高等代數(shù)試題五

1、向量空間一判斷題 平面上全體向量對于通常的向量加法和數(shù)量乘法：kaua.kWR,作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.（）.（2）平面上全體向量對于通常的向量加法和數(shù)量乘法：k =0, k W R,作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.（）. 一個(gè)過原點(diǎn)的平面上所有向量的集合是V3的子空間.（）.（4）所有n階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間Mn（R）的子空間.（）.n（ Xi,X2，Xn） |£ Xi =1,Xi W R為 Rn 的子空間.（ ）.i <（6）所有n階實(shí)反對稱矩陣的集合為全矩陣空間M n （R）的子空間.（）.（ Xi,0，0, Xn） |Xi, Xn W R為 Rn 的子空間.（）.（

2、8）若口1 ,口2, 4, 口4是數(shù)域F上的4維向量空間V的一組基，那么口1 ,Of2,a2 +口3,口3 +口4 1234122334是V的一組基.（）.n維向量空間V的任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V的一個(gè)基.（）.（10）設(shè)a1,a2， 是向量空間V中n個(gè)向量，且V中每一個(gè)向量都可由 巴,口2，5線性表示，則a1,%，是V的一組基.（）.（11） 設(shè)以， &是向量空間V的一個(gè)基，如果Pi, A,，Pn與巴,。2,9n等價(jià)，則Pi,網(wǎng),，Pn也是V的一個(gè)基.（）.（12） X3 關(guān)于基 X3,X3 +x, X2 +1,x+1 的坐標(biāo)為（1,1,0, 0）.（ ）.（13）設(shè)V1,V

3、2,'" ,Vs為n維空間V 的子 空間，且V =V+V2 +Vs .若 dim V1 +dim V2 + +dim Vs = n ,則Vi +V2 + +Vs 為直和.（）.（14）設(shè)V1,V2,，Vs為n維空間V 的子空間，且V =V1 +V2 +Vs .若V1 1v2=0,(V1+V2) Qv3=0,，(V1+V2+VsJ)QVs =0,則V1+V2 + +Vs為直和.().（15） 設(shè) V1 ,V2，Vs為 n 維空間 V 的子空間，且 V =V1 +V2+ +Vs . 若Vi n（£ Vj） =0, 則V1 +V2 + +Vs為直和.（）.jT二（16）設(shè)

4、Vi,V2,，Vs為 n維空間V 的子空間，且V =Vi +V2 +Vs . 若Vi n（Vj） =0, i / j ,則V1 +V2 中. +Vs 為直和.（）.（17）設(shè)V1 ,V2，Vs為n維空間V的子空間，且V=V1+V2+ +Vs.零向量表法是唯一的，則V1 +V2 +Vs為直和.（）.（18）設(shè)必，%，”是向量空間V的一個(gè)基，f是V到W的一個(gè)同構(gòu)映射，則W的一個(gè)基是 f （11）, f （:口,，f （： n）.（）.（19）設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，若向量空間V與W同構(gòu)，那么W也是數(shù)域F上 的n維向量空間.（）.（20）把同構(gòu)的子空間算作一類，n維向量空間的子空間能分成n類.

5、（）.答案 （1）錯(cuò)誤（2）錯(cuò)誤（3）正確（4）錯(cuò)誤 （5 ）昔誤（6 ）£確正確（8）正確（9）正確（10）錯(cuò)誤（11）正確（12）錯(cuò)誤（13）正確（14）正確（15）正確（16）錯(cuò)誤（17）正確（18）正確 （1 9亞確 （2 0船誤填空題全體實(shí)對稱矩陣,對矩B的 作成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.a © b =ab,k 0a = ak,構(gòu)成R上的向量空間a © b = ab , k。a=:構(gòu)成R上的向量空間R ,對加法和純量乘法則此空間的零向量為全體正實(shí)數(shù)的集合Rt對加法和純量乘法R R用勺負(fù)向量為全體實(shí)二元數(shù)組對于如下定義的運(yùn)算(a , b ) (c ,d =)a

