4-測量不確定度.

1、第四章 測量不確定度誤差概念和誤差分析在用于評定測量結(jié)果時,有時顯得既不完備，也難于操作。 一種更為完備合理、可操作性強的評定測量結(jié)果的方法。 尋求尋求誕生誕生測量不確定度 第一節(jié)測量不確定度的基本概念第一節(jié)測量不確定度的基本概念一、概述v1927年德國物理學家海森堡提出測不準關(guān)系，也稱為不確定度關(guān)系。 v1953年Y.Beers在誤差理論導引一書中給出實驗不確定度。 v1970年C.F.Dietrich出版了不確定度、校準和概率。 v1973年英國國家物理實驗室的J.E.Burns等指出，當討論測量準確度時，宜用不確定度。 v1978年國際計量局發(fā)出不確定度征求意見書，征求各國和國際組織的意

2、見。 v1980年，國際計量局提出了實驗不確定度建議書INC-1（1980）。 v1981年10月國際計量委員會提出了建議書（CI-1981），同意INC-1。 v1986年組成國際不確定度工作組，負責制定用于計量、生產(chǎn)、科學研究中的不確定度指南。 v1993年出版了測量不確定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，簡稱GUM）。 v1999年中國人民解放軍總裝備部批準發(fā)布了GJB 3756-99 測量不確定度的表示及評定。v1999年國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局批準發(fā)布了JJF 1059-1999 測量不確定度評定與表示,

3、這規(guī)范原則上等同采用了GUM的基本內(nèi)容。不確定度的應(yīng)用領(lǐng)域不確定度的應(yīng)用領(lǐng)域（1）一些產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的質(zhì)量檢測、質(zhì)量保證與控制，以及商品流通領(lǐng)域中的商品檢驗等有關(guān)質(zhì)量監(jiān)督、質(zhì)量控制和建立質(zhì)量保證體系的質(zhì)量認證活動；（2）建立、保存、比較溯源于國家標準的各級標準、儀器和測量系統(tǒng)的校準、檢定、封緘和標記等計量確認活動；（3）基礎(chǔ)科學和應(yīng)用科學領(lǐng)域中的研究、開發(fā)和試驗，以及實驗室認可活動；（4）科學研究與工程領(lǐng)域內(nèi)的測量，以及與貿(mào)易結(jié)算、醫(yī)療衛(wèi)生、安全防護、環(huán)境與資源監(jiān)測等有關(guān)的其他測量活動；（5）用于對可以用單值和非單值表征被測量的測量結(jié)果的評定，以及對測量和測量器具的設(shè)計和合格評定。二、測量不確

4、定度的定義不確定度的定義測量不確定度測量不確定度（uncertainty of measurement） 測量結(jié)果帶有的一個參數(shù)，用于表征合理地賦予被測量值的分散性。 該參數(shù)是一個表征分散性的參數(shù)。它可以是標準差或其倍數(shù)，或說明了置信水平的區(qū)間半寬度。該參數(shù)一般由若干個分量組成，統(tǒng)稱為不確定度分量 該參數(shù)是通過對所有若干個不確定度分量進行方差和協(xié)方差合成得到。所得該參數(shù)的可靠程度一般可用自由度的大小來表示 不確定度的來源不確定度的來源（1）對被測量的定義不完整或不完善 （2）復(fù)現(xiàn)被測量定義的方法不理想 （3）測量所取樣本的代表性不夠 （4）對測量過程受環(huán)境影響的認識不周全，或?qū)Νh(huán)境條件的測量與

5、控制不完善 （5）對模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差 （6）儀器計量性能上的局限性 （7）賦予測量標準和標準物質(zhì)的標準值的不準確 （8）引用常數(shù)或其它參量的不準確 （9）與測量原理、測量方法和測量程序有關(guān)的的近似性或假定性 （10）在相同的測量條件下，被測量重復(fù)觀測值的隨機變化 （11）對一定系統(tǒng)誤差的修正不完善 （12）測量列中的粗大誤差因不明顯而未剔除 （13）在有的情況下，需要對某種測量條件變化，或者是在一個較長的規(guī)定時間內(nèi)，對測量結(jié)果的變化作出評定。應(yīng)把該相應(yīng)變化所賦予測量值的分散性大小，作為該測量結(jié)果的不確定度。 不確定度評定方法的分類不確定度評定方法的分類 A A類評定類評定（type

