高等數(shù)學(xué)微分方程的基本概念教學(xué)

1、第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 1第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程第四節(jié)第四節(jié) 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 2第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一一. .問(wèn)題引入問(wèn)題引入二二. .微分方程的定義微分方程的定

2、義 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :三三. .求微分方程的解求微分方程的解第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 3 在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對(duì)客觀事物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性進(jìn)行研究，往往了對(duì)客觀事物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性進(jìn)行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問(wèn)題的需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱之為微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。方程。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方

3、程的基本概念微分方程的基本概念 4例例1 1 一曲線過(guò)點(diǎn)一曲線過(guò)點(diǎn)(0, 0)，且曲線上各點(diǎn)處的切線斜率等，且曲線上各點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求此曲線方程于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求此曲線方程解解 設(shè)所求曲線的方程為設(shè)所求曲線的方程為y=y(x)(x,y)為曲線上的任意點(diǎn)，在該點(diǎn)曲線的切線的為曲線上的任意點(diǎn)，在該點(diǎn)曲線的切線的斜率為斜率為y,依題意有：依題意有：兩邊積分，得兩邊積分，得313yxC (2)2yx (1)一、問(wèn)題引入一、問(wèn)題引入第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 5上式表示的是曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率為上式表示的是曲線上任

4、意一點(diǎn)的切線的斜率為x2的所的所有曲線但要求的是過(guò)點(diǎn)有曲線但要求的是過(guò)點(diǎn)(0,0)的曲線，即的曲線，即331xy 將將(3)式代入式代入(2)式，得式，得C = 0，所以，所以 x = 0時(shí)，時(shí)， y = 0 (3)為所求的曲線方程為所求的曲線方程 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 6例例2 一物體由靜止開(kāi)始從高處自由下落，已知物體一物體由靜止開(kāi)始從高處自由下落，已知物體下落時(shí)的重力加速度是下落時(shí)的重力加速度是g ，求物體下落的位置與時(shí)間，求物體下落的位置與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系。解解 設(shè)物體的質(zhì)量為設(shè)物體的質(zhì)量為m,由于下落過(guò)程中

5、只受重力作用由于下落過(guò)程中只受重力作用,故物體所受之力為故物體所受之力為F = mg，第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 7 22ddsat ,所以所以及加速度及加速度又根據(jù)牛頓第二定律，又根據(jù)牛頓第二定律， F = ma 22d,dsmm gt 22ddsgt 即即(5)第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 8兩端積分得兩端積分得 1ddsgtCt (6)現(xiàn)在來(lái)求現(xiàn)在來(lái)求s與與t之間的函數(shù)關(guān)系，對(duì)之間的函數(shù)關(guān)系，對(duì)(5)式式21212sgtCCd0,0dssvt 由題意知由題意知 t = 0 時(shí)

6、，時(shí)，(8)這里這里C1，C2都是任意的常數(shù)都是任意的常數(shù)(7)再兩端積分，得再兩端積分，得第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 9C1 = 0 , C2 = 0. 故故(7)式為式為把把(8)式分別代入式分別代入(6)，(7)式，得式，得212sgt (9)這就是初速度為這就是初速度為0的物體垂直下落時(shí)距離的物體垂直下落時(shí)距離s與時(shí)間與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 10微分方程微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分

7、的方程叫微分方程.例例,xyy ,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或或微分微分)之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式.二、微分方程的定義二、微分方程的定義20,0yxyxdyydx 2231yyyx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 11分類(lèi)分類(lèi)1:按自變量的個(gè)數(shù)，分為常微分方程和偏微分方程按自變量的個(gè)數(shù)，分為常微分方程和偏微分方程.都是常微分方程；都是常微分方程；如如 y= x2 , y+ xy2 = 0 , 如果其中的未知函數(shù)只與一個(gè)自變量有關(guān)

8、，就如果其中的未知函數(shù)只與一個(gè)自變量有關(guān)，就稱為稱為常微分方程常微分方程。(4)4 4xyyyxe 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 12就是偏微分方程；就是偏微分方程； 如果未知函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，如果未知函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)如如2222220uuuxyz 本章我們只介紹常微分方程。本章我們只介紹常微分方程。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 13微分方程的階微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的微分方程中出現(xiàn)的未知

9、函數(shù)的最最高高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).222d, 2 31dsg yyyxt 都是二階微分方程都是二階微分方程.都是一階微分方程；都是一階微分方程；如如 y= x2 , y+ xy2 = 0 ,xdy + ydx = 0(4)4 4xyyyxe 是四階微分方程；是四階微分方程；等等等等二階及二階以上的微分方程稱為二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程高階微分方程.第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 14分類(lèi)分類(lèi)2:按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程二階和高階微分方程一階微分

10、方程一階微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高階高階(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 15微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù). 微分方程的解的分類(lèi)：微分方程的解的分類(lèi)：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .三、主要問(wèn)題三、主要問(wèn)題求方程的解求

11、方程的解含有幾個(gè)任意常數(shù)的表達(dá)式，如果它們不能合并而使含有幾個(gè)任意常數(shù)的表達(dá)式，如果它們不能合并而使得任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少，則稱這表達(dá)式中的幾個(gè)任意得任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少，則稱這表達(dá)式中的幾個(gè)任意常數(shù)常數(shù)相互獨(dú)立相互獨(dú)立獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)= =微分方程的階數(shù)微分方程的階數(shù)第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 16不能合并的，即不能合并的，即C1，C2是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的例如例如y = C1x + C2x + 1 與與 y = Cx+1 (C1,C2，C都是任意常數(shù)）所表示的函數(shù)族是相同的，都是任意常數(shù)）所表示的函數(shù)族是相同的

12、，因此因此y = C1x + C2x + 1中的中的C1，C2是不獨(dú)立的；是不獨(dú)立的；而而 中的任意常數(shù)中的任意常數(shù)C1，C2是是21212sgtCC 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 17, yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(2)特解特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解.初始條件初始條件: 確定任意常數(shù)取固定值的條件確定任意常數(shù)取固定值的條件.第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 18解的圖象解的圖象: : 微分方程的

13、積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .初值問(wèn)題初值問(wèn)題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 19二階微分方程的定解條件通常是二階微分方程的定解條件通常是x = x0時(shí)，時(shí)，y = y0、y = y0或?qū)懗苫驅(qū)懗?0 x xyy 00 xxyy 或或本章討論的一階微分方程本章討論的一階微分方程 ，f(x,y)表示表示x,y的關(guān)系式），它的定解條件通常是的關(guān)系式），它的定解條件通常是x=x0時(shí)，時(shí)，y=y0或?qū)懗苫驅(qū)懗? , )yf

14、 x y 0 x xy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 20把把y和和y代入微分方程左端得代入微分方程左端得12 sincosyCxCx 12cossinyCxCx 1212cossincossin0yyCx Cx Cx Cx 解解12cossinyCxCx 又又例例3 驗(yàn)證驗(yàn)證 是微分方程是微分方程 的的通解并求此方程滿足初始條件通解并求此方程滿足初始條件12cossinyCxCx 0yy ()1, ()144yy 的特解。的特解。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 210yy12sincosyCxCx 是該微分方程的通解是該微分方程的通解.是二階的，所以是二階的，所以方程方程()1, ()144yy 代入初始條件代入初始條件得得12212212222122CCCC 中含有兩個(gè)獨(dú)立的常數(shù)，而中含有兩個(gè)獨(dú)立的常數(shù)，而第六章第六