6、 c ,b dk( k -1)2 k (a ,b )= ka kb , a2a c),),構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.則此空間的零向量為 .全體實(shí)二元數(shù)組對于如下定義的運(yùn)算：(a , b ) * (c ,d =)a c , ,b，d a c),k( k - 1 ) 2 k (a ,b )= ka kb a ),2構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的向量空間.則(a,b)的負(fù)向量為 .(6)數(shù)域F上一切次數(shù) n的多項(xiàng)式添加零多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間Fnx維數(shù)等于 任一個(gè)有限維的向量空間的基 的，但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是 .(8)復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的向量空間，維數(shù)等于 ,它的一個(gè)基為 .復(fù)數(shù)域C看成它本身上的向量空間，

7、維數(shù)等于 ,它的一個(gè)基為 .(10)實(shí)數(shù)域R上的全體n階上三角形矩陣，對矩陣的加法和純量乘法作成向量空間，它的維數(shù)等于.(11) 向量 口 =(0, 0, 0,1)關(guān)于基 % =(1,1, 0,1),久2 = (2,1, 3,1), «3 = (1,1, 0, 0)a4 =(0,1, 1,1)的坐標(biāo)為 .(12) x2 +2x +3 關(guān)于 F3x的一個(gè)基 x3,x3 +x, x2 +1,x +1 的坐標(biāo)為 .(13)三維向量空間的基 1 =(1,1,0),儀2 =(1,0,1),則向量P=(2,0,0)在此基下的坐標(biāo)為 .(14) V和W 是數(shù)域F上的兩個(gè)向量空間，V到W 的映射f滿

8、足條件, 就叫做個(gè)同構(gòu)映射 .(15)數(shù)域F上任一 n維向量空間V都與向量空間 同構(gòu).(16) 設(shè) V 的子空間 W1,W2,W3,有 W1W2 =W1 riW3 =W2W3 =0,則 W1+W2+W3直和.答案1 2加法和數(shù)重乘法(21(3) (4) (0,0) (5) (-a, a b) (6) n +1 不唯一，相an(n - 1 )等 (8)2 ; 1i,( 9 1 ; 1 ( 1 0 ) (11) (1,0, -1,0)(1210,0,1,2(13X1,1,1 )2(1 4 ) f 是 V 到 W 的雙射；對任意 c(,PwV,f(o(+P) = f(o() + f(P)；對任意na

9、 u F,豆 u V,f( oa )= a(f (1 5 F ( 1 6 不一7E是三簡答題(1)設(shè)V =Mn(R).問下列集合是否為V的子空間，為什么？1)所有行列式等于零的實(shí)n階矩陣的集合 W1；2)所有可逆的實(shí)n階矩陣的集合 W2 ;(2)設(shè)L(R)是實(shí)數(shù)域R上所有實(shí)函數(shù)的集合，對任意f , g W L ( R),九W R,定義(f g)(x)= f (x) g (x), ( f )(x) =?. f (x), x R對于上述運(yùn)算L(R)構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上向量空間.下列子集是否是L(R)的子空間？為什么？1)所有連續(xù)函數(shù)的集合W1 ；2)所有奇函數(shù)的集合W2；3) W3 = f | f L(

10、R), f(0) = f (1);(3)下列集合是否為Rn的子空間？為什么？其中R為實(shí)數(shù)域.1) W1 = - =(22，,xn) |x1X2 xn =0, Xj R；2) W2 = -' = ( x1 , x2 , xn ) | x1 x2X n = 0, xi , R；3) W3 =0(=際Q2，Xn) |每個(gè)分量Xi是整數(shù);設(shè)A,X,b分別為數(shù)域F上m Mn, n父1, m父1矩陣，問AX = b的所有解向量是F上的向量空間嗎？說明理由.下列子空間的維數(shù)是幾？31) L(2, -3,1), (1,4, 2), (5, -2, 4)三 R ；222) L(x - 1,1 - x ,

