汕頭市2018一模理數(shù)試題含答案

1、絕密啟用前試卷類型：A2018年汕頭市普通高考第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試題卷共5頁，23題（含選考題）。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位 置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型 A后的方框涂黑。2 選擇題的作答：每小題選岀答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3 填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非 答題區(qū)域均無效。4選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的

2、位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5 考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 已知集合Ax x1 0，B x2x 5x 0，貝y AriCRB =A 0,1B.1, 5C,0D 5,2 若實數(shù)a滿足1 i（i為虛數(shù)單位），則aaiA 1B1C2D23 甲、乙兩人參加“社會主義核心價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為且兩人是否獲得一等獎相互獨立，則兩人中恰有一個人獲得一等獎的概率是A._5124 .若 s

3、in(61 2)-，則cos(2 )的值為33八171A.B.C39 35.上海浦東新區(qū)2008年生產(chǎn)總值約3151億元人民幣，如果從此浦東新區(qū)生產(chǎn)總值的年增長率為10.5%,求浦東新區(qū)最早哪一年的生產(chǎn)總值超過8000億元人民幣？某同學(xué)為解答這個問題設(shè)計了一個程序框圖，如圖1,但不慎將此框圖的一個處理框中的內(nèi)容污染而看不到了，則此框圖中因被污染而看不到的內(nèi)容的數(shù)學(xué)運算式應(yīng)是A. a a b B . a a b C . a (a b)n D . a a bn開始cr二述L沖DOS(圖1)(圖2)6汽車的燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖2,描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油

4、效率情況下列敘述中正確的是A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D. 某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油7 平行四邊形 ABCD中，AB 2，AD 1，AB AD 1,點M在邊CD上，則MA MB的最大值為A. 2B. 3 1 C. 0D. 2 18 .函數(shù) f(x) sin( x)(0, | |才在區(qū)間(_,_)內(nèi)是增函數(shù)，則4 2A. f( )1B.f (x)的周期為一42C .的最大值為4D3.f( ) 04BC 2 , AC 2 2

5、，若三棱錐9 已知三棱錐 D ABC的所有頂點都在球 0的球面上，ABD ABC體積的最大值為2,則球0的表面積為A. 8 n25 n12192x10 .已知雙曲線a0,b0)的右焦點為F(c,O),右頂點為過F作AF的垂線與雙曲線交于B、C兩點，過B、C分別作AC、AB的垂線,兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a c,則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是A.,1 1,1,00,1C.2,00, 211.如圖3，畫出的是某四棱錐的三視圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為A. 15.16c. 503533(圖3)12. 已知f(x)、g(x)都是定義域為R的連續(xù)函數(shù).已知:g(x

6、)滿足：當(dāng)x 0時，g '(x)0恒成立； xR都有g(shù) (x)g( x).f (x)滿足： x R都有f (x當(dāng)x3, 3時，f (x) x3 3x.若關(guān)于x的不等式gf (x) g(a2"I2 3恒成立，則a的取值范圍是A. R3,34C . 0,1,0U1,)本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本題共 4小題，每小題5分。13. (x a)(2x -)5的展開式中各項系數(shù)的和為 2，則該展開式中常數(shù)項為 .xX2 V214已知橢圓 -1(a b 0)的左右焦點是R、F2，設(shè)P是橢

7、圓上一點，F(xiàn)1F2在FiP上的投a b影的大小恰好為 F1P，且它們的夾角為 ，則橢圓的離心率 e為.x V 3015若平面區(qū)域 2x V 30夾在兩條平行直線之間，則當(dāng)這兩條平行直線間的距離最短時，它們的x 2y 3 0斜率是.1c16. 在 ABC中，A 且一sinB cos2 , BC邊上的中線長為-.7，則 ABC的面積是.6 22三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17. (本小題滿分12分)已知數(shù)列 為 的前n項和為Sn, a1 2，且 n N , nSn 1 (n 1)Sn n(n 1).s(1) 求證：數(shù)列1為等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；n(2) 設(shè)bn3

