2016年專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題集-定義法求軌跡方程

1、2016年專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題集-定義法求 軌跡方程2016年專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題集-定義法求軌跡方程 選擇題1、點(diǎn)p（X）y）是平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)）滿(mǎn)足:4r7 J（x 4）2 y2 10,則點(diǎn)p的軌跡方程是A.B.C.D.2 X252 X252 X92 X92 y92 y92 y252 y25【易錯(cuò)點(diǎn)】不能將J(x 4)2 y2看做點(diǎn)(x,y )和點(diǎn) (4,0)之間的距離?！窘忸}思路】利用橢圓的定義即可得出.【解析】點(diǎn)p (x, y)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足關(guān)系式：J(x 4)2 y2 "(x 4)2 y2 10,點(diǎn)p到兩定點(diǎn)F (4, 0), F' -4, 0)的距離 之和滿(mǎn)足：|PF|+|P F&

2、#39; |=o >8.故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F, F'為焦點(diǎn),10為長(zhǎng)軸 長(zhǎng)的橢圓. 22易知，c=4,a=5,b=3,橢圓的方程為上、L259故選A .2、已知圓 g: (x+3 ) 2+y 2=4 ,圓 & (x-3)2+y 2=100 ,動(dòng)圓c與圓外 圓。2都內(nèi)切，則動(dòng)圓 圓心的軌跡是()A.橢圓C.拋物線(xiàn)D.圓【分值】5【答案】A【考查方向】本題主要考查橢圓的定義.軌跡方 程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定。菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所【易錯(cuò)點(diǎn)】找不出田+%為定值這一關(guān)系?！窘忸}思路】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,由相切關(guān)系建 立圓心距與r的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于圓心距的等式，結(jié)合橢圓的定義即可解決問(wèn)題

3、.【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,動(dòng)1心為c(X,y），因?yàn)閯?dòng)圓與園G： (X + 3) 2+y2 = 4 及園(x-3)2+y2=100都內(nèi)切,則"尸"2, ce2 = 10 - r.因此動(dòng)心為c的軌跡是焦點(diǎn)為G.中心在(0, 0)的橢圓.故選A.3.設(shè)動(dòng)圓M與y軸相切且與C: x2+y2 -4x=0相外切，則動(dòng)心M的軌跡方程為A. y2=8x.y2= - 8xC. y2=8x或y=0 (x<0)D. y2=8x或y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視討論x.【解題思路】設(shè)出動(dòng)圓圓心 M的坐標(biāo)，利用動(dòng)圓M與y

4、軸相切且與圓C: x2+y 2 - 4x=0相外 切，建立方程，化簡(jiǎn)可得動(dòng)圓圓心 M的軌跡方 程.【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為（x, y）,則.動(dòng)圓M與y軸相切且與圓C: x2+y2-4x=0相外切J（x 2）2 y2 |x 2當(dāng) xv0 時(shí)）y=0 ;當(dāng) x RO 時(shí)）y2=8x 故選C.4、若動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A （-2,0）且和定圓（x-2）2+y2=4外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為A.B.22 y x 132x2 y 1(x 0)3C.2y2D. x 、1(x 0)3【分值】5【答案】D【考查方向】考查了雙曲線(xiàn)的定義、兩圓外切的 性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)軌跡求法等知識(shí)，屬于中檔題.【易錯(cuò)點(diǎn)】容易錯(cuò)誤的把軌跡

5、看成整支雙曲線(xiàn)。【解題思路】設(shè)定圓（x-2） 2+y2=4的圓心為B,根據(jù)外切兩圓的性質(zhì)得點(diǎn)P到B、A兩點(diǎn)的 距離之差等于2,由此可得點(diǎn)P在以A、B為焦 點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支上，可得本題的答案.【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為 R,.動(dòng)圓圓心為P,點(diǎn)A在動(dòng)圓上，|PA|=R 又.定圓(x-2) 2+y2=4的圓心為B (2, 0), 半徑為2 ,定圓與動(dòng)圓P相外切圓心距 |PB|=R+2由此可得 |PB| - |PA|= (R+2) - R=2 (常數(shù))，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支。易知：雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在X軸，a 1,c 2,所以方程為2 x2 y- 1(x 0)3故選：D5、已知圓 C: (x+

6、2 ) 2+y 2=36 和點(diǎn) B (2,0),P是圓上一點(diǎn)，線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)交CP于M點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡方程是（A.B.C.y2=6x2 2X_ y_9 52 2 x_ y .9 5D.x2+y 2=9【分值】5【答案】B【考查方向】本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出|MC|+|MB|=6>|BC| ,是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn).【易錯(cuò)點(diǎn)】不能得出|MC|+|MB|=6【解題思路】根據(jù)線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)可得,|MB|=|MP|)又 |MP|+|MC|=半徑 6,故有|MC|+|MB|=6>|BC| ,根據(jù)橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出a、b值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析：由圓的方程可知