11、 x - x)三 F x(6)實(shí)數(shù)域R上mn矩陣所成的向量空間 M m茹(R)的維數(shù)等于多少？寫出它的一個(gè)基.(7)實(shí)數(shù)域R上，全體n階對稱矩陣構(gòu)成的向量空間的維數(shù)是多少？(8) 若必，二2,，%是數(shù)域F 上n維向量空間V 的一個(gè)基，5+ a2 0(步,93 n,ot+1na 他是V畫勺一個(gè)基嗎？,4, n,n , n x -1,x +2, (x -1)( x +2)是向量空間Fzx的一個(gè)基嗎?(10) 取 R4 的兩個(gè)向量 6=(1,0,1,0), 口2 =(1,1,2,0).求 R4 的一個(gè)含 a1,u2 的基.(11) 在 R3 中求基 5 =(1,0,1), «2 =(1,1

12、, -1), 0(3 =(1,_1,1)到基?1 =(3, 0,1),陽=(2, 0, 0),隹=(0, 2, -2)的過渡矩陣.(12) 在中 F4 求向量 £=(1,2,1,1)關(guān)于基 =(1,1,1,1), 口2 =(1,1, -1, -1),0(3 =(1,-1,1,-1) 0t4 =(1,，_1,1)的坐標(biāo).(13)設(shè)四表示幾何空間V3中過原點(diǎn)之某平面rL的全體向量所構(gòu)成的子空間 ，W2為過原 點(diǎn)之某平面口2上的全體向量所構(gòu)成的子空間，則叫亞2與叫+W2是什么？ W1 +W2能不 能是直和？(14) 設(shè) W1 =L(5 ,%,%), W2 =L(P1 , P2),求 W1

13、1亞2和叫 +W2 .其中：1 =(1,2, -1, 一2), ： 2 =(3,1,1,1), ： 3 =(-1,0,1,1) ； -1 =(2, 5,-6,5), % = (1,2, -7,3).(15)證明數(shù)域F上兩個(gè)有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們維數(shù)相等'ab、(16)設(shè)V =|a,b,c W R, W =( d,e) | d ,e W R,都是實(shí)數(shù)域R的向量空間.問V與爐”W是否同構(gòu)？說明理由.(17)設(shè)5,%,，%為向量空間的一個(gè)基，令口 =% +口2 +%,i =1,2-”,門且Wi = L(Pi).證明V =W1 ©W2Wn .答案(1)1) W1不是V

14、的子空間.若A,B W W1 ,| A + B |若未必等于零，W1對加法不封閉2) W2不是V的子空間.因?yàn)锳乏W3,| A |#0 ,則| A|#0 ,但| A+(A) |=0，對加法不封 閉.1) W1是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的和及數(shù)乘連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)2) W2是L(R)的子空間.因?yàn)閮蓚€(gè)奇函數(shù)的和及數(shù)乘奇函數(shù)仍為奇函數(shù)3) W3是L(R)的子空間.因?yàn)閃3非空，且對任意f,gWW3,九WR,有(f - g )(0) = f (0) - g(0) = f(1) g(1) =(f , g)(1)； f (0) =.t.( f (0) f (1) =( f )(1),故 f

15、- g, f 三 W3.(3)1)是.因W1是齊次方程組x1 +x2+xn =0的全體解向量.2) W2不是Rn的子空間.因W2對加法不封閉.3) W3不是子空間.因?qū)?shù)乘運(yùn)算不封閉.(4)當(dāng)b00時(shí)，AX =b的所有解向量不能構(gòu)成F上的向量空間.因n維零向量不是AX =b的解向量.當(dāng)b=0時(shí),AX =0的所有解向量能構(gòu)成F上的向量空間.(5)1) 維數(shù)是 2.因(2, -3,1), (1, 4, 2)線性無關(guān)，而(5, -2, 4) =2(2, -3,1) +(1,4,2).2)維數(shù)是2.因易證x -1,1 -x2線性無關(guān)，但(x 1)十(1 x2)十(x2 x) = 0 .(6) 解 令E

