湘潭大學(xué)工程數(shù)學(xué)課后答案

1、習(xí)題 六1. 檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.(1) 2階反對稱(上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(2) 平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：k·；(3) 2階可逆矩陣的全體，對于通常矩陣的加法與數(shù)量乘法；(4) 與向量(1，1，0)不平行的全體3維數(shù)組向量，對于數(shù)組向量的加法與數(shù)量乘法.【解】（1）是.由于矩陣加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義中的1-8條性質(zhì)，因此只需考慮反對稱（上三角）矩陣對于加法和數(shù)量乘法是否封閉即可.下面僅對反對稱矩陣驗證：設(shè)A，B均為2階反對稱矩陣，k為任一實數(shù)，則(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),(

2、kA)=kA=k(-A)=-(kA),所以2階反對稱矩陣的全體對于矩陣加法和數(shù)量乘法構(gòu)成一個線性空間.（2） 否.因為(k+l)·,而,所以這種數(shù)量乘法不滿足線性空間定義中的第7條性質(zhì).（3） 否.因為零矩陣不可逆（又因為加法和數(shù)量乘法都不封閉）.（4） 否.因為加法不封閉.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它們之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不屬于這個集合.2. 設(shè)U是線性空間V的一個子空間，試證：若U與V的維數(shù)相等，則U.【證明】設(shè)U的維數(shù)為m，且是U的一個基，因UV,且V的維數(shù)也是m，自然也是V的一個基，故U=V.3. 設(shè)是

3、n維線性空間Vn的線性無關(guān)向量組，證明Vn中存在向量使成為Vn的一個基(對n-r用數(shù)學(xué)歸納法).【證明】對差n-r作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n-r=0時，結(jié)論顯然成立.假定對n-r=k時，結(jié)論成立，現(xiàn)在考慮n-r=k+1的情形.因為向量組還不是V的一個基，它又是線性無關(guān)的，所以在V中必存在一個向量不能由線性表出，把添加進去所得向量組,必定還是線性無關(guān)的，此時n-(r+1)=(n-r)-1=(k+1)-1=k.由歸納法假設(shè), ,可以擴充為整個空間的一個基.根據(jù)歸納法原理，結(jié)論普遍成立.4. 在R中求向量(0,0,0,1)在基(1,1,0,1),(2,1,3,1), (1,1,0,0), (0,1,1,1)

4、下的坐標(biāo).【解】設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為(),則即為解之得()=(1,0,-1,0).5. 在R中，取兩個基(1，2，1)，(2，3，3)，(3，7，1)；(3，1，4)，(5，2，1)，(1，1，6)，試求到的過渡矩陣與坐標(biāo)變換公式.【解】取R中一個基（通常稱之為標(biāo)準基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有所以由基到基的過渡矩陣為坐標(biāo)變換公式為其中()與（）為同一向量分別在基與下的坐標(biāo).6. 在R4中取兩個基(1) 求由前一個基到后一個基的過渡矩陣；(2) 求向量()在后一個基下的坐標(biāo)；(3) 求在兩個基下有相同坐標(biāo)的向量.【解】(1) 這里A就是由基到基的過渡矩陣.

5、(2) 設(shè),由于()=()A-1,所以因此向量在基下的坐標(biāo)為(3) 設(shè)向量在這兩個基下有相同的坐標(biāo),那么 即 也就是解得,其中為任一非零實數(shù).7. 證明3階對稱矩陣的全體S構(gòu)成線性空間，且S的維數(shù)為6.【證明】首先，S是非空的（0S）,并且A,BS,kR,有(A+B)=A+B=A+B(kA)=kA=kA.這表明S對于矩陣的加法和數(shù)量乘法是封閉的.其次，這兩種矩陣運算滿足線性空間定義中的18條性質(zhì).故S是線性空間.不難驗證，下列6個對稱矩陣.構(gòu)成S的一個基，故S的維數(shù)為6.8. 說明平面上變換的幾何意義，其中(1)； (2) ；(3) ； (4) .【解】,T把平面上任一點變到它關(guān)于y軸對稱的點

6、.,T把平面上任一點變到它在y軸的投影點.,T把平面上任一點變到它關(guān)于直線x=y對稱的點.,T把平面上任一點變到它繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所對應(yīng)的點.9. 設(shè)V是n階對稱矩陣的全體構(gòu)成的線性空間維數(shù)為，給定n階方陣P，變換T(A)PAP， A稱為合同變換，試證合同變換T是V中的線性變換.【證明】因為A,BV,kR,有T(A+B)=P(A+B)P=PAP+PBP=T(A)+T(B),T(kA)=P(kA)P=k(PAP)=kT(A).所以T是線性空間V的一個線性變換.10. 函數(shù)集合V3(a2x2+a1x+a0)exa2，a1,a0R對于函數(shù)的加法與數(shù)乘構(gòu)成3維線性空間，在其中取一個基1x2ex, 22xex, 33ex，求微分運算D在這個基下的矩陣.【解】即因此D在基下的矩陣為.11. 2階對稱矩陣的全體對于矩陣的加法與數(shù)乘構(gòu)成3維線性空間，在Vn中取一個基(1) 在V3中定義合同變換求在基下的矩陣及T的秩與零度.(2) 在V3中定義線性變換求T在基下的矩陣及T的像空間與T的核.【解】(1)由此知，T在基下的矩陣為顯然M的秩為3，故這線性變換T的秩為3，零度為0.(2) 即 T()=()M,其中就是T在基下的矩陣.顯然有所以T(V3)=L(T(A1)=L(A1+A2+A3).最后求出T-1(0).設(shè)A=x1A1+x2A2+x3