7、，圓心 C (-2, 0),半 徑等于6,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y ),B用勺垂直平分線(xiàn)交CQ于點(diǎn)M ,|MB|=|MP|. JMP|+|MC|=半徑 6,|MC|+|MB|= 6>|BC| .依據(jù)橢圓的定義可得,點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=6 , c=2 , bw5 , 22故橢圓方程為1瓶1,故選B.填空題6、Z AB5勺三邊|BC| >|AC| >|BA|成等差數(shù)列, A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,1), (0, -1),則 點(diǎn)B的軌跡方程是.【分值】322【答案】）卷1. （0vyv2） 34【考查方向】本題主要考查橢圓的定義，熟練掌握等差數(shù)列的定義、橢圓

8、的定義是解題的關(guān)鍵?！疽族e(cuò)點(diǎn)】忽視|BC| >|AC| >|BA| ,而導(dǎo)致曲線(xiàn)為整條橢圓?！窘忸}思路】利用等差數(shù)列的定義可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4>|AC| .利用橢圓的定義即可得出.解：. ABC三邊|BC| >|AC| >|BA|成等差數(shù)列，. |BC|+|BA|=2|AC|=4|ACj .由題意的定義可知：點(diǎn)B的軌跡方程是以點(diǎn)A,C為焦點(diǎn)（c=1 ）, a=2為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓的一部分，.b2=a 2 c2=4 1=3 .22，點(diǎn)B的軌跡方程是3匕1.34 ABC三邊 |BC| >|AC| >|BA| ,.0vyv2 .2 2故答案

9、為 ? i.（0vyv2）.3 47、如圖,， AB, P c D ，且ADLADIIBC, AD=2 ） BC=4 ） AB=6 ）若tan / ADP+2tan / BC5=則點(diǎn)P在平面 民內(nèi)的軌跡是【分值】3【答案】橢圓的一部分【考查方向】本題考查橢圓的定義，注意定義中 動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和與定點(diǎn)間距離的大小比【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視定義中動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和與 定點(diǎn)間距離的大小比較.【解題思路】根據(jù)題意，易得tan / ADP=, tan / BCP=,又由 tan / ADP+2tan / BC5=且 AD=2 , BC=4 ,可得 AP+BP=10 ,比較可 得AP+BP >AB,由橢

10、圓的定義分析可得答案.解析：由 ADL a ,可得 ADL AP,tan / ADP=四邊形ABCD是梯形，則AD/ BC,可得BCXBC± BP,則 tan / BCP=,又由 tan / ADP+2tan / BC5=且 AD=2BC=4 ,可得 AP+BP=10 ,又由 AB=6 )則 AP+BP >AB )故P在平面a內(nèi)的軌跡是橢圓的一部分,8、點(diǎn)M到點(diǎn)F (0, -3)的距離比它到直線(xiàn)1: y - 4=0的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是 .【分值】3【答案】x2= - 12y【考查方向】考查了兩點(diǎn)間的距離公式、軌跡方 程的求法、拋物線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬 于基礎(chǔ)題

11、.【易錯(cuò)點(diǎn)】在去|x-3|的絕對(duì)值時(shí)，不能根據(jù)平面幾何原理，得y<3o解題思路：設(shè)M (x, y),由兩點(diǎn)間的距離公式 建立關(guān)于x、y的方程，結(jié)合平面幾何原理將方 程化簡(jiǎn)整理，即可得到點(diǎn) M的軌跡方程.【解析】設(shè)M (x, y),依題意得點(diǎn)M到點(diǎn)F (0, -3)的距離比它到直線(xiàn)1:y - 43=0 的距離小1 ,由兩點(diǎn)間的距離公式，得J(x 0)2 (y 3)2 |y 4 1 , 根據(jù)平面幾何原理，得yv4,原方程化為 &X 0)2 (y 3)23 y兩邊平方，得x2+ (y+3 )2= (3-y) 2,整理得 x2= - 12y即點(diǎn)M的軌跡方程是x2= - 12y .故答案為

12、：x2= - 12y .綜合題9、已知F (-2, 0),以F為圓心的圓，半徑為 r,點(diǎn)A (2, 0)是一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一 點(diǎn)，線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)l和直線(xiàn)FP相交于 點(diǎn)Q.在下列條件下，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并 說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn).(1) r=2時(shí)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)；【分值】62【答案】x231,是雙曲線(xiàn)； 3【考查方向】本小題主要考查橢圓的定義、雙曲 線(xiàn)的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解 能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.熟 練掌握雙曲線(xiàn)、橢圓的定義及圓與直線(xiàn)的性質(zhì)是 解決問(wèn)題的關(guān)鍵.屬于中檔題.【易錯(cuò)點(diǎn)】不能找出QA=QP及|QAQF|=|QP-QF|=FP這兩個(gè)關(guān)系式?！?/p>