16、j表示i行j列位置元素是1其余是零的mn矩陣.那么易證Ej這mn個(gè)矩陣是線性無關(guān)的.它們作成Mm而(R)的一個(gè)基，故Mm而(R)的維數(shù)是m黑n.(7) E.,Eij十Ej ,i, j =1,2, 3，n,i ¥ j,為全體n階對稱矩陣構(gòu)成的向量空間的一個(gè)基其中共有n +1 +2 +(n -1)個(gè)向量，故此向量空間的維數(shù) n(n +1) .2(8)解由(二 1 ' ?2," /n,1 '/，1)= ( 1 ,"2 ,/ .)得 | A |=1 ' ( -1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，| A |= 0 ,故% +口2,1M2 +a3,«n +&#

17、171;1線性相關(guān),它不構(gòu)成基.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|A|#0,故«1 +口2,口2 +a3,an +口1線性無關(guān)，它構(gòu)成一個(gè)基 解在基1,x,x2之下有12-22(x1,x+ 2，冷 1X)(=2) x(X, ,)1 . 11I0 0 1;因上式右方的3階矩陣為可逆所以x -1,x +2, (x -1)( x +2)線性無關(guān),它是F2x的一個(gè)基.1100-1012100000-1 :0 ,01(10) 解取向量曷=(0, 0,1, 0),即=(0, 0,0,1)，由于因此外,0(2,男,%線性無關(guān)，所以向量組是R4的一個(gè)基.(11)解由(二 1 ,- 2 , 3 >；( 1； ,

18、2 ,A ) ： , <1：,2=,3 ； ) ；1(；B ,)推出(：1-23 ：( p , 2 , A )b因此所求過渡矩陣為01B =： 212I1I1-1(12)解取F 4的標(biāo)準(zhǔn)基備，82,53,84 .由a,4，%, %到四,0( 2,3,0( 4的過渡矩陣為411111- 1 - 1A =1-11 - 14-1 - 11于是上=(1,2,1,1)關(guān)于基%,4,三,%的坐標(biāo)為21414141< 4 J(13)解由于W1 ,亞2皆過原點(diǎn),它們必相交,因此或重合,或不重合.若W1與亞2重合，則W1Cw2=W1,W1+W2=W1.若W1與W2不重合,則W1r1W2為一條過原點(diǎn)的

19、直線,而W1 +W2 =V ,彳IW1 +W2不能是直和.(14)解設(shè)了 = kq +k2a2 +k3a3 =t1 口十t2 B2 W W1 Q W2為交空間的任意向量.由k1 ：- 1 - k 22 k 1 3 3t : 1-t1 :2 0,2得齊次線性方程組'k1 +3k2 -k3 -2t1 +t2 =02k1 +k2 5t1 2t2 =0-k1 k2 k36 tl 7t2 =0-2k1 k2k3 -5t1 -3t2 =0由行初等變換知方程組的系數(shù)矩陣的秩為4 ,解空間的維數(shù)為1 ,且求得方程組的一般解為4896k1 = -t2,k2 = -t2, k3 = -t2,k4 = -t

20、2 因此維(W1 W2) =1,維(W1 +W2) = 4 . 7777取t2 =7 ,令亡=-6冉+7 P2便有W1 1亞2 = L(b ,另外顯然W1 +W2 = 1(%9293,口).(15)證明 設(shè)數(shù)域F上兩個(gè)有限維向量空間V與W的維數(shù)均為n ,因V與F n ,W三F n所以V三W .反之，若V三W ,設(shè)dim V =n >0,且f是V到W的同構(gòu)映射.取V的一個(gè)基以，” ,% ,易證 f (%), f (%),，f (Ctn)是W 的一個(gè)基,故dim W =n .(16) V與W不同構(gòu).因dim V =3, dim W =2 , V與W的維數(shù)不相等.(17)證明 任取V WV ,

21、若a =a1% +a2a2 +anJ ,那么二=(a1 -a2 -an) ：1 ,。-a3 -an ) ：2 . ( an 工 - an) ： n J 丁 n ： n因此V =W1 +W2 +Wn ,并且V中向量依諸 Wi表示唯一，故V二Wi 二 W2 ；：Wn四計(jì)算題 設(shè)由 S =(1, 2, 2,_2)皇2=(1, 3, 乂03=(2,，2,5)成 R4的子空間W.試從向量組 艮 =(3, 1, 0, 3)&=(2- 1,0,3%=(3, 4 2,俺),=(1,7,4,中間亞的生成元.A ,在A的行施行初等變換 解 以0tl ,。2 ,口3及H, P2，久，丸為列做成矩陣-12：