6、 A evaluation of uncertainty） 指用對樣本觀測值的統(tǒng)計分析進行不確定度評定的方法。 B B類評定類評定（type B evaluation of uncertainty） 指用不同于統(tǒng)計分析的其他方法進行不確定度評定的方法。 幾個相關(guān)的名詞與概念幾個相關(guān)的名詞與概念標準不確定度標準不確定度（standard uncertainty） 用標準差表示測量結(jié)果的不確定度，一般用符號u來表示。對于不確定度分量，常在u上加小腳標進行表示，如u1，u2，un等。 合成（標準）不確定度合成（標準）不確定度（combined standard uncertainty） 當測量結(jié)果由

7、若干個其他量的值求得時，測量結(jié)果的合成標準不確定度等于這些量的方差和（或）協(xié)方差加權(quán)和的正平方根，其中權(quán)系數(shù)按測量結(jié)果隨這些量變化的情況而定。用符號uc表示。 擴展不確定度擴展不確定度（expanded uncertainty） 規(guī)定了測量結(jié)果取值區(qū)間的半寬度，該區(qū)間包含了合理賦予被測量值的分布的大部分。用符號U或UP表示。 包含因子包含因子（coverage factor） 為獲得擴展不確定度，對合成標準不確定度所乘的倍數(shù)因子。常用符號k或kP來表示。在國內(nèi)，有的也其稱為覆蓋因子，其取值一般在2與3之間。 第二節(jié) 標準不確定度評定采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度，用實驗標準差或樣本標準差表

8、示。 單次測量值作為被測量的估計值 x( )( )u xs x當用n次測量的平均值作為被測量的估計值 ( )( )s xu xn 單次測量的實驗標準差( )s x n次測量的實驗標準差( )s x計算實驗標準差的方法：貝塞爾公式，極差法 一、一、A A類評定方法類評定方法二、二、B B類評定方法類評定方法 B類評定方法獲得不確定度，不是依賴于對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，他必然要設(shè)法利用與被測量有關(guān)的其他先驗信息來進行估計。因此，如何獲取有用的先驗信息十分重要，而且如何利用好這些先驗信息也很重要 1 1、B B類評定的信息來源類評定的信息來源 過去的測量數(shù)據(jù) 測量儀器的特性和其他相關(guān)資料等； 測量者的經(jīng)驗

9、與知識； 假設(shè)的概率分布及其數(shù)字特征。 校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件 生產(chǎn)廠家的技術(shù)說明書 引用的手冊、技術(shù)文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值等2 2、B B類評定的方法類評定的方法（1）若由先驗信息給出測量結(jié)果的概率分布，及其“置信區(qū)間”和“置信水平” ( )pau xk置信區(qū)間的半寬度 置信水平的包含因子 p（2）若由先驗信息給出的測量不確定度U為標準差的k倍時 ( )Uu xk（3）若由先驗信息給出測量結(jié)果的“置信區(qū)間”及其概率分布 ( )Uu xk置信區(qū)間的半寬度 置信水平接近1的包含因子 幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計（1 1）舍入誤差舍入

10、誤差 舍入誤差的最大誤差界限為0.5（末），按均勻分布考慮，故標準不確定度為 0.5()( )0.3()3u x 末末（2 2）引用誤差引用誤差 測量上限為的級電表，其最大引用誤差限（即最大允許不確定度）為 mxs( )%mU xxs 按均勻分布考慮，故標準不確定度為 %( )3mxsu x（3 3）示值誤差）示值誤差 某些測量儀器是按符合“最大允許誤差”要求而制造的，經(jīng)檢驗合格，其最大允許誤差為 a按均勻分布考慮，故標準不確定度為 ( )0.63au xa（4 4）儀器基本誤差）儀器基本誤差 設(shè)某儀器在指定條件下對某一被測量進行測量時，可能達到的最大誤差限為 a按均勻分布考慮，故標準不確定度

