高考數(shù)學(xué)立體幾何部分知識點(diǎn)歸納

1、立體幾何直線、平面、簡單幾何體三個(gè)公理、三個(gè)推論平面平行直線異面直線相交直線公理4及等角定理異面直線所成的角異面直線間的距離直線在平面內(nèi)直線與平面平行直線與平面相交空間兩條直線概念、判定與性質(zhì)三垂線定理垂直斜交直線與平面所成的角空間直線與平面空間兩個(gè)平面棱柱棱錐球兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交距離兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)二面角定義及有關(guān)概念性質(zhì)綜合應(yīng)用多面體面積公式體積公式正多面體一、平面的基本性質(zhì)：公理1 如果一條直線上的 兩點(diǎn) 在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的 所有點(diǎn) 都在這個(gè)平面內(nèi) (證明直線在平面內(nèi)的依據(jù))公理2 如果兩個(gè)平面有 一 個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，

2、這些公共點(diǎn)的集合是 一條直線 (證明多點(diǎn)共線的依據(jù))公理3 經(jīng)過不在 一條直線上 的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(確定平面的依據(jù))推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面推論2 經(jīng)過兩條 相交 直線，有且只有一個(gè)平面推論3 經(jīng)過兩條 平行 直線，有且只有一個(gè)平面【小結(jié)歸納】1證明若干點(diǎn)共線問題，只需證明這些點(diǎn)同在兩個(gè)相交平面 2證明點(diǎn)、線共面問題有兩種基本方法：先假定部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面，再證余下的點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；分別用部分點(diǎn)、線確定兩個(gè)(或多個(gè))平面，再證這些平面重合 3證明多線共點(diǎn)，只需證明其中兩線相交，再證其余的直線也過交點(diǎn)二、空間直線：1空間兩條直線的位置關(guān)系為 平行 、

3、相交 、 異面 2相交直線 有且僅有 一個(gè)公共點(diǎn)，平行直線 無 沒有公共點(diǎn)，異面直線：不同在任 一個(gè) 平面，沒有公共點(diǎn)3公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相 平行 4等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩角 相等 5異面直線的判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi) 不過這點(diǎn) 的直線是異面直線(作用：判定兩條直線是異面直線)6異面直線的距離：和兩條異面直線 都垂直相交 的直線稱為異面直線的公垂線兩條異面直線的公垂線在 的長度，叫兩異面直線的距離【小結(jié)歸納】1求兩條異面直線所成角的步驟：(1)找出或作出有關(guān)角的圖形；(2)證明它符合定義；(3)求角 2

4、證明兩條直線異面的常用方法：反證法、定義法(排除相交或平行)、定理法 3求異面直線間距離的方法：作出公垂線段，向量法三、直線和平面平行：1直線和平面的位置關(guān)系 平行 、 包含 、 相交 直線在平面內(nèi)，有 無數(shù)個(gè) 公共點(diǎn)直線和平面相交，有 一個(gè) 公共點(diǎn)直線和平面平行，沒有公共點(diǎn)直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外2直線和平面平行的判定定理如果平面外 一條直線 和這個(gè)平面內(nèi) 一條直線 平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行(記憶口訣：線線平行 線面平行)3直線和平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面 平行 ，且經(jīng)過 這條直線的另一個(gè) 平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行(記憶口訣：線面

5、平行 線線平行)【小結(jié)歸納】1證明直線和平面平行的方法有：(1)依定義采用反證法；(2)判定定理；(3)面面平行性質(zhì)；(4)向量法 2輔助線(面)是解、證有關(guān)線面問題的關(guān)鍵，要充分發(fā)揮在化空間問題為平面問題的轉(zhuǎn)化作用四、直線和平面垂直：1直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個(gè)平面的 所有 直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面互相垂直2直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的 兩條相交 直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面3直線和平面垂直性質(zhì)：若a，b則 ；若a，b則 ；若a，a則 過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條4點(diǎn)到平面距離過一點(diǎn)作平面的垂線 的線段長度 叫做點(diǎn)到平面的距離