22、32313-11- 1 - 47T0200 - 24,10010000-15： 331 6-,150 11 / 20 0- 1/2111 / 20 0-4由于行初等變換不改變列向量間的線性關(guān)系由矩陣B知01 =% +%, &=+%,久=2% +%從而 L(P1,p3,P4)W .但由 B 還知民總艮 線性無關(guān)，故P1,用，A為W的一組生成元a4 =(1,5,與,1)生成的子空間的一個(gè)基和維數(shù).解對下述矩陣施行行的初等變換4110 -6 3-95151515TT3-3-30 一1 261 8-111< 042 6S000'13 0 20000仁213,個(gè)極大無關(guān)組，因此此變

23、換保持列向量間的線性關(guān)系，由右方矩陣知鬼。3是1 , 3L(0(1 ,o(2 ,o(3 ,a4的維數(shù)實(shí)是2，而外 ,久3是它的一個(gè)基(3)在R4中求出向量組ot1,o(2,o(3,o(4,ot5的一個(gè)極大無關(guān)組，然后用它表出剩余的向量這里：-1 =(2,1, 3,1), ： 2 =(1,2, 0,1),1 3 二(_1,1, 一3, 0), : 4 =(1,1,1,1), : 5 =(0,12, -12, 5) .解對下述矩陣施行行的初等變換121-110)r 112111 2T-130-31 -123I110151 10-10103,000-1-3-101-12T 000 - 2 -6(11

24、0150101101,5001、3000，由右方矩陣知口2,口3,口4是一個(gè)極大無關(guān)組，并且有-2 - - 3:飛二2：2 5：3 3 :,5(4)求M3(F)中與矩陣A可交換的矩陣構(gòu)成的子空間的維數(shù)及一個(gè)基，其中解設(shè)這個(gè)子空間為W,由于A =I + B ,這里000 'B =000<31b因此與A可交換的3階方陣，就是與B可交換的3階方陣，從而W=XM3 ( F) | B X=X.B任取 C 虻 W , C = (cij).由 BC = C B ,可得 c13 =c23 = 0, 3Gl +c21 +c31 = 3c33,3c12 +C22 +C32 =C33,于是C W當(dāng)且僅

25、當(dāng)C的元素為齊次線性方程組C2 1 = -3c 1 - cc2 2 二 一3c 1 2- C3 13 c3 2c的解.于是我們得到如下矩陣100 ',010 ',000 '-300,0-30-1001000，<000，000-1它們構(gòu)成W的一個(gè)基,故W的維數(shù)是5 .求實(shí)數(shù)域上關(guān)于矩陣 A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成的向量空間V的一個(gè)基與維數(shù).其中0、0 ,020 _1、,3i一 2解因。3 =1 ,所以111、223A = CO , A =1= I<1J 1 b易證I , A, A2線性無關(guān).于是任何多項(xiàng)式f ( A)( f (x) W Rx)2 .I , A,

26、A 為的一個(gè)基，dim V =3.皆可由I ,A, A2線性表示，故Ct4 =(0, 0,2,1)的坐標(biāo)；(y1, Y2,Y3, y4)是巴關(guān)于基 p1,?2,?3, P4 的坐標(biāo),其中 y1 = X1 ,y 2 X2 X1 , y3 = X3 X2,y4 =X4 - X2 .求基 P1，0 2, 03, 0 4 .1 "XoC K c(6)解因已=31,%,%,3)=(口邛2,艮,X3lX4 J（二1，二 2,）3,M）X1Xo2 =(P1,P2,P3,P4)PX3f X1X2X3于是(二 1 ,二2 ,二3 ,二 4,('-1 /-2 ,-3 P4 即 設(shè) 必，口2，為

