高等數(shù)學(xué)重積分的應(yīng)用

1、.第四節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力五、物體的引力 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 重積分的應(yīng)用 第十章 .1. 能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2. 用重積分解決問(wèn)題的方法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為Dy

2、xyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .xoyza2例例1 1. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)),(zyxM處小切平面

3、的面積 d A 無(wú)限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFy

4、zFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例2. 計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122ddR02201 )1)1( 32232R出的面積 A .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn), ),(kkkzyx其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設(shè)物體占有空間域 ,),(

5、zyx有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .將 分成 n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時(shí)當(dāng)zyx

6、則得形心坐標(biāo)：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時(shí),ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為MMyMMx其面密度 xMyM 對(duì) x 軸的 靜矩 對(duì) y 軸的 靜矩機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .4例例3. 求位于兩圓sin2sin4和的質(zhì)心. 2D解解: 利用對(duì)稱性可知0 x而DyxyAydd1D231dd

7、sindsinsin422dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .Vzyxzzddd例例4. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，,0 yx采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的質(zhì)心.oxzh若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)512

8、33(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( z

9、yxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .ddsina0302例例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2D23ddsin441a481a2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

10、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,:2222azyx則zIzyxyx22ddd)(5a525a158dddsin2rr olzxy132220ddsin03rrad04例例6.6.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .aaR1122xyzoR例例7. 設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解解: 由對(duì)稱性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 2ddGdaR020da0M。

11、, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322a )(d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五、物體的引力五、物體的引力.)(th( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程,)()(2)(22thyxthz設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ), 問(wèn)高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)? (2001考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題.提示提示:yxzo記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thd)(22