淺談導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(畢業(yè)論文)

1、甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)生畢業(yè)論文 題 目： 淺談導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 主要內(nèi)容簡介:導(dǎo)數(shù)概念是數(shù)學(xué)分析基本概念，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、求曲線的斜率問題和求函數(shù)的極值最值等問題的有力工具。本文就導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用，談一點個人的感悟和體會。首先，就導(dǎo)數(shù)的概念入手，依次講述了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、求導(dǎo)數(shù)的方法、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運算等方面的內(nèi)容。并舉了大量的例題，其中一些例題方法新穎，可供讀者參考。其次，主要講了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用，包括函數(shù)的單調(diào)性、極值最值的求法。用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法以

2、及求曲線斜率的方法等。在每個應(yīng)用后都附有相關(guān)例題加以說明。來突出導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性?？傊?，運用導(dǎo)數(shù)可以使問題簡單化，通過對本文的閱讀讀者會對導(dǎo)數(shù)有更深的了解與認(rèn)識。淺談導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 摘要：導(dǎo)數(shù)概念是數(shù)學(xué)分析基本概念，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野, 也是研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、求曲線的斜率問題和求函數(shù)的極值最值等問題的有力工具。本文就導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，談一點個人的感悟和體會。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 極限 應(yīng)用 函數(shù) 不等式一、導(dǎo)數(shù)的概念及運算1導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x)在處附近有定義，如果x0時，y與x的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于

3、某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作；2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率，即斜率為過點P的切線方程為：.3. 導(dǎo)函數(shù)、可導(dǎo)：如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，即對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。此時稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù). 5. 依定義求導(dǎo)數(shù)的方法：（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) 6

4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(C為常數(shù))；()；。7導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：； ； 8 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)ux=(x)，函數(shù)y=f(u)在點x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)yu=f(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f( (x)在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或=f(u) (x).9. 求導(dǎo)數(shù)的方法:(1)求導(dǎo)公式 (2)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式 (4)導(dǎo)數(shù)定義10.導(dǎo)數(shù)的概念及運算的相關(guān)例題例1（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；（2）運動曲線方程為，求t=3時的速度分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率瞬時速度是位移

5、函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)解：（1），即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1（2） 注：切線是導(dǎo)數(shù)的“幾何形象”,是函數(shù)單調(diào)性的“幾何”解釋,要熟練掌握求切線方程的方法.例2 若f（x）在R上可導(dǎo)，（1）求f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； （2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則為奇函數(shù).分析: （1）需求f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)；（2）求，然后判斷其奇偶性.（1）解:設(shè)f（x）=g（x）,則= =f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù).（2）證明: = =為奇函數(shù).注: 用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)

6、數(shù)時，要注意y中自變量的變化量應(yīng)與x一致.例3 已知函數(shù)，數(shù)列的第一項，以后各項按照如下方式取定：曲線y在處的切線與經(jīng)過（0，0）和兩點的直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n時： （I）；（II）證明：（I）曲線在處的切線斜率過和兩點的直線斜率是.（II）函數(shù)當(dāng)時單調(diào)遞增，而，即因此又令則 因此 故例4. 已知一個函數(shù)的圖像過點P（0，2），并且在點M（1，f（1）處的切線方程為（）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：（）由的圖像經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以,.由在處的切線方程是，知.故所求的解析式是 .（）,解得 當(dāng)當(dāng)故在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)例5 證明過拋物線y=a（xx1

7、）·（xx2）（a0，x1<x2）上兩點A（x1，0）、B（x2，0）的切線，與x軸所成的銳角相等.解：，即，即.設(shè)兩條切線與x軸所成的銳角為、，則，故tan=tan.又、是銳角，則=.二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.以導(dǎo)數(shù)概念為載體處理函數(shù)圖像問題函數(shù)圖像直觀地反映了兩個變量之間的變化規(guī)律，由于受作圖的局限性，這種規(guī)律的揭示有時往往不盡人意. 導(dǎo)數(shù)概念的建立拓展了應(yīng)用圖像解題的空間。 例1 設(shè)函數(shù)的圖像為C1，函數(shù)的圖像為C2，已知在C1與C2的一個交點的切線互相垂直.（1） 求，之間的關(guān)系；（2） 若0，0，求的最大值.分析 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩切線的位置關(guān)系即可求出，的關(guān)系，求的最