6、5直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上 到這個(gè)平面的距離叫做直線到平面距離【小結(jié)歸納】線面垂直的判定方法：(1) 線面垂直的定義；(2)判定定理；(3) 面面垂直的性質(zhì)；(4) 面面平行的性質(zhì)：若，a則a 。五、三垂線定理：1和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面 垂直 的直線叫做平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做 交點(diǎn) 2射影(1) 平面外一點(diǎn)向平面引垂線的 叫做點(diǎn)在平面內(nèi)的射影；(2) 過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在 垂線在平面上的射影只是 直線和平面平行時(shí)，直線在平面上的射影是和該直線 的一條直線COBA3如圖，AO是平面斜線，A為斜足，OB

7、，B為垂足，AC，OAB，BAC，OAC，則cos 4直線和平面所成的角平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的 所成的 叫做這條直線和平面所成角斜線和平面所成角，是這條斜線和平面內(nèi)任一條直線所成角中 5三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的 垂直，那么它也和 垂直逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條 垂直，那么它也和這條 垂直【小結(jié)歸納】1求直線和平面所成的角的一般步驟是一找(作)，二證，三算尋找直線在平面內(nèi)的射影是關(guān)鍵，基本原理是將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，主要轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi)，通過解三角形來解決 2三垂線定理及逆定理，是判定兩條線互相垂直的重要方法，利用它解題時(shí)

8、要抓住如下幾個(gè)環(huán)節(jié)：一抓住斜線，二作出垂線，三確定射影 證明線線垂直的重要方法：三垂線定理及逆定理；線面線線；向量法六、平面和平面平行：1兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 2兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條 直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(記憶口訣：線面平行，則面面平行)3、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它所有的 平行（記憶口訣：面面平行，則線線平行)4兩個(gè)平行平面距離：和兩個(gè)平行平面同時(shí) 的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分叫做兩個(gè)平面的 ，兩個(gè)平行面的公垂線段的 ，叫做兩個(gè)平行平面的距離【小結(jié)歸納】1判定兩個(gè)平面平行的方

9、法：(1)定義法；(2)判定定理 2正確運(yùn)用兩平面平行的性質(zhì) 3注意線線平行，線面平行，面面平行的相互轉(zhuǎn)化：線線線面面面七、兩個(gè)平面垂直：1兩個(gè)平面垂直的定義：如果兩個(gè)平面相交所成二面角為 二面角，則這兩個(gè)平面互相垂直2兩個(gè)平面垂直的判定：如果一個(gè)平面 有一條直線 另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相垂直3兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面 的垂直于它們的 的直線垂直于另一個(gè)平面4異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：EF，其中：d是異面直線a、b的 ，為a、b ，m、n分別是a、b上的點(diǎn)E、F到 AA'與a、b的交點(diǎn)A，A'的距離【小結(jié)歸納】在證明兩平面垂直時(shí)，一般方法是從現(xiàn)有

10、的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明，不能隨意添加，在有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后再轉(zhuǎn)化為線線垂直“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵。八、空間的角：1兩異面直線所成的角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一點(diǎn)O分別引直線a' a，b' b，把直線a'和b'所成的 或 叫做兩條異面直線a、b所成的角，其范圍是 2直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的 所成的 角，叫做這條斜線和平面所成的角規(guī)定： 一條直

11、線垂直于平面，我們說它們所成的角是 角； 一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是 角其范圍是 公式：coscos1cos2，其中，1是 ，2是 ，是 3二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上 一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，其范圍是 【小結(jié)歸納】1兩異面直線所成角的作法： 平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段引平行線； 補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的是容易作出兩條異面直線所成的角

12、2作出直線和平面所成角的關(guān)鍵是作垂線，找射影 3平面角的作法： 定義法； 三垂線法； 垂面法 4二面角計(jì)算，一般是作出平面角后，通過解三角形求出其大小，也可考慮利用射影面積公式 S'Scos來求 5空間角的計(jì)算有時(shí)也可以利用向量的求角公式完成九、空間距離：1點(diǎn)與點(diǎn)的距離：兩點(diǎn)間 的長2點(diǎn)與線的距離：點(diǎn)到直線的 的長3平行線間的距離：從兩條平行線中一條上 一點(diǎn)向另一條引垂線，這點(diǎn)到 之間的線段長4點(diǎn)與面的距離：點(diǎn)到平面的 的長5平行于平面的直線與平面的距離：直線上 一點(diǎn)到平面的 的長6兩個(gè)平行平面間的距離：從其中一個(gè)平面上 一點(diǎn)向另一個(gè)平面引垂線，這點(diǎn)到 之間的線段長7兩條異面直線的距離

