光波的空間頻率與空間頻譜

1、.1.5 光波場的空間頻率和空間頻率譜光波場的空間頻率和空間頻率譜 (Spatial frequency and spatial frequency spectrum of light wave field)1. 空間頻率空間頻率2. 空間頻率譜空間頻率譜在光學(xué)圖像及光倍息處理領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常要將空間域在光學(xué)圖像及光倍息處理領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常要將空間域問題轉(zhuǎn)換為空間頻率域問題處理。為此，下面討論問題轉(zhuǎn)換為空間頻率域問題處理。為此，下面討論光波場的空間頻率與空間頻率譜的基本概念。光波場的空間頻率與空間頻率譜的基本概念。.1. 空間頻率空間頻率00)i(011i2(0e =e (79)kzttzTEEE）+

2、前面，我們給出了一個單色平面光波場的表示式前面，我們給出了一個單色平面光波場的表示式它是它是時間和空間時間和空間的函數(shù)，表征了平面光波在某一時、的函數(shù)，表征了平面光波在某一時、空坐標(biāo)下的狀態(tài)。空坐標(biāo)下的狀態(tài)。.v 是光波場的頻率，是光波場的頻率，T 是振動周期，是振動周期，k 是波數(shù)。是波數(shù)。1. 空間頻率空間頻率22 (80)vT上式中上式中 是時域內(nèi)平面光波的圓頻率是時域內(nèi)平面光波的圓頻率:00)i(011i2(0e =e (79)kzttzTEEE）+.從平面光波場時、空相位關(guān)系的對稱性來看，從平面光波場時、空相位關(guān)系的對稱性來看，k 可可稱為稱為空間圓頻率空間圓頻率，波長，波長 可稱為

3、光波場的可稱為光波場的空間周期空間周期,相應(yīng)波長的倒數(shù)可稱為光波場在光傳播方向上的相應(yīng)波長的倒數(shù)可稱為光波場在光傳播方向上的空空間頻率間頻率。1. 空間頻率空間頻率1 kTv. (81)f1空間頻率，即空間頻率，即它表示光波場沿波矢它表示光波場沿波矢 k 方向每增加單位長度，光波方向每增加單位長度，光波場增加的周期數(shù)。場增加的周期數(shù)。1. 空間頻率空間頻率.光波的光波的空間頻率是觀察方向的函數(shù)空間頻率是觀察方向的函數(shù)。例如，對于圖所。例如，對于圖所示的、沿示的、沿 z 軸方向傳播的平面光，在波傳播方向（軸方向傳播的平面光，在波傳播方向（z）上，波長是上，波長是 ，空間頻率是，空間頻率是 f1

4、/ 。1. 空間頻率空間頻率波平面波平面zk0 x.cos= (82)rrf1在在 方向觀察時，波的空間周期是方向觀察時，波的空間周期是 r，相應(yīng)的空間，相應(yīng)的空間頻率為頻率為1. 空間頻率空間頻率rzk0顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) / 2 時，沿時，沿 x 方向的方向的空間頻率為零?？臻g頻率為零。.對于如圖所示的、在對于如圖所示的、在 xOy 平面內(nèi)沿平面內(nèi)沿 k 方向傳播的方向傳播的平面光波，平面光波，00)i(0i(0e =e (83)xyk rtt k x k yEEE ）1. 空間頻率空間頻率xkx波陣面波陣面yy.k 方向的空間頻率方向的空間頻率x 方向的空間頻率方向的空間頻率y 方向的空間

5、頻率方向的空間頻率z 方向的空間頻率方向的空間頻率因為因為=1/ =1/=cos / (84)=1/=sin /=1/=0 xxyyzzffff 22222= + = (85)xyxykkk22+ 所以有所以有222= + (86)xyfff 1. 空間頻率空間頻率. 對于如圖所示的、沿任意空間方向傳播的平面光波對于如圖所示的、沿任意空間方向傳播的平面光波1. 空間頻率空間頻率xyzk波平面波平面0/2/2.00)i(0i(0e =e (87)xyzk rtt k x k y k zEEE ）因為因為= cos= cos= cosxyzkkkkkk所以所以，空間頻率為空間頻率為cos=cos=