11、為 ( )0.63au xa（5 5）儀器分辨力）儀器分辨力 設(shè)儀器的分辨力為，則其區(qū)間半寬度為 按均勻分布考慮，故標準不確定度為 （6 6）儀器的滯后）儀器的滯后 滯后引起的標準不確定度為 x2xa( )0.332 3xxau x( )0.32 3xxu x設(shè)校準證書給出名義值10的標準電阻器的電阻，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，置信水平為99。求其標準不確定度。 【解】【解】根據(jù)題意，該標準電阻器的置信區(qū)間半寬度 129a查表得992.576k計算129()50.0782.576Su R10.00074129sR三、自由度三、自由度 由于不確定度是用標準差來表征，因此，不確定度的評定質(zhì)量就取決于標

12、準差的可信賴程度。而標準差的信賴程度與自由度密切相關(guān)，自由度愈大，標準差愈可信賴。所以，自由度的大小就直接反映了不確定度的評定質(zhì)量 不確定度的評定質(zhì)量標準差的可信賴程度自由度對于一個測量樣本，自由度等于該樣本數(shù)據(jù)中n個獨立測量個數(shù)減去待求量個數(shù)1。 對某量X進行n次獨立重復(fù)測量，用貝塞爾公式估計實驗標準差的自由度為n-1。 按估計相對標準差來定義的自由度稱為有有效自由度效自由度 （或）eff2112( ) ss2112( )uu情形1情形2情形3自由度自由度（degrees of freedom） 計算總和中獨立項個數(shù)，即總和的項數(shù)減去其中受約束的項數(shù)。 最常用的是按貝塞爾公式計算標準差的自由

13、度公式 1n34567891015201234567891419n極差法1.92.6 3.33.94.65.25.8 6.46.98.3 9.50.91.8 2.73.64.55.36.0 6.87.510.513.1表表7-3 7-3 幾種幾種A A類評定不確定度的自由度類評定不確定度的自由度 1Bessel公式最大誤差法0.9 B類評定的自由度類評定的自由度對于B類評定的不確定度，其自由度一般通過相對標準不確定度來折算。 00.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.5050 128632自由度表表7-47-4相對標準不確定度與自由度的關(guān)系相對標準不確定度與自由度的關(guān)系 相對標準

14、不確定度用游標卡尺對某一試樣的尺寸重復(fù)測量10次，得到的測量列如下（單位：mm） 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08 求該重復(fù)測量中隨機變化引起的標準不確定度分量及其自由度。 【解】【解】本例估計的是重復(fù)測量中隨機變化引起的標準不確定度分量，可根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)進行類評定按極差法求取極差 maxmin0.09mmnxx查表3-1得， 103.08d則標準差 0.0292mmnnwud查表7-3其自由度 7.5用兩種方法估計得到的標準差很接近，但自由度有明顯不同，可見用貝塞爾公式更好一些。 由貝塞爾公式其自由度10

15、 19 210.008250.0303m m1101niivusn第三節(jié) 測量不確定度的合成一、合成標準不確定度一、合成標準不確定度 當測量結(jié)果受多個因素影響而形成若干個不確定度分量時，測量結(jié)果的標準不確定度通過該多個標準不確定度分量合成得到的。 2112mmciijijii juuuu 第個標準不確定度分量 第和第j個標準不確定度分量之間的相關(guān)系數(shù) 不確定度分量的個數(shù) 合成標準不確定度 cuijm1u 輸出量估計值 的標準不確定度 y 輸入量估計值 和 的標準不確定度 ixjx 函數(shù) 在 處的偏導數(shù)，稱為靈敏系數(shù)靈敏系數(shù)，在誤差合成公式中稱其為傳播系數(shù)傳播系數(shù)； 12(,.,)nF XXX1

