相似三角形的判定定理及試

1、相似三角形的判定定理及試作者:日期:方舟教育中小學(xué)課囪制導(dǎo)學(xué)業(yè)殍師（一）相似三角形1、定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形.2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.3、相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似.強(qiáng)調(diào)：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言:.DE/BC,&BCs/ADE;這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來(lái)的三角形相似的判定定理.它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”；有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到 “見(jiàn)平行，想比例”，還要想到“見(jiàn)平行，想相

2、似”.（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似?？珊?jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。例1、已知：如圖，/ 1= /= /3,求證：/XABCs/ADE.例2、如圖，E、F分別是從BC的邊BC上的點(diǎn)，DE /AB,DF /AC ,求證：那BCsREf.判定定理2:如果三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似.例1、2BC中，點(diǎn)D在AB上，如果AC2=AD?AB,那么zACD與MBC相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.例2、如圖，點(diǎn)C、D在線

3、段AB上，4PCD是等邊三角形。(1)當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，ACPs/PDB?(2)當(dāng)小CPs/pDB時(shí)，求/APB的度數(shù)。判定定理3:如果三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.強(qiáng)調(diào)：有平行線時(shí)，用預(yù)備定理；已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2；已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3.但是，在選擇利用判定定 理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等.中小學(xué)詞外世等早業(yè)號(hào)”2、直角三角形相似的判定:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.例1、已知：如

4、圖，在正方形 ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP = 3PC, Q是CD的中點(diǎn).求證：AADQs/Qcp.例 2、如圖,AB，BD,CD，BD,P 為 BD 上一動(dòng)點(diǎn)，AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm, 當(dāng) P 點(diǎn)在BD上由B點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)滿足什么條件，可以使圖中的兩個(gè)三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由.例3、已知：AD是RtzABC中ZA的平分線，/ C=90EF是AD的垂直平分線交 AD于M , EF、BC的延長(zhǎng)線交可點(diǎn)No求證：(1)£AMEs/Nmd(2)ND2=NC NB中小學(xué)承外軸號(hào)專帳尊牌方舟教育I強(qiáng)調(diào):由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)

5、直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1,或兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，用判定定理 2, 一般不用判定定理3判定 兩個(gè)直角三角形相似;如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形， 圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛.（直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直三角形的與原三角形相似）如圖，可簡(jiǎn)單記為：在 RtABC中，CDXAB,則那BCs£BDs/acd .補(bǔ)充射影定理。方舟教育中小學(xué)甜HI瞪專業(yè)導(dǎo)師三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下:斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS (ASA)HL相似三角形的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等三邊對(duì)應(yīng)

6、成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例相似三角形的幾種基本圖形：(1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中/ 1= Z2,則AADEs逸bc稱為“相交線型”的相似三角形。如圖：/1=/2, /B=/D,則AADEs逸bc,稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。、例題分析1、下列說(shuō)法不正確的是（）A、 兩對(duì)應(yīng)角相等的三角形是相似三角形;B、兩對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形是相似三角形;C、三邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形是相似三角形；D、以上有兩個(gè)說(shuō)法是正確。2、如圖，DE/BC, EF/AB,則圖中相似三角形有（A、 2對(duì) B、 3對(duì)C、 4對(duì) D、 5對(duì)3、如圖，若P為BC的邊AB上一點(diǎn)（AB>

7、AC ）,則下列條件不一定能保證 ACPs/ABC的A、ZACP= ZB B、/APC= ZACBC、ACABAPACPC ACBC AB則下列結(jié)論：BC=2DE ;DEsD、0個(gè)4、如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),AD ABMBC；其中正確的有 （）AE ACA、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)5、如圖AD LAB于D, CE±AB于E交AB于F,則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)6、小明的身高是1.6m ,他的影長(zhǎng)為2m ,同一時(shí)刻教學(xué)樓的影長(zhǎng)為24m ,則教學(xué)樓的高是7、已知 AD 為 RtMBC 斜邊 BC 上的高，且 AB=15cm , BD=9cm , WJ AD=CD=。8

8、、如圖四，在平行四邊形 ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm ,ZABC的平分線交 AD于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則DF =cm9、已知:如圖，MBC中,AD=DB, /1=/2.求證：AABCs 生AD.10、已知，如圖，D為BC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié) ED、AD ,以BC為邊在zABC外作/CBE= BD , /BCE= /BAD求證：DBEs/ABC11、已知那BC中，AB=AC , ZA=36 ° ,BD是角平分線，求證：ABCs/bcd12、矩形ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié) AE、AF、AC,問(wèn)圖中是否 存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。13、如圖10,四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接 AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M , CG與AD相交于點(diǎn)N .求證：(1) AE CG ; (2) AN?DN CN?MN.110BC修一14、已知如圖，/A=90,D 是 AB 上任意一點(diǎn)，BEXBC, /BCE= /DCA, EF±AB,求證：AD=BF15、有一塊三角形的土地，它的底邊 BC=100米,座底面是矩形DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上。若大樓的寬是40米（即DE = 40米）,求這個(gè)矩形的面積。16.如圖，在平行四邊形ABCD中