雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)

1、2021-12-21拼搏改變命運(yùn)，勵(lì)志照亮人生拼搏改變命運(yùn)，勵(lì)志照亮人生 問題問題1 1：橢圓的定義是什么？橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的和和等于常數(shù)（等于常數(shù)（大于大于|F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。問題問題2 2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的? ?222222221(0)1(0)xyyxa ba babab 或 ， ， 關(guān)系如何？關(guān)系如何？abc222abc問題問題3 3：如果把橢圓定義中如果把橢圓定義中“距離的距離的和和”改為改為“距離的距離的差差”那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡會發(fā)生怎樣

2、的變化？平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的的距離的差的絕對值差的絕對值等于常數(shù)等于常數(shù)（小于（小于|F1F2|，且不等于，且不等于0）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的做雙曲線的焦距。焦距。通常情通常情況下，我們把下，我們把|F1F2|記為記為2c2c（c0)c0)； 常數(shù)記為常數(shù)記為2a(a0)2a(a0).問題問題4:4:定義中為什么強(qiáng)調(diào)定義中為什么強(qiáng)調(diào)常數(shù)常數(shù)要要小于小于|F|F1 1F F2 2| |且不等于且不等于0 0（即（即02a2c02a2c,則軌跡是什

3、么？則軌跡是什么？若若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？此時(shí)軌跡為以此時(shí)軌跡為以F F1 1或或F F2 2為端點(diǎn)的為端點(diǎn)的兩條射線兩條射線此時(shí)此時(shí)軌跡不存在軌跡不存在此時(shí)軌跡為線段此時(shí)軌跡為線段F F1 1F F2 2的垂直平分線的垂直平分線F1F2F1F2分分3種情況來看：種情況來看：(4)理解雙曲線的定義要緊扣理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為定值且小于兩定點(diǎn)的距離為定值且小于兩定點(diǎn)的距離”對雙曲線定義的理解對雙曲線定義的理解(1)把定常數(shù)記為把定常數(shù)記為2a，當(dāng)，當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，時(shí)，其軌跡是雙曲線；其軌跡是雙曲線；其軌跡是以其軌跡是以F

4、1、F2為端點(diǎn)的兩條射線為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn)包括端點(diǎn))；其軌跡不存在其軌跡不存在其軌跡是其軌跡是線段線段F F1 1F F2 2的垂直平分線。的垂直平分線。則點(diǎn)則點(diǎn)P在左支上在左支上若點(diǎn)若點(diǎn)P滿足滿足|PF1|PF2|2a， 則點(diǎn)則點(diǎn)P在右支上；在右支上；F1、F2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn)，表示雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)若點(diǎn)P滿足滿足|PF2|PF1|2a，原則：原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸所在的直線作為坐標(biāo)軸.).) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案

5、探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(對稱、對稱、“簡簡潔潔”)1F2FMOxy方案二方案二F2F1MxOy2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn):設(shè)設(shè)M（x , y）,雙曲線的焦雙曲線的焦距為距為2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常數(shù)常數(shù)=2a雙曲線方程的推導(dǎo)雙曲線方程的推導(dǎo)建系：建系：如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，使，使x軸經(jīng)過點(diǎn)軸經(jīng)過點(diǎn) ， ，并且點(diǎn)并且點(diǎn)O與線段與線段 中點(diǎn)重中點(diǎn)重合合.1F2F1 2FF 222222()2()xcyaxcy 222()cx aax cy 22222222()()caxa yaca222bca 令令22221(0,0)xy

6、abab 4.4.化簡化簡. .2222()()2x cyx cya 即即3.列式列式:122MFMFa 22221xyab22221yxabF2F1MxOyOMF2F1xy(00)ab，若建系時(shí)若建系時(shí),焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上呢軸上呢?看看 前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，則在哪一個(gè)軸上則在哪一個(gè)軸上22,xy“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”22221(0,0)yxabab22221(0,0)xyabab三三. .雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較 方程用方程用“”號連接。號連接。 分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。22,0,0abab,a b 。 222cab如

7、果如果 的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在 軸上；如果軸上；如果 的系數(shù)是正的，則的系數(shù)是正的，則焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 軸上。軸上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解(3)焦點(diǎn)焦點(diǎn)F1、F2的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型標(biāo)準(zhǔn)方程的類型“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在點(diǎn)在x軸上；若軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在y軸上軸上(1)只有當(dāng)雙曲線的兩焦點(diǎn)只有當(dāng)雙曲線的兩焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，并且線

8、段在坐標(biāo)軸上，并且線段F1F2的垂的垂直平分線也是坐標(biāo)軸時(shí)得到的方程才是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直平分線也是坐標(biāo)軸時(shí)得到的方程才是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中與橢圓中b2a2c2相區(qū)別，相區(qū)別，且橢圓中且橢圓中ab0，而雙曲線中，而雙曲線中a、b大小則不確定大小則不確定(4)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如不能確定焦點(diǎn)的位置，用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如不能確定焦點(diǎn)的位置，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2B

9、y21(AB680|AB|680m, ,所以爆炸點(diǎn)所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以的軌跡是以A A、B B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B B處的一支上處的一支上. . 例例2.2.(.(課本第課本第5454頁例頁例) )已知已知A,BA,B兩地相距兩地相距800800m, ,在在A A地聽到炮彈爆地聽到炮彈爆炸聲比在炸聲比在B B地晚地晚2 2s, ,且聲速為且聲速為340340m/ /s, ,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程. .如圖所示，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xO Oy, ,設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x, ,y) )，則則340 2680PAPB

10、即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx 221(0)11560044400 xyx 2800,400,cc xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為22244400bca 答答: :再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置準(zhǔn)確位置. .這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用. .PBA Cxyo補(bǔ)充題補(bǔ)充題: :如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求m的取值范圍的取值范圍. .22121xymm解解: :22121xymm 思考：思