16、2( ,.)nx xxiiFax 和 在 處的相關(guān)系數(shù) iXjX( ,)ijx x( )cuy( )iu x()ju x22112211( )( )2( ) ()( )2( ) ()mmciijijiijiijmmiiijijijiijFFFuyuxu x u xxxxa uxa a u x u x（）ij標準不確定度傳播公式 ui直接測量的不確定度分量 直接測量的不確定度分量的合成公式 記)()(22iiiiixuxfxuxfumimjijiijicuuuu1122當 和 相互獨立時, ixjx221( )( )mciiiFuyuxx0ij標準不確定度傳播公式 常見的間接測量函數(shù)模型常見的間

17、接測量函數(shù)模型（1）設(shè) , 各之間互不相關(guān)，則有 iiiYa XiX22( )( )ciiiuya ux（2）設(shè) ，各之間互不相關(guān)，則有 ipiiYaX2( )( )ciiiiuypu xyxiX 相對標準不確定度的表示形式 ( )cuyy二、有效自由度二、有效自由度合成標準不確定度的自由度稱為有有效自由度效自由度，一般用 來表示。 eff 設(shè)被測量有個影響測量結(jié)果的分量，記為 ，當各分量均服從正態(tài)分布，且相互獨立時，可根據(jù)韋爾奇-薩特思韋特（Welch- Satterthwaite）公式來計算其合成標準不確定度的有效自由度。 441( )( )ceffmiiiu Yvu Yv12mYYYYm

18、iY來源序號12345合成結(jié)果基準尺讀數(shù)電壓表電阻表溫度1.01.01.42.02.05104161不確定度符號數(shù)值符號數(shù)值自由度3.51u2u3u4u5ucu12345eff7.8某測量結(jié)果含5個不確定度分量，每個分量的大小及自由度見下表，它們之間的協(xié)方差均為零，求其合成標準不確定度和有效自由度。 【解】【解】2222212345222221.01.01.42.02.03.5cuuuuuu根據(jù)題意，按公式計算合成標準不確定度 有效自由度4444443.57.81.01.01.42.02.05104161effv被測電壓的已修正結(jié)果為，其中重復(fù)測量6次的算術(shù)平均值=0.928571V，A類標準

19、不確定度為 。修正值，修正值的標準不確定度由B類評定方法得到，估計的相對誤差為25%。試求V的合成標準不確定度、相對標準不確定度及其自由度。 【解】【解】VVVV( )12u V V0.01VV()8.7uVV由合成標準不確定度的計算公式得 22( )( )()128.715cVVu Vu VuVVV （）V自由度( )6 15V 查B類評定自由度表得 ()8V444444( )15( )10.4( )()128.7( )()58cuVVu VuVVV有效自由度 相對標準不確定度為 66( )15 1016 100.928571 0.01cu VV測量環(huán)路正弦交變電位差幅值V，電流幅值I，各重

20、復(fù)測量5次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)=0.36，試根據(jù)測量值，求阻抗R的最佳值及其合成標準不確定度。 5.007次數(shù)123454.9945.0054.9904.99919.63919.663電位差幅值V 電流幅值mA 19.64019.68519.675【解】【解】根據(jù)算術(shù)平均值和標準差的計算公式得 114.999VniiVVn1119.6604mAniiIIn211( )0.0072V1niiVV Vn（）( )( )( )0.0032VVu VVn211( )0.0206mA1niiIIIn( )( )( )0.0092mAIu IIn電阻的最佳值為 4.999254.26719.6

21、61VVRImA合成標準不確定度 2222( )( )( )2( ) ( )0.2342cRRRRu Ru VuIu V u IVIVI相對標準不確定度為 224( )( )( )( )0.729.2 10cu Ru Vu Iu Vu IRVIVI （ ）三、擴展不確定度擴展不確定度的兩種方法表示擴展不確定度的兩種方法表示 cUkuppcUk u 在傳統(tǒng)場合多用合成標準不確定度 來表示測量結(jié)果的分散性，但在許多領(lǐng)域，常要求用擴展不確定度來表示 cu合成標準不確定度乘以包含因子 給定的置信概率或置信水平p包含因子的確定方法自由度法超越系數(shù)法簡易法 擴展不確定度表示方法中，關(guān)鍵是確定包含因子常用方