27、是n維向量空間 V的一個(gè)基， g,Ot1十口2，31 +a2 +十口n也是V的一個(gè)基，又若向量 巴關(guān)于前一個(gè)基的坐標(biāo)為（n,n 1,，2,1）,求巴關(guān)于后一個(gè)基的 坐標(biāo).解基。1, 小2，到后一個(gè)基的過渡矩陣為11110111P =0011也 00那么nn -1a21100<0-11000-1000 Z nC n -故自關(guān)于后一個(gè)基的坐標(biāo)為（1,1，1）.(8) 已知 R3 的一個(gè)基為 0tl =(1,1, 0), «2 = (0,0, 2), CC3 = (0, 3, 2).求向量(5 = (5, 8, -2) 關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo).(8)解 設(shè)七=Xl2 +X2«2

28、+X3%，的方程組xi =5Xi ' 3 X3 =82x2 2x3 = -2解得 Xi =5, X2 = 2, X3 =1 .故之關(guān)于基 «1,«2 ,«3 的坐標(biāo)(5, 2,1)求R4的一個(gè)非零向量t,使它關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)與關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)相同 解 由標(biāo)準(zhǔn)基勤，功，% , %到基%,。2 ,口3,。4的過渡矩陣為/205613 36P =-1121I1 0 1 3設(shè)U關(guān)于兩個(gè)基的坐標(biāo)為(X1 ,X2, X3 ,X4),則即得齊次線性方程組X +5x3 + 6X 4= 0產(chǎn) +2X3 + 3x 3+ 6 丁 0-x1 + X 2 + x 3+x r 0x1

29、 +x 3 +2x 4= 0解得 X1 = X2 = X3 = -X4,令 X4 = k # 0, k 乏 R ,則上=(k, k, k, k)即為所求.求:=(X1, X2 , X3, X4)關(guān)于基 5, «2,«3 ,«4 的坐標(biāo).，21P =-1 r1(10)解由標(biāo)準(zhǔn)基到所給基的過渡矩陣為056336121013那么二(；1， ；2x1X2二(1,： 2,： 3, ： 4)PX2X3 IX3IX4故之關(guān)于基 巴，0(2,0(3,0(4的坐標(biāo)為(y1, y2, y3, y4)這里f 、X1X2X3I"4/91/271 / 3-7/271/3 -1 -

30、4 / 9-1 /-300-1 / 91 / 3/ 9<1/必X3五證明題(1)設(shè)W1,W2為向量空間V ( F )的兩個(gè)子空間1)證明：W1 1w2是V的子空間.2) Wi UW2是否構(gòu)成V的子空間,說明理由.證明1)顯然0 WW1 Qw2 ,即叫Qw2字,任取5 ,a2 W W1 W2,k F ,易知必 +% WW1 1W2,k2 WW1 1W2 , 故Wi QW2是V 的子空間.2)不一定.當(dāng)W11W2或W21W1時(shí)，W1Uw2是V的子空間.但當(dāng)W1與W2互不包含時(shí)，W1 Uw2不是V的子空間.因?yàn)榭偞嬖贑C1 w W 1汽草W及k W W2,0f 2eW1使 豆1 ,口2 W W

31、1 UW2 ,而以 +«2強(qiáng)W1 UW2 ,因?yàn)檫@時(shí)«1 +«2更W1 ,«1 +«2更W ,否則與選取矛盾. 設(shè)W1,W2為向量空間V的兩個(gè)子空間.證明：W1+W2是V的即含W1又含W2的最小 子空間.（2） 證明 易知W1 + W24a 1t112 a 濁，q 中V為V 的子空間，且WiWi W2,W2 二 Wi W2.設(shè)W為V的包含W1與W2的任一子空間，對任意。W W/5W 2,有£ + £ W W ,即W1 +W2 JW ,故W1 +W2是V的即含W1又含W2的最小子空間 設(shè)W1,W2為向量空間V(F)的兩個(gè)子空間

