淺談構(gòu)造法在數(shù)列中的運(yùn)用

1、四川師范大學(xué)本科畢業(yè)論文淺談構(gòu)造法在數(shù)列中的運(yùn)用學(xué)生姓名院系名稱數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級學(xué) 號指導(dǎo)教師完成時(shí)間淺談構(gòu)造法在數(shù)列中的運(yùn)用 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師：內(nèi)容摘要:構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法。利用利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考中的?？键c(diǎn)之一，解題思路比較簡單、可操作性強(qiáng)。但是利用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的可操作性則較弱。本文就是通過舉例來說明構(gòu)造法在數(shù)列求通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和中的一些運(yùn)用，并簡要說明一些通過構(gòu)造數(shù)列的方法來證明一些不等式題型的方法。關(guān)鍵詞：構(gòu)造法 數(shù)列 不等式How

2、 to Apply the Construction Method in SequenceAbstract:Construction method, is a way of which is based on the characteristics of the hypothesis or conclusion to build a mathematical model which is constructed to meet the condition and conclusion, with which to solve mathematics problems.The general t

3、erm formula for the sequence which is constructed by using construction method is often one of the examination points in the college entrance examination. With this method, the way of problem-solving is relatively simple and strong operability. But for the sum of the first n terms of the sequence wh

4、ich is constructed by using construction method is weak in its maneuverability.This article is through the way of giving examples to illustrate some application of construction method for general term formula in sequence and the sum of the first n terms, and is a brief description of some ways by co

5、nstructing a sequence to prove some inequality questions.Key words:Construction Sequence Inequality目錄1引言.12構(gòu)造法在數(shù)列求通項(xiàng)公式中的運(yùn)用.2 2.1直接構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列.22.2形如（為常數(shù)，且）的數(shù)列.22.3形如“”型的數(shù)列.42.4用特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列.62.5取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列.62.6取對數(shù)構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列.7 2.7公式變形構(gòu)造.72.8通過換元來構(gòu)造新的數(shù)列求解.82.9對于兩個(gè)數(shù)列的復(fù)合問題，也可構(gòu)造等差或等比數(shù)列求解.92.10其他

6、特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法.93構(gòu)造法在數(shù)列求和中的運(yùn)用.11 3.1逐差構(gòu)造法.11 3.2利用組合數(shù)公式構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)求和.124構(gòu)造數(shù)列證明不等式.12 4.1直接法.134.2作差法.134.3作商法.144.4差分法.154.5商分法.155總結(jié).16參考文獻(xiàn).17致謝.18淺談構(gòu)造法在數(shù)列中的運(yùn)用1引言數(shù)列的基本知識等差數(shù)列等比數(shù)列定義對一切nN*有(d為常數(shù)）對一切nN*有：=(0,且是非零常數(shù)）通項(xiàng)公式中項(xiàng)公式2=+2=任意兩項(xiàng)的關(guān)系=前n項(xiàng)和公式數(shù)列的實(shí)質(zhì)是“按照一定規(guī)律”排列成的一列數(shù)，描述這種“規(guī)律”最簡單的形式就是通項(xiàng)公式，所以求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中最常見的題型之一，也是

7、歷年來高考中常遇到的問題，通常數(shù)列題都有三個(gè)小問，而第一個(gè)問基本上都是求通項(xiàng)，且求通項(xiàng)都是為后面的兩個(gè)問題作鋪墊。所以，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的一個(gè)重要課題。另外，除求數(shù)列的通項(xiàng)公式外，求數(shù)列的前n項(xiàng)和也是數(shù)列題型中的常見題型之一。除一些常見的公式法、錯(cuò)位法、裂項(xiàng)法之外，構(gòu)造法對于求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和都是一個(gè)不錯(cuò)的方法之一。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體問題的特點(diǎn)而采取的解決辦法，基本方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。解題的過程就是一個(gè)不斷把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的過程，這里的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)

8、鍵。構(gòu)造法作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題中起到重要的作用。在解題的過程當(dāng)中，如果按照固定的思維方法去探求解題途徑有較大的困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目的特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己的思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的方法之一，同時(shí)也對提高學(xué)生的解題能力有很大的幫助。2構(gòu)造法在數(shù)列求通項(xiàng)公式中的運(yùn)用2.1直接構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列通常在這一類題型當(dāng)中，題干中給出的并非是一個(gè)等差數(shù)列或者等比數(shù)列，而是一個(gè)遞推公式。通過對遞推公式做一些簡單的變換可以構(gòu)造出一個(gè)新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列，有時(shí)在構(gòu)造的過程中一般會用到待定系數(shù)法等方法。構(gòu)造出新的等差或者等比數(shù)列之后，原來的數(shù)

