高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法

1、§ 4.3高階微分方程的降階和哥級(jí)數(shù)解法教學(xué)目的本章主要討論高階微分方程的降階以及二階線性方程的幕級(jí)數(shù)解法教學(xué)要求會(huì)把高階微分方程降階以及會(huì)用幕級(jí)數(shù)解法解某些二階線性方程教學(xué)重點(diǎn)一些高階階微分方程的降階類型的解法；幕級(jí)數(shù)解法教學(xué)難點(diǎn)二階線性方程幕級(jí)數(shù)解法教學(xué)方法講練結(jié)合教學(xué)法、提問式與啟發(fā)式相結(jié)合教學(xué)法。教學(xué)手段傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合。一般的高階微分方程沒有普遍的解法，通常是通過變代換把高階方程的求解問題轉(zhuǎn)化為較低階方程來求解，因?yàn)橐话銇碚f求解低階方程比求解高階方程方便些，本節(jié)主要介紹一些可降階的方程類型和求特解的哥級(jí)數(shù)解法.一.可降階的一些方程類型n階微分方程的一般形式

2、F (t x(k) x(k 1) x(n)- 0F (t,x ,x ,x ) 0(4 57)L不包含未知函數(shù) x,或更一般地，不包含未知函數(shù)及其直到k1(k三1 )階導(dǎo)數(shù)的方程是：(n -k ) .F (t, y, 1y ) = 0(4.58)如果能求得(4.58)的通解y = ：(t,C1,C2,冊(cè)”)即x(k) = ：(t,C1,，Cn&)對(duì)上式經(jīng)過k次積分即方程(4.57)的通解x -Hei,，Cn)這里c1。,。為任常數(shù).44例1求方程出 t出二0的解此時(shí)，用y =xZ乍為新的未知函數(shù)而把x作為新的自變量.因?yàn)閐 4x4 y y解:令出，則方程化為dy 1 八一 y =0dt

3、t這是一個(gè)一階方程淇通解為y=ct,即有*ct dt4積分四次得原方程的通解x = c1t5c2t 3 c3t2 c4tc52.不包含自變量t的方程 其一般形式是：1 . .(n)、(4.59)F(x,x , ,x ) =0dx一 二y 出,2dxdy二 ydtdxd x dy dy出2dtdxdy dy色 ?(ydx) J(y最)dx .y(dy)2. y2色出3 出 dx dt dx dx2用數(shù)學(xué)歸納法易得(k)可用y,dy . dn.ydx， ，dxk4(kMn)來表達(dá)，將這些表達(dá)式代入(4.59)可彳導(dǎo):dy dy 22 d 2yFdy'ydx'y.y 菽,即有新方程G

4、(x,y,dy,中)=0dx dx它比原來的方程（4.59）降低了一階例2求方程d2xdxx2八x r -( ) =0dtdt的解解 令x' 二 y，要取X作為新的自變量，于是原方程化為dy 2八xy -y =0 dx從而可得dy 二 _yy = 0 及 dx x這兩方程的全部解是y = Gx再代入原來變量得到dx -=Gx dy所以原方程的通解是Gtx = c2e3）已知各線性方程的非要特解，進(jìn)行降階設(shè)x = X = 0正二階齊線性方程d xdxr p(t) q(t)x u0dt2dt(4.69)的非要解令x=、y則x = x1yx y1x = x1y2xixi y代入(4.69)得

5、xy 2x； p(t)x1y x； p(t)x； q(t)x1y即x；y(2xip(t)xiy =0引入新的未知函數(shù)z 二y方程變?yōu)閐z _.一 一x1 zx1p(t)x1 z = 0dt是一階線性方程解之得c _ p(t)dtz =eX因而1- p(t)dt(4.70)x = x1G c - e dt x2這里c1 c2是任意常數(shù)。取a = 0, C三1得(4.69)的一個(gè)特解1 一 P(t0dtx2三xi=e 出xi因它與之x1比不等于常數(shù)故xi；x2線性無關(guān)因此(4.70)為(4.69)的通解sin tx 二的解可求方程的通解例3已知 t是方程解這是2 P(t)二由(4.70)得到、。出

6、) sin t tsint / x (G c tsint1/(c1 -ctgt) = -(c1 sint -ccost)c1,c為任常數(shù)一般已知齊次線性方程n(n 二)d x d xn- a1(t) kan x =0(4.2)出dt的K個(gè)線性無關(guān)解x1,x2xk其中xi H0" =1,2k令x=xky,則1X 二XkyXkyx'XkyiXkyXky(n)(n) (n J)n(n 1) (n -2)(n)x = Xk ynXky Xky -，Xk y2代入(4.2)，得Xky(n)nXkai(t)Xky(nJ1)Xkn)形小")anXky=0由于Xk為(4.2)的解

7、故Y的系數(shù)恒等于零的方向上方程變?yōu)閦(nl) - b1(t)z(nd)bn.(t)z =02而代為不包含Y的方程：令z = y，則在Xk # 0(4.07)XiZi =()，i =12k -1且 Xk是(4.67)的k1個(gè)線性無關(guān)解，事實(shí)上，XiXk為(4.2)解X及- Xk'x'lzdt因此乙工Zk是4.67)的解，若-1 Z1 .二 2Z2 ,二 k 4Zk 10則X1 X2Xk J二 1(二)二2(上).二k(3)-kXkXkXk即二 1X1二 2X2，kXk =0由X1，X2，xk線性無關(guān)知 G,%,，人全為零.故乙，Z2,，Zk線性無關(guān).因此X(4.61)以做法，令Z

