黎曼積分與勒貝格積分的比較

1、戶葉沖卻冷血畢業(yè)論文題 目黎曼積分與勒貝格積分的比較院 * 名* * *專業(yè)班級(jí)*號(hào) *指導(dǎo)教師 提交日期原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈 交 的 論文是在指導(dǎo)教師 的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的 成 果.學(xué)位論文中凡是 引用 他 人 已 經(jīng) 發(fā) 表 或 未 經(jīng) 發(fā) 表 的 成 果 、數(shù) 據(jù) 、觀 點(diǎn) 等 均 已 明確注明出處.除文 中已經(jīng)注明 引 用的內(nèi)容外，不包 含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名：年月日論文指導(dǎo)教師簽名：年月日黎曼積分與勒貝格積分的比較摘 要 本文介紹了黎曼積分和勒貝格積分的概念，通過對(duì)兩類積分的基本性質(zhì)，可積條件 ,

2、結(jié)合相關(guān)定理，分析了勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處，并結(jié)合具體實(shí)例，具體說明了黎曼積分和勒貝格積分之間的聯(lián)系與區(qū)別.關(guān)鍵字 黎曼積分；勒貝格積分；比較；可測函數(shù)；可積函數(shù).目錄引言 11 定義 11.1 黎曼積分的定義 11.2 勒貝格積分的定義 22 黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì) 22.1 黎曼積分的基本性質(zhì) 22.2 勒貝格積分的基本性質(zhì) 33 黎曼可積與勒貝格可積的條件 43.1 黎曼可積的條件 43.2 勒貝格可積的條件 54 相關(guān)定理 54.1 與勒貝格積分有關(guān)的定理 54.2 與黎曼積分有關(guān)的定理 65 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系 66 黎曼積分

3、與勒貝格積分的區(qū)別 87 實(shí)例 10總結(jié) 11參考文獻(xiàn) 12致謝 13黎曼積分與勒貝格積分的比較引言勒貝格積分相對(duì)于黎曼積分要遲發(fā)展了半個(gè)世紀(jì).我們知道，黎曼積分在求積、物 體質(zhì)心、矩量等問題中起著重要作用.黎曼可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或者不連續(xù)點(diǎn)不太 多的函數(shù)，就從數(shù)學(xué)分析中的一些重要結(jié)果如積分與極限交換次序，重積分交換次序， 牛頓-萊布尼茨公式等來看，在黎曼積分情形所加條件，沒有勒貝格積分情形那樣方便 而用勒貝格積分處理這一類問題是相當(dāng)靈活的.事實(shí)上，如果不用勒貝格測度概念，數(shù) 學(xué)分析中的一些道理很難講清楚.下面就具體比較一下勒貝格積分和黎曼積分的不同處 理方法.1定義1.1 黎曼積分的定義

4、設(shè)f（X江ia,b 上有定義1）作劃分.在b,b 上添加n -1個(gè)分點(diǎn)得到T : a=x0 < x1 < x2 ,L < xn = b ,將Ia,b分成個(gè)小區(qū)間x,x，i =12n.記小區(qū)間的長度為Axi = x -x.2）取近似.任取點(diǎn)4 w lxi,xi,用底為Axi ,高為f）的矩形面積近似代替小的曲邊梯形的面積.n3）求和.這些小矩形面積之和為Z f 2. i 14）取極限.令九=max（*為），當(dāng)71 0時(shí)，極限n呵" f i '為存在.則稱f （x心la, b】上黎曼可積，且有bnf x dx =呵、f Li ；x1.2 勒貝格積分的定義設(shè)f(x

5、 )是有界可測集E上的可測函數(shù)n1)(簡單函數(shù)的積分)設(shè)E上簡單函數(shù)中(x) = £ ykZe (x),其中ek = E(邛=yk )等為互 kn不相交的可測集，yk等互異，2ek(x法示ek的特征函數(shù).和£ ykm為簡單函數(shù)燈X)在E上的積分，并記為2)(非負(fù)可測函數(shù)的積分)取簡單函數(shù)滿足0W巴x)Ef (x%xw E),另巴x)變動(dòng)，定義f (x成E上積分為Ef x dm二°sup .E x dm如果此量為有限，則稱f (x)在e上可積，否則只說f(x Re e上積分為電(這時(shí)f(x)在E上有積分但不可積).3)(一般可測函數(shù)的積分)對(duì)于一般可測函數(shù)f(x )

