=T13;3 2lm2+m-1=22(4 若 f (x 是幕函數(shù)，則 m2+2m=1 解得 m=172.2Ex :已知函數(shù) f x =(m2+ 2m+1)xm+m1是幕函數(shù)且其圖象過坐標原點，則實數(shù)2m -1 =1(幕函數(shù)前面的系數(shù)是m -1 - 0(

12、過原點就是 a - 0)四、指數(shù)函數(shù)【解析(1)把I看作1+,考察帯函數(shù)了710，在(0 + 8)上它是增函數(shù).(-學(xué))土(1)亍=( 廣)可=|+2| 慕函數(shù) y =左 f0, + )上是增函數(shù)，且思考題4比較下列各組數(shù)的大小.壬L L(1)3_T和3.1_7.-L 和-(f)72I2(3)(-亍)和(-石)X2_2_土(4)4. lyJ.8_T和(-1.9廠工(2)7 y+ )上彊減且0 C& 0,m, n N+,且n1). 0 的正分數(shù)負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).(3 )分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)r sr1a a二a (a 0,r,s R)如果是除法就相減咯

13、。2(ar)s二ars(a 0,r,s R)3(ab)r= arbr(a 0,b 0,r R)解決此類問題的關(guān)鍵是利用幕指式的運算性質(zhì)，將根式與指數(shù)幕互化一般地,進行指數(shù)幕的運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)幕，便于利用幕的運算性質(zhì)，化繁為簡.1) 丄22.一EG: -a3b IR-3a2b4(4a3b-3) Tab;芒 /廣1、111311原式 = 一5a6b丄F (2a1b _3) ab2=5a2b2Xa2b2=_ b=_旦.2丿32444b二互=72空2-1=3-49 5 -1 =V5.-a(a-O)(a 0)指數(shù)幕等于 0 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕:(!)(a 0,m,n原式mn1

14、1名師整理精華知識點10009332、圖像性質(zhì)：f(x) =ax自變量在指數(shù)的位置，注意跟幕函數(shù)f(x) =xa區(qū)別名師整理精華知識點B.y2- yi- ysC.yi %- ysD.yiyay2,且 1.8 1.5 1.44,所以 y - y3y2,選 D.1Ex:比較下列各組實數(shù)的大小.1 0.82,0.93;2 1.70.3,0.93.1;3 40.9,80.48,（1）_1.5尹A0X(1)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示0cd1a 0 時,0.8a0.7a;當(dāng) x=a0 時,0.8a30=1,又 y=0.4x是減函數(shù)，所以 0.430.43.0.90.

15、48ex.設(shè)y1=4,y2=8,y3A.y3yiy2由于指數(shù)函數(shù)f x =2x在 R 上是增函數(shù)名師整理精華知識點1 11 1111【解析】1 由函數(shù) y=x的單調(diào)性得 0.8：0.9 勺 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得 0.9 巳:0.93,所以 0.8巳：0.93.2 因為 1.7031,0.931：1,所以 1.7030.93 3 因為 409=218,8048=2144,(1)-15=215,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得 40.9(-1)-15-8048.五、對數(shù)對數(shù)其實是指數(shù)的逆過程。指數(shù)函數(shù)是相同的底數(shù)a 被自乘 x 次之后的結(jié)果；對數(shù)就是知道了這個結(jié)果和底數(shù)，求一下究竟自乘了多少次。1、(1)

16、定義:一般地，對于指數(shù)式 ab=N,把數(shù) b 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 logaN,其中 a 叫做對 數(shù)的底數(shù),N 叫做真數(shù).(2)對數(shù)性質(zhì)1零和負數(shù)沒有對數(shù)，即 N0;21 的對數(shù)為 0,即 loga1=0(a0 且 1);3底的對數(shù)等于 1,即 logaa=1(a0 且 1).對數(shù)恒等式：alogaN=N(a .0 且 a=1,N .0). logaa* b(a0 ,且 a豐1, b R)常用對數(shù)：通常將以 10 為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，N 的常用對數(shù) log10N 簡記為 lgN.自然對數(shù)：以無理數(shù) e=2.71828 為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，N 的自然對數(shù) logeN 簡記作

17、 lnN.2、對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a0 且 1,M0,N0,那么1 loga(MLN) JogaM logaN;2 logaM- = logaM -logaN;3 gMn=ngM n R .l ogambn-logabm(5) logab*logba =1g Nlogab名師整理精華知識點=-log233log32 -6243、運算能力在對數(shù)運算中，要注意以下幾個問題：(1) 在化簡與運算中，一般先用幕的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)幕的形式， 使幕的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并.(2) ab=N?b=logaN(a0，且 a豐1 是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算

18、中要注意 互化.eg:求下列式子的值.(log43+log83 log32 卅 og92 J-log 丄丁 32.25解原式二 log223 - log233 log32 - log322 Tog 丄 242log2323 log321log32554 4名師整理精華知識點ex:化間、求值：g-g-111_lg 0.36_lg83原式=ig 3 = ig s1 +lg 0.6 +lg 1 +lg +Ig3 1 +lg 4、圖象性質(zhì) f（x）=logax 對數(shù)函數(shù)的圖象：經(jīng)過點（1,0）,且圖象都在第一？四象限；都以 y 軸為漸近線（當(dāng) 0a1 時，圖象向下無限接近 y 軸）無論在 x 軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)隨順時針方向變大*另記，作 y=1,從左往右，底數(shù)從小到大。Eg：已知下圖中曲線 G、C、G、C4是函數(shù) y = logax 的圖象，則曲線應(yīng)的 a 的值依次為（）注意第一象限內(nèi)最左是1A. 3、 35、大小比較Eg：（如上圖）若 logalogb0，則下列結(jié)論正確的是（）A. 0ab1 B . 0bab1 D . ba1 key : BEx: （010 天津卷）設(shè) a= log54，b = （log53），c= log45，則（）A. acb B . bcaC. abc D. bac【解析】由