8、n1(1)nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn.18. (本小題滿分12分)如圖4，多面體 ABCDEF中，面 ABCD為正方形， ABV5E AD C的余弦值為' ，且EF / BD . 5(1) 證明：平面 ABCD 平面EDC ;(2) 求平面AEF與平面EDC所成銳二面角的余弦值.19. (本小題滿分12分)2 , AE 3, DE 5，二面角(圖4)y g與尺寸x (mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng) c xb (b、c為大于0的常數(shù)).按照某項指標(biāo)測定,當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間e e9,7某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量別為：bn_(Viv)(Ui u)i

9、1n_(Vi V)2i 1VjUji 1n2Vii 1nvu-2nvbv , e 2.7182.內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取 6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下:尺寸x (mm)384858687888質(zhì)量y (g)16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比 yx0.4420.3920.3570.3290.3080.290的分布(1) 現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選 3件，記 為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量列和期望；(2) 根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：6In Xi In yii 16ln Xii 16ln yii 162ln Xii 175.324.618.3101

10、.4(i)根據(jù)所給統(tǒng)計量，求 y關(guān)于x的回歸方程;(ii)已知優(yōu)等品的收益 z (單位：千元)與 x, y的關(guān)系為z 2y 0.32x，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸 x為何值時，收益z的預(yù)報值最大？(精確到 0.1 )附:對于樣本(vi , ui) (i1,2,n)，其回歸直線u b v a的斜率和截距的最小二乘估計公式分20. (本小題滿分12分)已知拋物線C:x2 2py(p 0)的焦點為F，直線I交C于A、B兩點.(1) 若直線I過焦點F，過點B作x軸的垂線，交直線 OA于點M，求證：點M的軌跡為C的 準(zhǔn)線；(2) 若直線I的斜率為1，是否存在拋物線C，使得心人kOB2且 OAB的面積為16，若存在

11、, 求C的方程；若不存在，說明理由.21. (本小題滿分12分)2 2已知函數(shù) f(x) = 2xln x x2axa，其中 a 0 .(1) 設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(2) 證明：存在a (0,1)，使得f(x) 0恒成立，且f (x)0在區(qū)間(1,)內(nèi)有唯一解.請考生在第22 , 23題中任選一題作答.作答時一定要用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑(都沒涂黑的視為選做第 22題)。x 2cosG的參數(shù)方程為22. (本小題滿分10分)選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y 2 2sin(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸

12、建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos(1) 求曲線C1的極坐標(biāo)方程；(2) 射線0與曲線G , C2分別交于A , B兩點(異于原點O )，定點M 2,0，求 MAB3的面積23. (本小題滿分10分)選修4-5 :不等式選講已知函數(shù)f (x) x a 2.(1) 若a 1，求不等式f(x) 2x 30的解集；(2) 關(guān)于x的不等式f (x) x 3有解，求實數(shù)a的取值范圍.2018年汕頭市普通高考第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第I卷、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號123456789101112答案

13、ABDBBDACDBCD本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答。第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答。、填空題：本題共 4小題，每小題5分。題號13141516答案40V3 12或丄2說明：15題只答一個數(shù)不給分（即得 0分）三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）Sn 1n 1(1)法一：T nN , n Sn 1 (n 1)& n2 n2分a113分4分S數(shù)列是首項為2,公差為1的等差數(shù)列n$2(n 1) n 1,即：Sn n2 nn當(dāng) n 2 時，an Sn Sn 1 2n當(dāng)n 1時，a,2nN , an

14、 2n6分法二 /nSr1 1(n1)Snn(n1)n(S1 1Sn)Snn(n1)，即na1 1Snn(n1)故(n1)an2Sn 1(n1)(n2)-得:(n1)an 2nan1an *i 2(n1)化簡得：an2an 122又由可知a2S12，即a?a23是首項為2,公差為1的等差數(shù)列6ana1(n 1) 22n4分Snn(22n).n(n1)，Snn 1-5分2nSnSn1/八彳(n 1)(n1)1 1nn1an是首項為2，公差為2的等差數(shù)列,(2)法一：解：由(I)得：bn 3n 1 ( 1)n 2n1 3n3n i設(shè)數(shù)列3n 1的前n項和分別為An，則An7 分1 32記cn (