8、大值可借助不等式求解.解析 （1）對于C1：，有，對于C2：有，設(shè)C1與C2的一個交點為（），由題意知過交點（）的兩條切線互相垂直，即 又點（）在C1與C2上，故有 由消去可得，（2）由于0，0且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即的最大值為.本題以函數(shù)圖像為背景考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和語言轉(zhuǎn)化能力，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決這類問題的關(guān)鍵，即某一點的導(dǎo)數(shù)值，即為該點的切線斜率.2以導(dǎo)數(shù)知識為工具研究函數(shù)單調(diào)性對函數(shù)單調(diào)性的研究，導(dǎo)數(shù)作為強有力的工具提供了簡單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點所劃分的各

9、區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性例2 討論下列函數(shù)的單調(diào)性：1（且）；2（且）；解： 1函數(shù)定義域為R當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)2函數(shù)的定義域是或若，則當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)3證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為再通過求的最值，實現(xiàn)對不等式證明，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問題開辟了新的路子，使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?，彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性

10、、普適性。 例3 求證證明：我們給出以下幾種證明方法，顯然，所要證明的不等式等價于（）方法1由，得于是，要證不等式（），只要證，也即證，這等價于因而原式得證方法2要證不等式（），只要證明下面的不等式就可以了（）這等價于, 也就是即 因而原不等式得證方法3由二元基本不等式，得如果對柯西不等式比較熟悉，那么證明不等式（）是顯而易見的對于以上方法關(guān)鍵要能對所給不等式作熟練等價變形對于此題也可運用構(gòu)造函數(shù)法，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而可以證明最大值小于.方法4 設(shè)函數(shù)對求導(dǎo)：令，得；令，得上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為。因而不等式得證。 顯然此法比前幾種方法簡潔明了多了

11、。4求曲線在點（）處的切線的斜率，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問題。例4 已知函數(shù).(I) 求曲線在點處的切線方程；(II) 設(shè).如果過點可作曲線的三條切線，證明：.解析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,所以曲線在點處的切線方程為：,即.(II)如果有一條切線過點,則存在，使.因而根據(jù)題意，若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根.設(shè),則.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+- 極大值極小值由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時，方程最多有一個實根；當(dāng)時，解方程得,即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當(dāng)時，解方程 得,即方

12、程只有兩個相異的實數(shù)根。綜上，如果過點可作曲線的三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則，即。此題巧妙地運用導(dǎo)數(shù)知識求得了函數(shù)的極值，利用極值的取值范圍討論了三次方程的根的情況，以達(dá)到了證明不等式的目的。5由導(dǎo)數(shù)來求最值問題的方法可知，解這類實際問題需先建立函數(shù)關(guān)系，再求極值點，確定最值點及最值在設(shè)變量時可采用直接法也可采用間接法求函數(shù)極值時，導(dǎo)數(shù)值為0的點是該點為極值點的必要條件，但不是充分條件。運用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：（1）求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)；（2）在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；解不等式 得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。 例5 （1）如圖所示，在二

13、次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖像與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值。解析：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,0)且0<x<2, 圖像的對稱軸為x=2, 點C的坐標(biāo)為(4-x,0), 矩形面積為 令，解得， , 取 極值點只有一個，當(dāng)時，矩形面積的最大值（2） 把長度為16cm的線段分成兩段，各圍成一個正方形，它們的面積之和的最小值為多少？分析：建立面積和與一正方形的周長的函數(shù)關(guān)系，再求最小值解答：設(shè)一段長為cm，則另一段長cm面積和 S，令S0有8列表：(0，8)8(8，16)S0當(dāng)8時，S有最小值8cm2這是解實際應(yīng)用題的一般方法先構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再求滿足條件的解，極值或最值小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具，用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題，不等