6、,當(dāng)* f+(xdm與L f_(x)dm不同時(shí)為由時(shí)，定義f (x)在E上的積分為E f x dm = E f. x dm - E f_ x dm當(dāng)此式右端兩項(xiàng)均為有限項(xiàng)時(shí)，f (x)的積分是有限的，稱f(x)在E上可積.2黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì)2.1黎曼積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1若f在b,b】上黎曼可積，k為常數(shù)，則kf在1a,b】上黎曼可積，且bbkf x dx = k f x dx . a'a性質(zhì)2若f, g都在la,b】上黎曼可積，則f 士g在Ia,b】上也黎曼可積，且b -.bbf (x )±g(x )Jdx= f f (x dx±Ja g(x dx.性

7、質(zhì)3若f, g都在a,b上黎曼可積，則f ,g在a,b上也黎曼可積.性質(zhì)4f在a,b上黎曼可積的充要條件是：任給cwa,b, f在a,c與c,b都黎曼可積，且有等式bcbf x dx= f xdx f xdx.aaC性質(zhì)5設(shè)f為b,b】上的黎曼可積函數(shù).若f(x)至0, xwa,b,則bf x dx _ 0.性質(zhì)6若f在b,b上黎曼可積，則|f (x)在Ia,b上也黎曼可積，且bbL f 6您 w jjf(x 鉉.2.2勒貝格積分的基本性質(zhì)n性質(zhì)1設(shè)f(x )是有界可測集E上的可積函數(shù)，E=UEk, Ek等均可測且兩兩不 相交，則有f x dm = f x dm i f x dm，i f x

8、dm .EElE2En性質(zhì)2設(shè)f (x)在有界可測集E上可積，則對(duì)任意正數(shù)名，有正數(shù)& ,使當(dāng)me< 6 (e= E )時(shí)就有f f (x )dm < .n性質(zhì)3 設(shè)f (x )是有界可測集E上的可積函數(shù)，E =U Ek , Ek等均可測且兩兩不相 k=1交，則fdm = fdm . i fdm 一 一 i fdm .EEiE2En性質(zhì)4 設(shè)f(x)在E上可積，則對(duì)任何實(shí)數(shù)c, cf(x)也可積，且,Ecf (x dm =c * f (x dm .性質(zhì)5 設(shè)在f , g E上均可積，則f +g也可積，且JE(f +g dm = JE fdm + JEgdm.性質(zhì)6 設(shè)在f

9、, g E上均可積，且f (x)Eg(x),則e fdm 三 Egdm .3黎曼可積與勒貝格可積的條件3.1黎曼可積的條件充分條件：1、若f (X)為定義在ia,b上的連續(xù)函數(shù)，則f (X)在b,b上黎曼可積.2、若f (x )為定義在a,b上的只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則f(x)在a,b上黎曼可積.3、若f (x)為定義在a,b上的單調(diào)函數(shù)，則f (x)在a,b上黎曼可積.4、若f (x )為定義在la, b上的有界函數(shù)，是f (x)的間斷點(diǎn)，且limcn = c= Ia,b,則 f (x耗a,b】上黎曼可積.充要條件：設(shè)f (x渲-bl上有界1、f (x而la,b上黎曼可積的充要條件是：

10、f (x)在Ia,b上的黎曼上積分等于黎曼 下積分.即設(shè)丁 =樂|i =1,2，n為對(duì)Ia,b的任意分割.由f (x)在Ia,b上有界，它在每個(gè)x上存在上、下確界:Mi =supf (x ), mi =圾 f (x ) i =1,2,，n.作和nnS(T ) = £ M iAxi , s(T )=T mQx , i 1i 1則有bbS T dx = s T dx. a- a>0,總存在相應(yīng)的一個(gè)分割T ,2、f (x )在Ia,b上黎曼可積的充要條件是：任給使得ST -s T.3、f (x)在a,b上黎曼可積的充要條件是：任給 w >0 ,總存在相應(yīng)的某一分割T , 使得

11、 -仇：二；T(其中%=Mi mi ,稱為f在Axi上的振幅).必要條件：若函數(shù)f (x * b,b上黎曼可積，則f (x)在a,b上必定有界.3.2勒貝格可積的條件充分條件：1、若f (x )是有界可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)，則f (x )在E上勒貝格可積.2、若可測函數(shù)f(x ), g(x )在可測集E上幾乎處處滿足0Mg(x)Mf(x),則當(dāng)f可 積時(shí)，g也可積.3、設(shè)f (x )為定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，若黎曼可積，則必然勒貝格可積.充要條件：1、設(shè)f(x促可測集E上的有界函數(shù)，則f(x)在E上勒貝格可積的充要條件是：f (x4E上勒貝格可測.2、設(shè)f(x )是可測集E上的連續(xù)函數(shù)，則f