22、法自由度法自由度法()ppeffktv 有效自由度 置信水平，常取95%或99% 擴展不確定度近似按下兩式表示 959923ccUuUu包含因子可取為 effvp當 足夠大時, 或 effv952k993k設(shè)，輸入量、服從正態(tài)分布，分別用獨立重復(fù)測量了=10、=5、=15次的算術(shù)平均值、和作為它們的估計值，相對標準不確定度分別為=0.25%、=0.57%、=0.82%，試計算相對合成標準不確定度、有效自由度和擴展不確定度（置信水平為95%）。 【解】【解】根據(jù)合成標準不確定度的計算公式，得 231222( )( )(0.25%)(0.57%)(0.82%)1.03%ciiiuyu xyx123

23、123(,)Yf XXXbX X X1X2X3X1n2n3n1x2x3x11()u xx22()u xx33()u xx由于 ( )( )iiiifyu xu xxx則根據(jù)有效自由度計算 4444444444333111( )( )( )1.0319.0() ( )/0.250.570.82( )10 15 115 1ccceffiiiiiiiiiiiuyyuyuyvuyu xxfu xvvxv查t分布表得 95192.09t（ ）最后得相對擴展不確定度 952.09 1.03%2.15%Uy超越系數(shù)法超越系數(shù)法當無法獲得自由度信息，而大致知道測量分布且為對稱分布時，可以根據(jù)分布的四階矩（即超

24、越系數(shù)） 來確定其包含因子。 合成分布的超越系數(shù) 4444iiicuu（）pk設(shè)有若干個不確定度分量 ，每個分量對應(yīng)的分布均對稱，其超越系數(shù) (可查表得到)，合成標準不確定度為 iu4i（）cu算得 后，再查表，即可得合成分布的包含因子 4已知影響某測量結(jié)果的有六個主要的不確定度源，其分布及大小見下表所示。假設(shè)它們之間相互獨立，試按置信水平，估計其擴展不確定度。 0.99p 序號分布區(qū)間半寬度 分布因子標準差超越系數(shù)1均勻0.061.710.03511.22均勻0.321.710.1871.23均勻0.501.710.2921.24反正弦0.631.410.4471.55反正弦0.561.41

25、0.3971.56正態(tài)0.100合成結(jié)果1.62.320.6990.45【解】【解】根據(jù)各自所服從的分布和給定的區(qū)間半寬度，獲得分布因子和標準差，以及超越系數(shù)，列于上表（加紅字）。 合成標準不確定度 2222220.03510.1870.2920.4470.3970.100.4890.699cu 超越系數(shù) 420.10740.450.489r （）根據(jù)，查超越系數(shù)表，并插值計算得 ，最后，得擴展不確定度 99%p 992.32k99991.6cUk u簡易法簡易法不知道自由度和有關(guān)合成分布的信息，被測量值的估計區(qū)間及其置信水平。 怎么辦？取包含因子k=2或3 簡易法用卡尺對某工件直徑重復(fù)測量了

26、三次，結(jié)果為15.125，15.124和15.127mm。 試寫出其測量的最佳估計值和測量重復(fù)性。已知該卡尺的產(chǎn)品合格證書上標明其最大允許誤差為0.025mm，假設(shè)測量服從三角分布（置信因子?。?，估計其不可信賴程度為25%。試表示其測量結(jié)果。 6【解】【解】（1）計算算術(shù)平均值和測量重復(fù)性 311115.125 15.12415.12715.12533iiddn（）因，用極差法估計s，有 3n 15.127 15.1240.00181.693s計算算術(shù)平均值的標準偏差，即多次測量的重復(fù)性 10.00180.0013u （3）用B類評定方法估計測量不確定度分量之二 20.0250.0156u （

27、4）求合成標準不確定度 220.0010.0150.015cu （2）用A類評定方法估計測量不確定度分量之一 自由度法自由度法 其不可信賴程度為25%，卡尺允許誤差極限分量的自由度為 18重復(fù)測量分量的自由度為 23 12 則有效自由度 4440.01580.0010.01528v 擴展不確定度 999983.355 0.0150.049cUtu（ ）重復(fù)測量分量服從正態(tài)分布，有 140（ ）卡尺允許誤差極限分量服從三角分布，查表有 240.6 （ ）計算超越系數(shù) 4440.6 0.0150.60.015 按，查超越系數(shù)表得99%p 992.20k擴展不確定度99990.033cUk u簡易法