15、1)n 2n，數(shù)列cn的前n項和為Bn2k當(dāng) n 2k(k N )時，c,k 1 c2k2(2k 1) 4k 2，則 B2kB2k C2k 2k 4k2kn1,n 2k1Bn(kN )n, n2k3n2n 32 ,n2k1Tn2(k N )3n2n 1,n2k2當(dāng) n 2k 1(k N )時，B?k 11112分n 1 小(1) 2n得 2代(1) 2 ( 1)2 2(1)n 2 ( 1)n 1 2n 82 1 1 ( 1)n1 ( 1)(1)n(2n 1) 1(1)n 2nAn(1)n(2n 1) 12法二：由(1 )知 bn 3n 1( 1)n 2n設(shè)An ( 1) 2 ( 1)2 4 (

16、 1)3 6( 1)n 2n ,234An( 1) 2 ( 1) 4 ( 1) 610分又 Bn 3031323n11 (13n)131(3n 1)，11分12分8分1SnBnAn? ( 1口2 n 1) 3n 1 ,法三：由（1）知：由（1）知 bn 3n 1（ 1）n 2n1(1)n 加 1( 1)n(2n1)(2n1)An(1) 2(1)22 2 ( 1)3 2 3 (1)n 2n1n2(13) (35) (57)(1) (2 n 1)(2n1)1n歲1)(2n1) 110分又Bn3031323n 11 (13n)1-(3n 1) , 11分132SnBnAn12(1)n(2n1) 3n

17、112分18.(本小題滿分12分)(1)證明：AD 2,AE 3,DE5 ,由勾股定理得：AD DE1又正方形 ABCD中AD DC ,2分且 DE0DC D , DE、DC 面 EDC/ AD 面 EDC一3 分 AD 面 ABCD ,平面 ABCD 平面 EDC -4 分(注：第(1)只有一種證明方法，必須前面兩個線線垂直AD DE和AD DC都出現(xiàn)，下面的3、4分才能給分，只寫一個，本題只給1分。上面一個垂直各占1分。)(2)解：由(I)知EDC是二面角E AD C的平面角.5分作OE CD于 0,則 0D DE cos EDC 1, OE 2由平面ABCD 平面EDC，平面ABCD門平

18、面EDC CD , 0E 面EDC得：OE 面ABCD -6 分 (第6分給在0E=2上，如果后面 E的坐標(biāo)寫對，也可給這1分)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(2, 1,0)、B(2,1,0)、D(0, 1,0)、E(0,0, 2) AE ( 2,1,2)EF的一個方向向量DB (2,2,0)-7分設(shè)面AEF的一個法向量n (x, y, z),則 n AE 2x y 2z 0n DB 2x 2y 0取 x 2，得：n (2, 2,3)3（注：其他法向量坐標(biāo)可按比例正確給，比如（1, 1,）之類，也是正確的）2又面EDC 一個法向量為：m （1,0,0）-10分2、遼1711 分設(shè)面AEF與面

19、EDC所成二面角為，由 為銳角得：cos2 1717-12 分（注：最后需要根據(jù)條件作答案為“正值”的說明，只算法向量答案，不做文字說明，扣1分。）(第(2)問解法2) EF/DB EF DB (2 ,2 ,0)(0)7 分設(shè)面AEF的一個法向量n (x, y, z),n AE2xy 2z 0則FF8分n AF 2x2 y 0令x2，得n(2,2,3),9分（后面步驟相同）(第 ( 2)問解法3）以D點建系的解法，求出來的法向量與以上建系的坐標(biāo)一樣。（第（2）問解法4 :幾何法）連結(jié)BD,延長CB至G,使得GB=BC=2 ,連結(jié)GA并延長交CD的延長線于 H,連結(jié)EH5分 HD=CD=4F共面

20、6分過C作CKHE的延長線于點K,連結(jié)BK B為CG中點，AB/CD A為GH中點, BD/GH GH/EF, H、A、G、E由（1）知BC 面CDE BC HK 又 CK HK HK 面 GKC GKC為所求二面角的一個平面角8分/ EH HO2 EO213 而 RtHOERtHKCKC8HE (139分 KG - KC2 CG24_171310分GKC為銳角 面AEF與面EDC 所成二面角的銳角余弦值為 乙1712分17(1)解：由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間.302 ,0.388則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品1 分現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取