12、(x)在E上勒貝格可積的充要條件是：f (x械E上勒貝格可測.4相關(guān)定理4.1 與勒貝格積分有關(guān)的定理1、(唯一性定理)設(shè)f (x)在可測集E上勒貝格可積，則jjfdm = 0的充要條件是f ： 0 .2、(勒維定理)設(shè)可測集E上可測函數(shù)列fn(x »滿足下面的條件：0 < fl (x)< f2(x)W ；nim fn (x 戶 f (x ),則fn(X )的積分序列收斂于f(X )的積分:e f x dm =lnim fn x dm.3、(法杜定理)設(shè)fn(X)是可測集E上的非負(fù)可測函數(shù)列，則Ennmfn X 旌螞小x dm.4、(控制收斂定理)設(shè)可測集E上可測函數(shù)列f

13、n(x)滿足下面的條件：fn(x)的極限存在，lim fn(x)=f(x),且有可積函數(shù)g(x)使 n 一fn(x J <g(x )(xw E;nw N ),則f (x )可積，且有E f x dm =nim;.E fn x dm.4.2 與黎曼積分有關(guān)的定理1 (連續(xù)性)若函數(shù)列fn(x)在區(qū)間I上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其極限函數(shù)f (x械I上也連續(xù).2 (可積性)若函數(shù)列力儀)在均用上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則lim fn x dx = lim. fn x dx. an l _n j a3 (可微性)設(shè)fn(x»為定義在ta,b】上的函數(shù)列，若XgW b,b為fn(

14、x)的收斂點(diǎn),fn(x»的每一項(xiàng)在Ia,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且fn'(x，在Ia,b】上一致收斂，則dxnimfnX 1mdxfnX.5黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系1、對(duì)于定義在 hb上的函數(shù)f(x),若它是黎曼可積的，則必然是勒貝格可積的，且b(L "bf (xdx=(R 兒 f (xdx由此可知，通常在計(jì)算勒貝格積分時(shí)，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解.下面先看一個(gè)例子例1 計(jì)算f(x產(chǎn)丁二在1,2上的積分. 3x-1解用截?cái)嗪瘮?shù)求解f (x )是1,2上的非負(fù)函數(shù)，作截?cái)嗪瘮?shù)_f X n =1/11 < X ：: 1 -3 n

15、< x ： 2顯然，對(duì)每個(gè)f(x)均黎曼可積，故也勒貝格可積，且有Cl21ndx R "3 1dx,21f(X)lndX = (R)(3 12 2n2于是，32n工,2 f xdx=nim”2|f x ndx: lim 3 -f ：! 2注：上述結(jié)論只對(duì)ia,b】上的有界函數(shù)成立，對(duì)于無界函數(shù)的廣義積分，結(jié)論不再成立.0, x = 0例2在10,1】上定義函數(shù)f(x)=n+11 (n = 1,2，)-1 n,一： :：x-n 1 n11I其反常積分的值為f f (xdx=1-ln2,但f(xdx=g, f(x)不是勒貝格可積的.但對(duì) *0*0于非負(fù)有界函數(shù)的黎曼反常積分，若f

16、(x)在Ia,b上黎曼反常積分存在，則f(x)必勒貝格可積的，且積分值相等.2、勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積例3在R1上定義狄利克雷函數(shù)中（X ）:w _ Q若x為無理數(shù)一 X = 1,若x為有理數(shù)就不是黎曼可積的.事實(shí)上，對(duì)區(qū)間01的任意分劃，一切積分大和等于1, 一切積分小 和等于0.因而中（x汴可能是黎曼可積的.但是，注意到中（x）：0,就知道中（x）的勒貝 格積分存在且等于0.3、勒貝格積分是一定意義下黎曼積分的推廣（測度是長度的推廣，可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的推廣）注：勒貝格積分并不是單純的對(duì)黎曼積分的推廣例4設(shè)函數(shù)f （x） = sin定義在b,g）上，由于在廣義積分理論有 sndx

17、= 三 ,從 xx 2而是黎曼可積的，但是在勒貝格積分理論中，由于。匹,=必，即f（x）非絕對(duì)可積， 故不是勒貝格可積的.6黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別1、就可積函數(shù)的積分范圍來看，勒貝格積分比黎曼積分更廣泛 .對(duì)定義域和值域的劃分是黎曼積分與勒貝格積分最本質(zhì)的區(qū)別.黎曼積分是將給定的函數(shù)劃分定義域而產(chǎn)生的，而勒貝格積分是通過劃分函數(shù)值域而產(chǎn)生的.黎曼積分劃 分后的區(qū)間長度很容易給出，但當(dāng)分割的細(xì)度加細(xì)時(shí)，函數(shù)的振幅仍可能較大，而勒貝 格積分的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)的振幅較小，從而擴(kuò)展了可積函數(shù)類，使許多問題得到解決.但一般不再是區(qū)間，而是可測集，具度量一般不容易給出.然而就是這一點(diǎn)點(diǎn)差別，使勒貝格積分具備