9、列的通項(xiàng)公式就迎刃而解了，如例1。例1、在數(shù)列中，已知求通項(xiàng)公式。分析：由遞推式首先想到的是進(jìn)行一個(gè)移項(xiàng)，把移到等式的右邊，然后考慮在等式的兩邊同時(shí)除以構(gòu)造一個(gè)新的等差數(shù)列。解：遞推式兩邊同時(shí)除以 （，否則與矛盾）；構(gòu)造輔助數(shù)列；是以-3為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列- = =1-把代入上式，得注意：通常情況下我們遇到的都是考慮把構(gòu)造成新的數(shù)列，而這里是把看成整體作為一個(gè)新的數(shù)列。另外，在運(yùn)算的過程當(dāng)中要注意對應(yīng)的項(xiàng)不要出錯(cuò)。2.2形如（為常數(shù)，且）的數(shù)列形如（為常數(shù)，且）的數(shù)列，其本身原本不是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，但通常進(jìn)行變形之后，都能通過構(gòu)造法構(gòu)造出新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列。一般情況下都是

10、構(gòu)造等比數(shù)列，但是在這里存在一個(gè)變量，當(dāng)取不同的形式時(shí)，構(gòu)造法的運(yùn)用又會有所不同，這里我只給出的三種形式。（1） 當(dāng)=（為常數(shù)）時(shí)，可構(gòu)造等比數(shù)列求解。此結(jié)構(gòu)可設(shè)通過待定系數(shù)法解得，從而把轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造出以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，從而導(dǎo)出的通項(xiàng)公式。如例2。例2、已知數(shù)列滿足，求通項(xiàng).解：設(shè)，則所以 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 （2）當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，即= （為常數(shù)）即思路1：兩邊同時(shí)除以把題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列。令，則，這就變成了第（1）類型，的形式。思路2：設(shè)，用待定系數(shù)法可解得，故原條件可轉(zhuǎn)化為，則可構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列。例3、已知數(shù)列中，=+，求通項(xiàng)。解：由條件得 令=

11、則即 又 ，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以 即 所以 (3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，即為遞推形式時(shí)，可類比（1）的形式構(gòu)造新的等比數(shù)列，不同的是（1）中為常數(shù)，所以在構(gòu)造的時(shí)候?qū)?yīng)假設(shè)為常數(shù)，而在這里為等差數(shù)列，即為一次函數(shù)時(shí)，在構(gòu)造時(shí)對應(yīng)也應(yīng)假設(shè)為一次函數(shù)。即通過構(gòu)造由待定系數(shù)法求出，。再構(gòu)造等比數(shù)列。例4、已知數(shù)列滿足， 求。解：令 整理得：，令 即 則 ，所以 是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以 從而 2.3形如“”型的數(shù)列一般地，由相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系給出的數(shù)列，求其同項(xiàng)公式時(shí)，通常都是考慮將中間的那項(xiàng)進(jìn)行分解，與前后兩項(xiàng)進(jìn)行搭配構(gòu)造出新的等比數(shù)列，通過新的等比數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化求出原數(shù)列的

12、通項(xiàng)公式。在此過程中一般要用到待定系數(shù)法。如例5、例6。例5、設(shè)數(shù)列滿足：， 求。解：設(shè) 則 得或 不妨取有 且 則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列則 令 從而數(shù)列是以1為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列 注意：此題要用到兩次構(gòu)造法例6、已知數(shù)列滿足 且，求通項(xiàng)解：用待定系數(shù)法，構(gòu)造出等比數(shù)列假設(shè)可轉(zhuǎn)化為即 比較系數(shù)可知所以原關(guān)系式轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以，把上面各式累加起來：其中，解得：2.4用特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列設(shè)數(shù)列滿足， 。則數(shù)列的特征方程為，設(shè)為其兩根，即為不動點(diǎn)。（1） 若，則數(shù)列是等比數(shù)列（2） 若，則數(shù)列是等差數(shù)列例7、設(shè)數(shù)列滿足 求通項(xiàng)解：由題知特征