6、 (88)cos=xyzfff1. 空間頻率空間頻率.因此，該平面光波被表示為因此，該平面光波被表示為0()+i0e (89)xyztf xf yf zEE2應(yīng)當(dāng)指出，對于一個沿任意方向傳播的平面光波，因應(yīng)當(dāng)指出，對于一個沿任意方向傳播的平面光波，因為波數(shù)為波數(shù) k 與頻率與頻率 v 如下的關(guān)系：如下的關(guān)系：2222 = (90)xyzvkkkk1. 空間頻率空間頻率.所以，在所以，在 k 的三個分量中只有兩個是獨立變量，只的三個分量中只有兩個是獨立變量，只要知道了要知道了 k 在在 xOy 平面上的兩個分量平面上的兩個分量 kx 和和 ky，即，即可由可由2222() zxyvkkk確定確定

7、 kz ，從而也就確定了，從而也就確定了 k 。1. 空間頻率空間頻率.0i()i0i()0i2()0e e e (91)xyzxyxyk x k yk zk x k yf xf yEE eEE式中，式中， 。0i00=zk zEE e1. 空間頻率空間頻率因此，在任意因此，在任意 zz0 的的 xz0y 平面上，平面光波的復(fù)振平面上，平面光波的復(fù)振幅可以表示為幅可以表示為. 由上所述，一個平面光波的空間傳播特性也可以由上所述，一個平面光波的空間傳播特性也可以用空間頻率這個特征參量描述。用空間頻率這個特征參量描述。 當(dāng)研究平面光波沿著傳播方向的空間周期分布時，當(dāng)研究平面光波沿著傳播方向的空間周

8、期分布時，每一個空間頻率對應(yīng)于一定波長的單色波。每一個空間頻率對應(yīng)于一定波長的單色波。 當(dāng)研究垂直于當(dāng)研究垂直于 z 軸的一個平面上單色光波的復(fù)軸的一個平面上單色光波的復(fù)振幅分布時，每一組空間頻率（振幅分布時，每一組空間頻率（fx，fy）值對應(yīng)）值對應(yīng)于一個沿一定方向傳播的單色平面光波。于一個沿一定方向傳播的單色平面光波。1. 空間頻率空間頻率.( , )E x y實際上，在光學(xué)圖像及光信息處理應(yīng)用中，經(jīng)常處實際上，在光學(xué)圖像及光信息處理應(yīng)用中，經(jīng)常處 理的是在一個平面理的是在一個平面(例如，入瞳平面或物平面例如，入瞳平面或物平面)上的上的 二維信息二維信息，即單色光波場中任一，即單色光波場中

9、任一 xy 平面上的復(fù)振平面上的復(fù)振 幅分布幅分布 。2. 空間頻率譜空間頻率譜此時可以利用二維傅里葉變換，將此時可以利用二維傅里葉變換，將E(x,y)這個二維這個二維 空間坐標(biāo)函數(shù)分解成無數(shù)個形式為空間坐標(biāo)函數(shù)分解成無數(shù)個形式為expi2(fxx+fyy) 的基元函數(shù)的的基元函數(shù)的線性組合線性組合，即，即.式中的基元函數(shù)式中的基元函數(shù)expi2(fxx+fyy) 可視為由空間頻率可視為由空間頻率（fx，fy）決定的、沿一定方向傳播的平面光波，其）決定的、沿一定方向傳播的平面光波，其傳播方向的方向余弦為傳播方向的方向余弦為cos = fx, cos = fx ，相應(yīng)，相應(yīng)地，該空間頻率成分的基元函數(shù)所占比例的大小由地，該空間頻率成分的基元函數(shù)所占比例的大小由 決定。決定。2. 空間頻率譜空間頻率譜1()i2( , )=F ( ,) =( ,)ed d (92)xyxyffxyxyE x yE ffE ffff( ,)xyE ff.2. 空間頻率譜空間頻率譜可以把一個可以把一個平面上平面上的單色光波場復(fù)振幅視為向空的單色光波場復(fù)振幅視為向空 間不同方向傳播的單色平面光波的疊加，每一個間不同方向傳播的單色平面光波的疊加，每一個 平面光波分量與一組空間頻率（平面光波分量與一組空間頻率（fx，fy）相對應(yīng)。）相對應(yīng)。這樣一來，就可以把對光波各種現(xiàn)象的分析，轉(zhuǎn)這樣一來，就可以把