8、 =ZK，fuclt .則又可把方程化為關(guān)于u的n-1階齊線性方程.U(2 +C1(t)U(n，) + +Cm(t)U=0(4.68)一直下去，可降低n-k階二.二階線性方程的哥級(jí)數(shù)解法對(duì)二截變函數(shù)齊線性方程d 2 y,、dy,、 小r p(x) q(x)y =0 dx dxy y(xQ) = yQ,yt(x0)= y'(472)其求解問題歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解，由于是變函數(shù)，因此不能像§ 4.2那樣利用代數(shù)方法先求解.但從微分學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用哥級(jí)數(shù)來表示一個(gè)函數(shù).因此，自然想到，能否用哥級(jí)數(shù)來表示微分方程的解呢？下面討論這一問題.為此先列出下面兩個(gè)定理.

9、(一般性，可設(shè)% = 0)定理10.若方程(4.72)中系數(shù)p(x)和q(x)都能展成x的哥級(jí)數(shù)，且收斂區(qū)間為x<R,則 方程(4.72)有形為y 八 anx(4.73)的特解.也以x <R為級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.定理11.若方程(4.72)中的系數(shù)p(x),q(x)只有這樣的性質(zhì).即xp(x)和x q(x)均能展成x的哥級(jí)數(shù).且收斂區(qū)間為x <R,則方程(4.72)有形為n 一 n北x 八 anx(4.75)的特解，這里a0 00,石是一個(gè)待定的常數(shù)，級(jí)數(shù)(4.75)也以x<R為收斂區(qū)間.例4.求方程y"-2xy'_4y =0的滿足初始條件y二0,y

10、9;=1的解.解：設(shè)級(jí)數(shù)，y =a。+a1x +前1+為方程的解，這里ai(i =1，2，) 是待定常數(shù).由初始條件，2ny =x a?x - axy =1 2a2x，nanxnn 1 因而 y =2a2 3 2a3xn(n-1)anx將它代入方程，合并同類項(xiàng)，則令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到2a2 -03 2a3 -2 -4 =04 3a4 - 4a2 - 4a2 =0n(n -1)an -2(n -2)an_2 4an_2 - 0a2=0,a3 = 1, a4 = 0,，an2T an -2n -1a51=一包2!因而c 11 c 1=0, a7 = , a8 = 0, a9 =一,6 5!4!故

11、方程的解為 52k 13 xxy=x x 2! k!42 x=x(1 x 2!2kxx2): xex k!例5.求解n階貝塞耳(Bessel)方程2 d2y dy / 2 x 7 x (xdx dx-n2 )y = 0這里n為非負(fù)常數(shù)解：將方程改寫成222d y 1 dy x - n -T- -i ,2,2dx x dx x(4.74)2 r z x 22易見，它滿足定理11的條件，且xp(x) =1,x f(x)=x -門，按x展成的哥級(jí)數(shù)收斂區(qū)間 為一二：二x ：二.：則方程有形為Q0x -： ky 二 akxk 0(4.75)的特解.這里a0 * 0 ,而ak是2的待定常數(shù)，將(4.75

12、)代入(4.74)中，得odcoodX2" L k)(F k -1)akX f2 Xx (；: k)akX (X2 n2廠 akX ： k =0k 山k£k 0比較X的同次哥系數(shù)，得'a0(d2-n2)=022a1(d+1) -n =02ak(f k)2-n a =0k=2,3,因?yàn)閍0 ¥0，則為包2-n =0，從而1c =±n，為確定起見，暫令o = n之0,由(4.76)得aa1 = 0_ak _2,ak 二一1k(2n+k) k=2,3,-a2k 1a2k 1 l -(2k 1)(2n 2k 1)a2k 2a2k2k(n 2k)k=1,2

13、, 從而可得a2k =(T)ka2k 4=0a022kk!(n+l)(n+2)(n + k) 仁？因此 在3 = n > 0時(shí)，得到Bessel方程的一個(gè)解yi va0Xn " (-1)kk 1ao2k2 k!(n 1) (n k)2k nX(4.77)若將任常數(shù)a0取為_1a02n (n 1)x 8 1 I這里(p) = le x dx 到p>0時(shí)(p+gp因此(4.77)變?yōu)閛Oyi =k 0(-1)k昌2k nk! (n k 1) 2三 Jn(x)(4.77)當(dāng)己=T時(shí),完全類似可得a2k J - 0a2k(-。a022kk!(-n 1)(-n 2) (-n k)k

14、=1,2,-若取1 ao = zn2(-n 1)則可得(4.74)另一個(gè)特解y2 =、k=0(-1)kk! (-n k 1)92k ,n=Jn(x)(4.78)達(dá)朗貝爾判別法，對(duì)任x彳1(4.77),(4.78)收斂，因此當(dāng)nw非負(fù)整數(shù)時(shí)，Jn(x), JH(X)為(4.74)的解，且線性無關(guān).因而(4.74)的通解為y =C1Jn(x) - C2J -n ( x)這里C1，C2為任常數(shù).當(dāng)n=正整數(shù)時(shí)，而2 = -n時(shí)，不能從(4.76)中確定a2k(k之n),因此不能像上面一樣求得通解.這時(shí)可以利用一，B介紹的除階法，求出與Jn(x)線性無關(guān)的解，因而(4.74)的通解為1411dxzy = Jn(x) G C2.=Jn(x) GC2 .e dxJn(x) 一1一dxxJn(x)c1 ,c2是任常數(shù)x2y xy