13、方程為 解得 因?yàn)?為等比數(shù)列所以所以變式：已知數(shù)列滿足 且3，求通項(xiàng)。2.5取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列形如“”時(shí)，此結(jié)構(gòu)常兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可得 令，從而轉(zhuǎn)化為的形式，再用2類中（1）的解法即可。如例8。例8、已知數(shù)列中，2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可得 又因?yàn)?所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以 2.6取對數(shù)構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列對于形如“”的類型，此結(jié)構(gòu)需等式兩邊同時(shí)取對數(shù)，對數(shù)的底任意取得，從而得到，設(shè)，可得：，轉(zhuǎn)化為題型2（1），利用上面介紹的方法可解。如例9。例9、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：由題意可知 將兩邊同時(shí)取對數(shù)得：所以有 令 則 ，所以是以1

14、為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。得： 變式：已知2，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中n=1，2，3，.求的通項(xiàng)公式。 2.7公式變形構(gòu)造此類題型對等差數(shù)列和等比數(shù)列的最基本的公式進(jìn)行變形，使得已知條件中的遞推關(guān)系能夠轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的類型。例10、已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，求通項(xiàng)。分析：在這個(gè)題型的遞推關(guān)系中，既有前n項(xiàng)和，又有數(shù)列的通項(xiàng)，在統(tǒng)一式子里面通?？紤]只出現(xiàn)一類符號，所以這個(gè)題首先要想到把轉(zhuǎn)化成的形式或把轉(zhuǎn)化為的形式。在這里一般考慮把轉(zhuǎn)化成，因?yàn)檫@樣只引入了兩個(gè)符號，而如果把化為的話會引入n個(gè)符號。解：由題意可知： 又 所以 可得 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。所以 又因?yàn)?所以 當(dāng)

15、時(shí) 當(dāng)n=1時(shí)，也適合所以 變式：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若成立，求的通項(xiàng)。2.8通過換元來構(gòu)造新的數(shù)列求解例11、在數(shù)列中，求。分析：本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)造新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，將通項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于化簡變形。解：令，則，即，則原條件轉(zhuǎn)化為，化簡得，即，變形得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。故，即所以2.9對于兩個(gè)數(shù)列的復(fù)合問題，也可構(gòu)造等差或等比數(shù)列求解例12、在數(shù)列，中，且求，的通項(xiàng)公式。分析：在這類題中出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)列，在兩個(gè)數(shù)列之間不能相互妝化時(shí)，就考慮是否能夠構(gòu)造一個(gè)的新數(shù)列。解：構(gòu)造新數(shù)列， 則，令，得或，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列。當(dāng)

16、時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比=2的等比數(shù)列， 故 .(1)當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列， 故 .(2)聯(lián)立兩式得： 2.10其他特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法例13、求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：這是自然數(shù)平方和的通項(xiàng)公式，其結(jié)論是要求我們能夠記住的一個(gè)公式。首先，看到這個(gè)自然數(shù)平方之和，不做任何變形或構(gòu)造肯定是無法入手的，肯定要做一些改造，所以由此式聯(lián)想到自然數(shù)求和1+2+3+n，這樣就有了一個(gè)式子與之一一對應(yīng)，現(xiàn)在將其組合在一起通過列舉法列舉出前5項(xiàng)，取n=1，2，3，4，5時(shí)，分式的值依次為，所以做出大膽的猜想，該分式的通項(xiàng)為，即，從而得到，再通過數(shù)學(xué)歸納法證明我們的猜想是否正確既可。解：構(gòu)造分式取，

17、2，3，4，5時(shí)，其分式的值一次為，觀察這個(gè)有限的前5項(xiàng)可知：各分?jǐn)?shù)的分母為常數(shù)3，分子組成一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列于是可推測它的第項(xiàng)是那么則用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則有那么當(dāng)時(shí)，左邊有 右邊有 即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊等于等式的右邊所以對于一切n，等式都成立故例14、已知函數(shù)又?jǐn)?shù)列中，其前n項(xiàng)和為，對所有大于1的自然數(shù)n都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：本題真正能夠入手的就只有兩個(gè)條件，即：和，那么當(dāng)沒有什么巧解得時(shí)候就根據(jù)題意按部就班的做，構(gòu)造等差數(shù)列。解：由題意知，所以有，等式兩邊同時(shí)開方得： ，令， 則 是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以有 3

18、構(gòu)造法在數(shù)列求和中的運(yùn)用構(gòu)造法在數(shù)列求和中的運(yùn)用相比在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的運(yùn)用就要少很多，而且在數(shù)列求和中的構(gòu)造法相比也要難很多，在近幾年的高考中都很少遇到，它要求具備很好的想象能力和轉(zhuǎn)化能力。所以在這里僅選幾個(gè)經(jīng)典的例子進(jìn)行簡要的介紹。 3.1 逐差構(gòu)造法一個(gè)自然數(shù)高次冪所組成的數(shù)列，它的前項(xiàng)和可以通過逐差構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化為用自然數(shù)低次冪的前項(xiàng)的和來表示。例15、求解構(gòu)造數(shù)列 即 。3.2 利用組合數(shù)公式構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)求和在這種方法當(dāng)中要用到組合數(shù)公式，所以要求對組合數(shù)的公式有較好的掌握，且思維要很發(fā)散，不能受到之前知識的局限。例16、求數(shù)列的前項(xiàng)和解設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為 故數(shù)列的前項(xiàng)和。4 構(gòu)造數(shù)列證