18、了很多黎曼積分所不具有的良好性質(zhì).因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的 2、從某些極限過程來看，勒貝格積分比黎曼積分更優(yōu)越些 .對(duì)黎曼積分來說，關(guān)于積分列求極限的問題，經(jīng)常要求函數(shù)序列一致收斂（充分條 件），極限才可以與積分號(hào)交換順序.從運(yùn)算的角度看不僅不方便，限制也過強(qiáng).然而關(guān) 于勒貝格積分，對(duì)函數(shù)列的要求就寬的多.例5在10,1】上定義狄利克雷函數(shù)中（x ）:m,若x為無理數(shù)x = 1,若x為有理數(shù)把0,11中的有理點(diǎn)依次排列為rr1,l2, Jn,作函數(shù)5 n(x):1,若xw 1,2,，目'"、尸10,其余情形.則Mn(x/田處處收斂于中(x ),中n(x)(x )且中n(x

19、戶0, n W N .由勒貝格控制收斂定理知，中(x )是勒貝格可積的，且有nm 0于 x dm = o,1f xdm=0.但由例3知，中(x )不是黎曼可積的，就談不上上述極限等式成立的可能性 .盡管在黎曼 積分意義下，1(R)；n(xdx=0,nN.3、微積分基本定理的使用范圍擴(kuò)大了 .我們來看數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茨公式b f b - f a = f t dta在數(shù)學(xué)分析中通常在f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的假定下證明上述公式，或者將條件減弱些，但 總要求f'(x)為黎曼可積才行.可是對(duì)于勒貝格積分情形，可以在f'(x)為勒貝格可積的 條件下進(jìn)行討論.當(dāng)f'(x)有界時(shí)，

20、證明微積分基本定理并不難，但當(dāng) f'(x)無界時(shí)，只 要f' (x )是可積的,微積分基本定理成立.4、黎曼積分和勒貝格積分的可加性(區(qū)域可加性)不同 .由前面黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)知道，黎曼積分具有有限可加性，但沒有可列可加性，而對(duì)于勒貝格積分，它不僅具有有限可加性，還具有可列可加性.克服了黎曼積分的缺陷.對(duì)于這兩種積分的可加性不難理解，我們知道，黎曼積分建立在區(qū)間之上， 而區(qū)間只有有限可加性，勒貝格積分建立在勒貝格測度之上，測度具有可列可加性，由于它們之間的密切聯(lián)系，區(qū)間和勒貝格測度也就反映到相應(yīng)的積分上來了7實(shí)例因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的優(yōu)越性，所以我們平時(shí)用勒貝格

21、積分解決黎曼積分 中較難的問題.1當(dāng)x =衛(wèi)，p q為萬所TF整數(shù)1例6計(jì)算(0,1 )上黎曼函數(shù)R(x)=(q qtP，q)的積分j°R( x )dx.0當(dāng)娓無理數(shù)時(shí)分析：這個(gè)函數(shù)在所有無理點(diǎn)處是連續(xù)的， 在有理點(diǎn)處是不連續(xù)的，雖然在(0,1)中有無 窮多個(gè)有理點(diǎn)，即黎曼函數(shù)在(0,1)上的不連續(xù)點(diǎn)有無窮多個(gè)，但它仍是黎曼可積的，但 用黎曼積分方法求其積分值比較復(fù)雜，然而用勒貝格積分的方法求積分值就十分簡單了.解 由R(x)是黎曼可積u R(x)幾乎處處連續(xù)，令A(yù) = x|刻(0,1)中的有理數(shù),B=(0,1)-A,則1(R)LR(xdx=(L*1R(xWx =L AR x dx

22、L BR x dx =0 L b R x dxB=L BR x dx h：L B0dm -0例7求極限11 nx25lim_ R o -2-sin nxdx.解 因?yàn)橛?nx2 c” 5 nsin nx1 +n2x21nx2nx1 n2x21 n2x2且有i_ 2.nx2. 5lim2- sin nx = 0J 1 n2x2由勒貝格控制收斂定理可得11 nx25lim R 2-sin nxdx01 n2x212nx2一段"小11 +n2x2sin5 nxdx1-2一 nx2一，一limsin nxdm0,1 n -1 n2x2= 0,i0dm=0.利用勒貝格積分可得出黎曼積分比較深刻的理論， 其中之一就是黎曼可積條件的推 廣.利用勒貝格積分理論中的積分極限定理， 可以證明：對(duì)Ia,b上有界函數(shù)f(x),黎曼.但是,可積的充分必要條件是f(x春la,b上不連續(xù)點(diǎn)的測度長為0,這是黎曼積分的本質(zhì)特 性，從黎曼積分的自身理論是推不出來的，必須借助勒貝格積分理論才能得到黎曼積分也有它的優(yōu)勢(shì)，比如在非均勻分布時(shí)，“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等的問 題上，用黎曼積分比較簡