32、.豆，日是V的兩個(gè)向量，其中a W2 , ea更W1 ,又B更W2 .證明：1）對任意 k w F , P +ka 乏 W2 ；2）至多有一個(gè)k w F ,使得P +ka WW1 .（3） 證明1）任意 k w F ,若 P + ko（ w W2,則 P = （ P + ko（）kct w W2 矛盾，故1）成立.2）當(dāng)P亡W1時(shí)，僅當(dāng)k =0時(shí)，有P + kot w W1 ;當(dāng)P芝W1時(shí)，若存在k1 ,k2 w F , k1 ¥ k2使得3=P +k1ot WW1, a2 = P +k 2a WW,則以 一ct2 = （k1 k2）a w W1 ,因此 ot w W1 ,矛盾，故2

33、)成立.W2 = W1 .(4 )證明 因WiUW2含Wi與W2中所有向量，Wi+W2含一切形如0(1+a2(ot1WW1,ot2EW2)的 向量，因?yàn)?W1+W2=WjW,所以 必十0( 2三W1或-1' -2 ' W. 若 ct1 +a2 亡 W1 ,令 ct1 +a2 = P ,則ct2 = P -ot1,故亞2 1 W1 ；若叫 +a2 w W2 ,令%+”2 = 7,則以= '02,故Wi三W2 . 證明：n維向量空間V中，任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為V的一個(gè)基.(5)證明 設(shè)5 ,ot2，*是V中線性 無關(guān)的向量，取V的單位 向量當(dāng)，82;,，工，則V =

34、l(罵，鳥,，aj ,且風(fēng), ct2,，中每一個(gè)可由 黑，e2，罵線性表示.由替換定理知以，,，%與備,4,，當(dāng)?shù)葍r(jià)，所以V中每一個(gè)向量可由 風(fēng)，,，明線性表示，又S ,%，明線性無關(guān),故必,。2，0n可作為V的一個(gè)基.（6）設(shè)V為n維向量空間,V中有m組線性無關(guān)的向量,每組含t個(gè)向量，證明：V中存在 n -t個(gè)向量與其中任一組組成V的一個(gè)基.（6）證明 設(shè)V中m組線性無關(guān)的向量分別為cti1 ,cti2，Qit （i =1,2，m）, t E n .令VI =L（5i,o（i2,，%）, 則 dimVi=t<n . 因存在 匕正 Vi, （i=1; 2 ,m ,使）岡1，岡2,，4,與

35、線性無關(guān)，若t+Kn，令V=1（必1&2,，4,£）,則V：也為V的非平 凡子空間，同理存在 匕=V _V：,i =1,2，m ,而且叫口仁, qtS ,J線性無關(guān)，如此 繼續(xù)下去,可找到系學(xué)&上使得51,52,，,。、2,、n上線性無關(guān),故對每個(gè)i , 它們都是V的一個(gè)基. 設(shè)n維向量空間 V的向量組 為 ,口2,，叫 的秩為r，使得k10tl + k20t2+ knun全體n維向量（k1,k2,，kn）的集合為W .證明W是Fn的n_r維子空間. 證明 顯然dim Lia,%，） =r ,今設(shè)每個(gè)叫在L （%«2，5 ）的某個(gè)基下的坐標(biāo)為0ii、ai25

36、 =. , i =1,2，n那么由k/Zi +k2«2 +kn"n =?？傻胟l ：l - k2： 2- kn： n =。.它決定了一個(gè)含n個(gè)未知量ki，k2,，kn，r個(gè)方程的齊次線性方程組，其系數(shù)矩陣（%, %,，4）的秩為r ,故解空間即W的維數(shù)為n -r .(8) 設(shè)21, a2，an是數(shù)域F中n個(gè)不同的數(shù),且f (x) = (x a1 )(x _a2丫(x _an).證明多項(xiàng)式組fi(x) = f(x)(i =1, 2，n)是向量空間Fnx的一個(gè)基.(x - a i)(8)證明 因dim Fn/x =n ,所以只需證Jf2,fn線性無關(guān).設(shè)有ki, k2,，kn亡