13、：與兩條異面直線都 的直線夾在兩 間線段的長【小結(jié)歸納】1對于空間距離的重點(diǎn)是點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離，對于兩異面直線的距離一般只要求會求給出公垂線段時(shí)的距離 2、求點(diǎn)到平面的距離的方法： 確定點(diǎn)在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作線面垂直及某些特殊性質(zhì) 轉(zhuǎn)化法即化歸為相關(guān)點(diǎn)到平面的距離或轉(zhuǎn)化為線面距或轉(zhuǎn)化為面面距來求. (3) 等體積法：利用三棱錐的體積公式，建立體積相等關(guān)系求出某底上的高，即點(diǎn)面距. 3距離問題有時(shí)也可以利用向量的模的計(jì)算解決具體見第11節(jié)的小結(jié)4、5兩點(diǎn).十、棱錐、棱柱：（一）棱柱1定義：如果一個(gè)多面體有兩個(gè)面互相 ，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相 ，這樣的多面體叫做棱

14、柱，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，兩側(cè)面的公共邊叫做棱柱的 ，兩個(gè)底面所在平面的公垂線段，叫做棱柱的 2性質(zhì)： 側(cè)棱 ，側(cè)面是 ； 兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的 多邊形； 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是 四邊形3分類： 按底面邊數(shù)可分為 ； 按側(cè)棱與底面是否垂直可分為：棱柱 4特殊的四棱柱：四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體5長方體對角線的性質(zhì)：長方體一條對角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的 （二）棱錐1定義：如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是 ，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的 ，那么這個(gè)多面體叫做棱錐，有公共頂點(diǎn)的各三角形，叫做棱錐的 ；余下的那個(gè)多邊形，叫

15、做棱錐的 兩個(gè)相鄰側(cè)面的公共邊，叫做棱錐的 ，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)，叫做棱錐的 ；由頂點(diǎn)到底面所在平面的垂線段，叫做棱錐的 2性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面 ，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的 3正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐的底面是 多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的 ，這樣的棱錐叫做正棱錐4正棱錐的性質(zhì)： 正棱錐各側(cè)棱 ，各側(cè)面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高 （它叫做正棱錐的 ）； 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè) 三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影組成一個(gè) 三角形【小結(jié)歸納】柱體和錐體是高考立體幾何命題的重要載體，因

16、此，在學(xué)習(xí)時(shí)要注意以下三點(diǎn)1要準(zhǔn)確理解棱柱、棱錐的有關(guān)概念，弄清楚直棱柱、正棱錐概念的內(nèi)涵和外延2要從底面、側(cè)面、棱(特別是側(cè)棱)和截面(對角面及平行于底面的截面)四個(gè)方面掌握幾何性質(zhì)，能應(yīng)用這些性質(zhì)研究線面關(guān)系3在解正棱錐問題時(shí)，要注意利用四個(gè)直角三角形，其中分別含有九個(gè)元素(側(cè)棱、高、側(cè)棱與斜高在底面上的射影、側(cè)棱與側(cè)面與底面所成角、邊心距以及底面邊的一半)中的三個(gè)，已知兩個(gè)可求另一個(gè)十一、球：1球：與定點(diǎn)的距離 或 定長的點(diǎn)的集合2球的性質(zhì)(1) 用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是 (2)球心和截面圓心的連線 于截面(3) 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系： (4) 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 (5) 在球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧長，這個(gè)弧長叫 3球的表面積公式和體積公式：設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S ；球的體積V 【小結(jié)歸納】1因?yàn)椤扒颉笔恰皥A”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意與圓的性質(zhì)類比2球的