（整理版）數列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略

1、數列創(chuàng)新題的根本類型及求解策略高考創(chuàng)新題，向來是高考試題中最為亮麗的風景線。這類問題著重考查觀察發(fā)現，類比轉化以及運用數學知識，分析和解決數學問題的能力。當然數列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點考查的一種類型。下舉例談談數列創(chuàng)新題的根本類型及求解策略。一、 創(chuàng)新定義型例1、 數列滿足：，定義使解：要使為正整數，可設評析：準確理解企盼數的定義是求解關鍵。解題時應將閱讀信息與所學知識結合起來，側重考查信息加工能力。二、 性質探求型例2、 數列滿足： 。 解：由于是知。評析：此題主要通過對數列形式的挖掘得出數列特有的性質，從而到達化歸轉化解決問題的目的。其中性質探求是關鍵。三、 知識關聯型例p21p1xyof

2、pi/pi3、設f是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點pii=1，2，3，使|fp1|，|fp2|，|fp3|，組成公差為d的等差數列，那么d的取值范圍為 .解析：由橢圓第二定義知，這些線段長度的最小值為右焦點到右頂點的距離即|fp1|=，最大值為右焦點到左頂點的距離即|fp21|=，故假設公差d>0,那么同理 假設公差d<0,那么可求得。評析四、 類比聯想型例4、 假設數列是等差數列，那么有數列 類比上述性質，相應地：假設數列是等比數列，且，那么有數列 解析：由“等差數列前n項的算術平均值是等差數列可類比聯想“等比數列前n項的幾何平均值也應該是等比數列不難得到評析：此題只

3、須由條件的特征從形式和結構上比照猜測不難挖掘問題的突破口。2122 23242526| |20 7 8 9 10 27| | | 19 6 1 2 11 | | | |18 5 4 3 12 | |1716 1514 13五、 規(guī)律發(fā)現型例5、將自然數不清，2，3，4排成數陳如右圖，在2處轉第一個彎，在3轉第二個彎，在5轉第三個彎，.，那么第個轉彎處的數為_。解：觀察由1起每一個轉彎時遞增的數字可發(fā)現為“1，1，2，2，3，3，4，4，。故在第個轉彎處的數為：1+21+2+3+1002+1003=1006010。評析：此題求解的關鍵是對圖表轉彎處數字特征規(guī)律的發(fā)現。具體解題時需要較強的觀察能力

4、及快速探求規(guī)律的能力。因此，它在高考中具有較強的選拔功能。六、 圖表信息型例6、下表給出一個“等差數陣：47 712 其中每行、每列都是等差數列，表示位于第i行第j列的數。i寫出的值；ii寫出的計算公式；iii證明：正整數n在該等差數列陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。 解：i詳見第二問一般性結論。 ii該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列： ； 第二行是首項為7，公差為5的等差數列： ， ，第i行是首項為，公差為的等差數列，因此iii必要性：假設n在該等差數陣中，那么存在正整數i，j使得，從而 。 即正整數2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。 充分性

5、：假設2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2n+1是奇數，那么它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k，l，使得， 從而可見n在該等差數陣中。 綜上所述，正整數n在該等差數陣中的充要條件是2n+1可以分解成兩個不是1的正整數之積。評析： 本小題主要考查等差數列、充要條件等根本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。求解關鍵是如何根據圖表信息求出行列式中對應項的通項公式。圖1圖2圖3圖4七、 幾何計數型例7、如圖，第n個圖形由第n+2 邊形“擴展而來的。記第n個圖形的頂點數為，那么= 。 解：由圖易知：從而易知評析：求解幾何計數問題通常采用“歸納猜測證明解題思路。此題也可直

6、接求解。第n個圖形由第n+2邊形“擴展而來的，這個圖形共由n+3個n+2邊形組成，而每個n+2邊形共有n+2個頂點，故第n個圖形的頂點數為。八、 “楊輝三角型例8、如圖是一個類似“楊輝三角的圖形，第n行共有n個數，且該行的第一個數和最后一個數都是n,中間任意一個數都等于第n1行與之相鄰的兩個數的和， 分別表示第n行的第一個數，第二個數，.第n 個數。求的通項式。 解：1由圖易知從而知是一階等差數列，即以上n-1個式相加即可得到：評析：“楊輝三角型數列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點問題。求解這類題目的關鍵是仔細觀察各行項與行列式的對應關系，通常需轉化成一階或二階等差數列結合求和方法來求解。有興趣的同學不妨求出的通項式。九、 閱讀理解型例9、電子計算機中使用二進制，它與十進制的換算關系如下表：十進制123456.二進制11011100101110.觀察二進制1位數，2位數，3位數時，對應的十進制的數，當二進制為6位數能表示十進制中最大的數是 解：通過閱讀，不難發(fā)現：于是知二進制為6位數能表示十進制中最大的