21、到優(yōu)等品的件數(shù)0 ,1, 2,32P( 0)C0C丄20，P(1)c3g220，P(2)c；c3C：920P(3)C；C120(算對兩個給1分)319.(本小題滿分12分)nvm nvui 1n2vi 1-2 nv75.3 24.6 18.3 60.271101.4 24.62 60.5427的分布列為01231991P20202020419913-5E()0123 -202020 20 2(2)解：對yb c x(b , c0)兩邊取自然對數(shù)得In y Inc blnx,令vInx ,Uilnyi,得u b v a，且aln c ,6(i)根據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有,1a u bv

22、18.3 2 24661，得? ln& 1，故& e81所求y關(guān)于x的回歸方程為y e x21x2，則? 2e x1ex2（丘）由（i）可知， ？ e0.32x由優(yōu)等品質(zhì)量與尺寸的比yx7,9 ，即 x 49,81-10 分令t 、X 7,9 ,邂t)0.32t22et0.32(t當(dāng)七浪87,9時，?取最大值12即優(yōu)等品的尺寸x 72.3（mm），收益？的預(yù)報值最大20. （1）證明：依題意得，直線 |的斜率k存在，過焦點F（0,P）故設(shè)其方程為:2kx設(shè)點 A(xi,yi), B(X2, y2), M (x , y)，x2 2py由p得:y kx22 2x2 pkx p0，貝

23、 y x1 x?直線OA: y / x%Xix，直線 OB : x x2 2pXi由 y 27得:x x2y嚴(yán)22p又由直線I的斜率k存在，可得故點M的軌跡在C的準(zhǔn)線yp2上(x 0).kx證法二：依題意得，直線 l的斜率k存在，過焦點故設(shè)其方程為:2 ，設(shè)點 A(xyj, B(X2,目2 , M (x , y)，x2 2py由p 得：x2 2pkx p2 0，則 x1 x2)，而直線 OA: y / x ,2 %y kx過點B作x軸的垂線，與C的準(zhǔn)線的交點為 M（x2,將x X2代入直線OA方程得y 21 X2X1%p-X2，即直線OA也過點2p2又由直線I的斜率k存在，可得x 0,故點M的

24、軌跡在C的準(zhǔn)線y0).（注：因為題目是證明，故沒有說明x 0不扣分）（2）解：由已知，設(shè)I : yx b，設(shè) A(x ,、2X1B(X2,y2)，則y1 和,y22X22p由 KdA kOBX2%x24?2，得 xix28py x b由得:x 2pyx22pxX22p , x1x2 2pb,2 2pb 8p由p 0得：b4px22X1 X2 2 4x26 2p又點0到直線I的距離為b 4pV210由 S oab 12 p 16 得: p 33114 13故存在拋物線C : x2y滿足條件.12解法二：由已知,設(shè) A(X1 , yj、B(X2 , y2)，則屮22Xx2,y22p2p由 KoA

25、kOBX2%x2472，得 x,x28p2由y2XXb得:2pyx22pxx>2p , X1X22pb, 2pb8p2(1)直線丨:y由 S OAB1|b|故存在拋物線（本小題滿分解：由已知,C:x212 分)函數(shù)所以 g'(x)=2當(dāng) x (0,1)時,| X1 X2 I 2p.(X1 X2)2 4X1X2 2p. 4p2 32p2 12p2y滿足條件.1112f(x)的定義域為(0,) , g(x)= f'(X)=2(x 1 I nx a)2 _ 2(x1)16 , -10x xg'(x) < 0 , g(x)單調(diào)遞減當(dāng)x (1,)時，g'(x)>0 , g(x)單調(diào)遞增證明：由 f'(x) =2(x 1 I nxa)= 0 ,解得令(x)則(1)1于是，存在令 a。x0由（i）知:x 1 In x22xl nx x 2x(x 1In x)(xIn x)2(1 Inx)2 2xlnx 60,x0(e)2(2 e) 0（1，e），使得（x0）ln x0 u(xJ0 u(1) a。u(x)當(dāng) aa° 時，有 f (冷)0, f (x°)由（i）知，f'（x）在區(qū)間（1,u(e)帆）1,即 a。(0,1)