13、解題思路】由題意得 QA=QP ,則|QA -QF|=|QP - QF|=FP=r=2 ,即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn) F、A的距離差的絕對(duì)值為定值，根據(jù)雙曲線(xiàn)的 定義，可得點(diǎn)Q的軌跡是：以F, A為焦點(diǎn)，F(xiàn)A 為焦距長(zhǎng)的雙曲線(xiàn).【解析】（1）當(dāng)r=2時(shí)，.A為OF外一定點(diǎn)，P為OF上一動(dòng)點(diǎn)線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)FP于點(diǎn)Q ,則 QA=QP ,則 |QA QF|=|QP QF|=FP=r=2 ,即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)F、A的距離差的絕對(duì)值為定值，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)Q的軌跡是：以F,A為焦點(diǎn)，F(xiàn)A為焦距長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)，故 2a=2 , 2c=4 , ? a=1 , c=2 , b=向.2故方程為：x r=8

14、時(shí)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).【分值】6 22【答案】12 1,是橢圓【考查方向】本小題主要考查橢圓的定義、雙曲線(xiàn)的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解 3 1,是雙曲線(xiàn)； 3能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.熟練掌握雙曲線(xiàn)、橢圓的定義及圓與直線(xiàn)的性質(zhì)是 解決問(wèn)題的關(guān)鍵.屬于中檔題.【易錯(cuò)點(diǎn)】不能找出QA=QP , FP=FQ+QP這 兩個(gè)關(guān)系式?！窘忸}思路】由題意QA=QP ,FP=FQ+QP=r=8 ,所以 FQ+QA=8 .故曲線(xiàn)是以A、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，由此能 求出曲線(xiàn)的方程.【解析】（2）當(dāng)r=8時(shí)，由題意：QA=QP , FP=FQ+QP=r=8 ,所以 FQ+QA=9 .

15、故曲線(xiàn)是以A、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，其 2a=8 , 2c=4 , ? a=4 , c=2 , b= 2；3,22方程為：T6 12 S是橢圓.10、已知圓 F1：X2 y2 2x=15,點(diǎn) F2 (1, 0), P 是圓 Fl 上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段PF2的垂直平分線(xiàn)和半徑PFi相交 于Q(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡r的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本題考查橢圓的方程的求法，注意 運(yùn)用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和橢圓的定義，考查存在 性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián) 立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于 0,以及點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，屬于中檔題.【易錯(cuò)點(diǎn)】找不出和為定值這一條件【解題思路】連結(jié)Q運(yùn)用垂直平分

16、線(xiàn)定理可得,QP,可得QF1QF2QFi + QP 4F1F22,由橢圓的定義即可得到所求軌跡方程；解析：(1)將化為：(x+1 ) 2+y2=16 ,連結(jié)QF2,運(yùn)用垂直平分線(xiàn)定理可得，QP QF2,可/口 QF1 QF2 QF1 + QP 4 F1F22 上心一上 j 、4 口得121,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡r是以F2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.設(shè)其方程為：2223 1()可知a=2 , c=1，所以點(diǎn)Q的軌跡r的方程為(2)若直線(xiàn)y=k (x-1)與(1)中的軌跡r交于R, S兩點(diǎn)，問(wèn)是否在x軸上存在一點(diǎn)T, 使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/OTS=/ OTR?說(shuō)明理由.【分值】7【答案】存在T (4, 0

17、)【考查方向】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和橢圓的定義， 考查存在 性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián) 立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,以及點(diǎn)滿(mǎn)足 直線(xiàn)方程，屬于中檔題.【易錯(cuò)點(diǎn)】不能將條件/OTS=郵©TRkTS+k TR=0 O【解題思路】假設(shè)存在T (t, 0)滿(mǎn)足/ OTS=Z OTR.誨(xi, yi), S(X2, y2), 聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別 式大于0,由直線(xiàn)的斜率之和為0,化簡(jiǎn)整理， 即可得到存在T (4, 0).【解析】(2)假設(shè)存在T (t, 0)滿(mǎn)足 / OTS=Z OTR.設(shè)R(x1, y1), S (x2, y2)聯(lián)立，得(3+4k 2) x2-8k2x+4k 2-12=0 , 772由韋達(dá)定理有二，其中4。恒成立，由/ OTS=Z OTR (顯然S, TR的斜率存在)，故 kTS+k TR=0 即77+7二。) 冥 工 X 2 工由R, S兩點(diǎn)在直線(xiàn)y=k (x-1)上，