19、明不等式數(shù)列和不等式都是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，這兩個(gè)重點(diǎn)知識的聯(lián)袂、交匯融合，更能考察學(xué)生對知識的綜合理解與運(yùn)用的能力。不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法。對于證明有關(guān)自然數(shù)n的不等式的常規(guī)思路是數(shù)學(xué)歸納法或放縮法，但數(shù)學(xué)歸納法的證明過程比較繁瑣，而放縮法的技巧性很強(qiáng)，難度很大。如果根據(jù)題目的具體結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，能夠運(yùn)用高造法構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列來間接證明，那么證明的難度就會大大減小。 4.1 直接法當(dāng)不等式的一邊為一個(gè)常數(shù)時(shí)，可以直接將不等式的另外一邊構(gòu)造成一個(gè)數(shù)列，然后證明數(shù)列的單調(diào)性。根據(jù)單調(diào)性來判定不等式是否成立即可。例17、證明對于一切大于1的正整

20、數(shù)n，有證明：構(gòu)造數(shù)列 因?yàn)?所以 數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，又因?yàn)閚是大于1的正整數(shù)所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號成立。故原不等式成立。4.2 作差法對于證明關(guān)于自然數(shù)n的不等式的形式，可以構(gòu)造一個(gè)數(shù)列使得，然后通過證明數(shù)列是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，來證明原不等式。通常在當(dāng)或是很多項(xiàng)之和時(shí)選擇用這個(gè)方法。如例18.例18、設(shè)： 證明不等式：成立（n是所有的正整數(shù)）。（1986年全國高考試題）證明：先證明左邊的不等式成立。構(gòu)造數(shù)列，令則： 所以。為單調(diào)遞增數(shù)列，第一項(xiàng)為最小項(xiàng)所以 即有：.左邊得證。再證明右邊的不等式成立。令則： 所以為單調(diào)遞減數(shù)列。第一項(xiàng)為最大項(xiàng)所以 即 .右邊得證。綜上得：成立。

21、4.3 作商法對于證明關(guān)于自然數(shù)n的不等式的形式，可以構(gòu)造一個(gè)數(shù)列使得，然后通過證明數(shù)列是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，來證明原不等式。通常在當(dāng)或是很多項(xiàng)之積時(shí)選擇用這個(gè)方法。如例19.例19、對于大于1的自然數(shù)n，證明不等式：成立。證明：構(gòu)造數(shù)列，令 則 所以 所以，即是單調(diào)遞增數(shù)列，為最小項(xiàng)，即 即有：4.4 差分法對于“”型的不等式，可以令，如果能夠證明成立，則原不等式就可以證明。這種方法思路簡單清楚，操作起來方便有效。如例20.例20、證明對于一切正整數(shù)n，有。證明：記數(shù)列的前n項(xiàng)和為。當(dāng)時(shí)，又，則數(shù)列的每一項(xiàng)均大于數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)。故大于數(shù)列的前n項(xiàng)和，故原不等式成立。4.5 商分法對于“”

22、型的不等式，可以令，如果能夠證明成立，則原不等式成立。如例21.例21、證明對于一切大于1的正整數(shù)n，有證明：原不等式即，記數(shù)列的前n項(xiàng)的積為 ，則當(dāng)時(shí)，欲證，只須證，即證，而這是明顯成立的。所以數(shù)列的每一項(xiàng)均小于數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)，所以小于數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以原不等式成立。5 總結(jié)通過以上的例子，不難發(fā)現(xiàn)通過地推公式，有的數(shù)列可以通過構(gòu)造新數(shù)列的方法，構(gòu)造出一個(gè)較為熟悉的數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和等，這也是一種化歸能力的體現(xiàn)。此類問題考查了學(xué)生思維的靈活性與分析問題及運(yùn)用知識解決問題的能力。也正因?yàn)榇?，這種類型的題目越來越受到高考命題者的青睞。另外，不難看出的是構(gòu)造法在數(shù)列求通項(xiàng)公式中的運(yùn)用和在構(gòu)造數(shù)列證明不等式