28、簡易法 取，有 3k 0.045cUku超越系數(shù)法超越系數(shù)法 第六節(jié)測量結(jié)果表示方法一個完整的測量結(jié)果 被測量的最佳估計值，一般由算術(shù)平均值給出 有關(guān)測量不確定度的信息 測量不確定度用合成標準不確定度表示 合成標準不確定度 cu自由度 測量不確定度用擴展不確定度表示 擴展不確定度U 合成標準不確定度 cu自由度 包含因子k置信水平 p、合成標準不確定度表示方式、合成標準不確定度表示方式 某標準砝碼的質(zhì)量，其測量的估計值合成標準不確定度，自由度 100.02147gm ( )0.35mgcu m 9(1)100.02147gm ( )0.35mgcu m ，或( )0.00035gcu m 9，

29、(2)100.02147(35)gm 9(3)100.02147(0.00035)gm 9M括號內(nèi)的數(shù)值按標準差給出，其末位與測量結(jié)果的最低位對齊括號內(nèi)的數(shù)值按標準差給出，單位同測量結(jié)果一樣2、擴展不確定度表示方式、擴展不確定度表示方式 某標準砝碼的質(zhì)量，其測量的估計值合成標準不確定度，自由度100.02147gm ( )0.35mgcu m 9M2k ( )( )0.00070gcU mku m包含因子，擴展不確定度 ( )(100.021470.00070)gMmU m2k 9100.02147gm ( )0.00070gU m 2k 92k ( )(100.021470.00070)gM

30、mU m100.02147gm ( )0.00070gU m 2k 或或或( )( )0.00079ppcUmk u mg包含因子95( )(100.021470.00079)gMmUm100.02147gm 95( )0.00079gUm ( )(100.021470.00079)gMmU m或或(9)2.26,0.95ppktp(9)2.26,0.95ppktp2.26k 90.95p(9)2.26,0.95ppktp擴展不確定度數(shù)字位數(shù)與數(shù)據(jù)修約規(guī)則數(shù)字位數(shù)與數(shù)據(jù)修約規(guī)則在表示測量結(jié)果時，究竟取幾位數(shù)字為好呢？總結(jié)以下原則 (1) 最后報告的不確定度有效位數(shù)一般不超過兩位多余部分推薦多余

31、部分推薦當保留兩位有效數(shù)字時，按“不為零即進位”；0.001 1010.001 2 修約后的不確定度數(shù)值的位數(shù)對齊(2) 被測量的估計值的位數(shù)也要進行相應(yīng)的修約測量結(jié)果的最終表示在最終表示測量結(jié)果的場合，規(guī)范和完整的表示方式有以下兩種：（1）區(qū)間半寬度表示方式： 測量結(jié)果 = 最佳估計值 測不準部分（單位）（置信水平，自由度）（2）標準偏差表示方式： 測量結(jié)果 = 最佳估計值 （ 測不準部分）（單位）（自由度）用數(shù)字電壓表測量某直流電壓問題用數(shù)字電壓表在標準條件下對10伏直流電壓進行了10次測量，得到10個數(shù)據(jù)如下表所示。由該數(shù)字電壓表的檢定證書給出，其示值誤差按3倍標準差計算為3.510-6

32、 V。同時，在進行電壓測量前，對數(shù)字電壓表進行了24小時的校準，在10V點測量時，24小時的示值穩(wěn)定度不超過15V。試分析評定對該10伏直流電壓量的測量結(jié)果。iixiixiixiix1234567891010.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094計算最佳估計值 10次電壓測量的算術(shù)平均值 101110.00010410iixxV分析測量不確定度來源 （3）數(shù)字電壓表測量重復(fù)性引起的不確定度u3（1）數(shù)字電壓表示值穩(wěn)定度引起的不確定度u1（2）數(shù)字電壓表示值誤差引起的不確定度u2【解】【解】24