37、F使kif . k 2f 2 . kn fn =0(*)由 f j(aj =0, i = j, fi(aj =0 ,因此將 aj 帶入(*)得 K fi(a。=0 ,從而 K = 0, (i =1,2-'n)故fi上,fn線性無關(guān),為Fnx的一個(gè)基. 設(shè)W是Rn的一個(gè)非零子空間,而對于W的每一個(gè)向量(aa2，an)來說,或者a1 =a2=an =0,或者每一個(gè)ai都不等于零.證明：dim W =1. 證明 由W非零，我們總可以取P =(bi ,b2,，bn) W W ,且P=0,那么每個(gè)bi #0且P線性無關(guān).今對任意ct =(ai,a2,，an) w W ,若a =0當(dāng)然口可由P線性

38、表示；若o( ¥ 0而a "P WW ,由于其第一個(gè)分量為0 ,由題設(shè)知a =亙?nèi)?故B可作為W的一個(gè)基，bibi且 dim W =1.(10)證明：x2 +x,x2 _x, x+1是F2x的一個(gè)基，并求2x2 +7x +3關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)（10） 證明：dim F2 x =3, x2 +x, x2x, x+1由基1, x, x2表示的演化矩陣為001、A = 1-11<11Q但A可逆，故x2十*,*2-*,*+1是52*的一個(gè)基.2x2 +7x +3關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)(3, -1,3),因?yàn)?；3 ；A，7 = 1 ,(11)若W1,W2,W3都是V的子空間,求證：W

39、1(W1 W2) W3) =(W1 W2) (W1 W3).(11) 證明：任意 W WW (W1 Hw2) +W3),則0( W1 ,且 0( (W1 Hw2) +W3,因此Q =5 +«3,«1 WW1 nw2,«3 WW3，但 0( W W1 ,知。3 W W1 Hw3 ,故:工三(W1 W2) (W1W3).反之，任意Pw(W11w2)+(W1。W3)P =B1+B2, B1W W1QW2, P2 W wJw 3 ,則P =W1,且 P w(W1 Iwz) +W3,故 P wW1 1(W1 Iwz) +W3).(12)設(shè)W1,W2，Ws是n維向量空間V的子

40、空間.如果W1 +W2 +Ws為直和.證明：Wi Wj =i0, i = j,i, j =1,2，s.（12）證明：由川1 +W2 +Ws 為直和，有Wi 門（£ Wj ） =0, i = j ,i, j =1,2,，s ,而 iFWi riW j£W。（£ W ）= 0手 j i j,虧1 2 ,故i=jWiWj u0, i = j,i, j =1,2，s.(13)設(shè)W1 ,W2分別是齊次線性方程組x1 +x2+ xn = 0與x1 = x2=xn的解空間.證明：F n = W1 - W2 .（13） 證明 因x1 +x2 +xn =0的解空間的維數(shù)為n -1

41、,且一個(gè)基為g =（1,1,0，0）,"=（一1,0,1,0，0），*'=（-1,0，0,1），又 xi =X2 I.'=人即方程組x1 -x2 =0x x2 x3 =0xnxn =0的系數(shù)矩陣的秩為n -1 ,其解空間的維數(shù)為1 ,且一個(gè)基為P = （1,1 ；, 1但% ,%, ，P線性無關(guān)，它是F n的一個(gè)基，且dim F n = dim W1 +dim W2 ,故nF=W1 W2 .(14)證明 每一個(gè)n維向量空間都可以表成 n個(gè)一維子空間的直和(14)證明：設(shè)5 ,02©n是n維向量空間V的一個(gè)基，那么L (%), L (Ct2)，L(Bn)都是一維子空間.顯然 V = L(L) , L(： 2) 一 丁 L()于是由V中向量在此基下表示唯一，立得結(jié)論.(15)證明n維向量空間V的任意一個(gè)真子空間都是若干個(gè)n_1維子空間的交(15)證明：設(shè)W是V的任一子空間,且設(shè)外，ct2，0fs為W的一個(gè)基,將其擴(kuò)充為V的一個(gè)基產(chǎn)s ,冬十, Pn ,那么令Wi = LQ1 ； 2；二；s L s l", ： ,.s_i?，,n )于是這些Wi,i =1,2，n -s,均為n -1維子空間，且W =W1 Qw2 PlWn,(16