8實數(shù)集完備性的幾個等價定理及其論證方法的比較分析-宋莉

1、包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第 i 頁實數(shù)集完備性的幾個等價定理及其證明宋莉（包頭師范學院數(shù)學系）中文摘要：實數(shù)集是一個“優(yōu)美”的數(shù)集，其中之一在于它關(guān)于極限運算是完備的.而極限理論是展開微積分的基礎(chǔ)，從而微積分建立在嚴密的基礎(chǔ)之上.反映實數(shù)集完備性的幾個基本定理是實數(shù)理論的重要組成部分也是數(shù)學分析中的一個難點，本人再次將實數(shù)完備性認真的學習了一 遍，并查找資料，對其相關(guān)的命題、定理加以整理，找出幾種七個基本定理的等價性證明.關(guān)鍵詞：實數(shù)集完備性基本定理的等價性證明1 引言每個人從小都要學數(shù)數(shù)，從 1、2、3 開始學習自然數(shù).兩個自然數(shù)相加，相乘仍 然是自然數(shù).此時可稱自然數(shù)對加法

2、和乘法兩種運算完備；學到減法，當遇到“小 大”或除法時，已不是自然數(shù).丁是數(shù)系先擴充到整數(shù)集， 再擴充到有理數(shù)集， 在有 理數(shù)集內(nèi)“+”、 “- ”、*、“十”四則運算封閉.現(xiàn)代人對數(shù)的認識和學習是符合數(shù)集 形成和擴充的歷史過程的，有理數(shù)集是一個比較完美的數(shù)集 .它具有以下性質(zhì)：1）稠密性；2 ）對四則運算的封閉性；3 ）元素的有序性；任意兩數(shù)均可比較大小.這些性質(zhì)使古希臘人認為有理數(shù)集就是所有數(shù)的全體，而且設(shè)想把它們由小到 大，連續(xù)無空隙地排列在一條直線上，即把有理數(shù)與數(shù)軸上的點之間建立一一對應(yīng)關(guān) 系.這種設(shè)想使古希臘學者畢達哥拉斯喊出他的哲理名言“萬物皆有數(shù)”（有理數(shù)）但是事實并非如此.畢

3、氏學派一學徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)了正方形的邊長與對角線不可公 度，即 V2 不是數(shù)（有理數(shù)），這就引發(fā)了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機，它動搖了古希 臘幾何理論的基礎(chǔ)，也第一次向人們揭示了有理數(shù)的缺陷 .它表明，雖然有理數(shù)密密 麻麻地排在數(shù)軸上，但并沒有鋪滿整條數(shù)軸，數(shù)軸上還有許許多多不能用有理數(shù)填補 的“空隙”.這個問題直到牛頓、萊布尼茨建立微積分時仍未得到解決 .一段時間后, 關(guān)丁實數(shù)連續(xù)性的公理才分別從不同的角度建立起來 包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第2 頁極限理論是微積分學的基礎(chǔ)，而極限的理論問題首先是討論存在性 .一個數(shù)列是 否有極限，不僅與該數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且與該數(shù)列所在的數(shù)集

4、有關(guān) .例如在有 理數(shù)集討論極限，則單調(diào)有界數(shù)列可能沒有極限.例如：單調(diào)有界的有理數(shù)列iVu、（an= 1 +I在單調(diào)有理數(shù)集上就沒有極限.這表明有理數(shù)集關(guān)丁極限運算不封 nJ閉.有理數(shù)集的這一不完備性（或稱不連續(xù)性）給極限理論的研究帶來很多不便之處. 然而，實數(shù)集關(guān)丁極限的運算是封閉的，即具有完備性（或連續(xù)性）.因此，將極限理論建立在實數(shù)集上，使微積分學建立在嚴密的基礎(chǔ)之上 .描述實數(shù)集的完備性有多種不同的方法.本文將介紹實數(shù)系完備性的七個等價定 理，從確界原理出發(fā)，證明與其等價的六個關(guān)丁實數(shù)集完備性定理.2 實數(shù)完備性的幾個基本定理2.1 確界原理：設(shè) S 為非空集合，若 S 有上界，則

5、S 必有上確界；若 S 有下界， 則 S 必有下確界.2.2 單調(diào)有界定理：在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.注：確界定理和單調(diào)有界定理在有理數(shù)集上不一定成立.例如：從中學數(shù)學出發(fā)，將無理數(shù)理解為不循環(huán)十進無盡小數(shù).取的有效不（an : a=1, a2=1.4 , a3=1.41 ,得到嚴格增加的有理數(shù)數(shù)歹 U （a”,它有上界/2 且收斂丁這表明單調(diào)遞增數(shù)列（an在有理數(shù)集中沒有極限.若記 A=（an護 N ，貝 U 隹 an寸 2 .A 為有界非空數(shù)集，但supA=V2 .這表明 A 在有理數(shù)集中沒有上確界.2.3 閉區(qū)問套定理：若（an ,bn是一閉區(qū)間套，即：1） an, bn =4

6、 an + ,炕七門=1,2,3 ,;2）監(jiān)藝（a- an ）=。；包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第3 頁則在實數(shù)集中存在唯一的一點 匕，使得 E ean,bn , n=1,2,3, 且=lim an=lim bn.注：閉區(qū)問套定理在有理數(shù)集上不一定成立同上例，將無理數(shù)理解為不循環(huán)十進無盡小數(shù).在1 , 2中分別取42的有效不足 近似值數(shù)歹 0 an :ai=1, a2=1.4 , a3=1.41 ,，過剩近似值數(shù)歹 0 bn:b =2, b2=1.5 ,b3=1.42 ,，這樣 an, bn構(gòu)成一閉區(qū)問套.則在實數(shù)系中存在唯一的 點-=0, 3NN+, Vn,mN , 有 anam

7、V&.柯西收斂準則乂稱完備性定理.從幾何上考察，一條數(shù)軸中所有的有理點雖然并 沒有填滿整條直線，但任何一個無理點都可以由一列有理點無限逼近， 而一個有理 點列an若收斂丁某一點，它一定是一個柯西點列（滿足以上條件的就是一個柯 西基本列）；反之，若有一個有理點列是柯西列，它是否一定收斂丁直線上的某個 點呢？從直觀上看，答案是肯定的.這便啟發(fā)了人們用有理數(shù)組成的柯西列代表一 個數(shù).但要注意到直線上不同的柯西點歹0可能收斂丁同一個點，所以在處理數(shù)歹 0 時 還要將那些柯西數(shù)列歸丁同一類.從直觀上來看，一個類就可以與直線上的一個點 對應(yīng).上述的想法提供了運用有理數(shù)集以及有理數(shù)中的柯西數(shù)列包頭師

8、范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第4 頁的等價類來定義實 數(shù)的方法.從而使實數(shù)理論建立在邏輯以及算術(shù)的基礎(chǔ)之上， 這便是康托爾實數(shù)系 完備性定理的基本思路.在用基本有理數(shù)列定義實數(shù)的方法中，上述定理是從有理 數(shù)域過渡到實數(shù)域的關(guān)鍵性定理.根據(jù)這個定理，在實數(shù)域內(nèi)，任何基本（實數(shù)）數(shù)列的極限都存在.3 實數(shù)集完備性的幾個基本定理的等價性證明在劉玉璉的數(shù)學分析教材中是以單調(diào)有界定理作為公理開始證明其它定理的 .本 文選擇的是以確界原理開始，依次證明其它的六個定理，最后再證明確界定理 .完成 了七個定理的等價性證明.具體順序如下：確界原理（A） n 單調(diào)有界定理（B） n 閉區(qū)問套定理（C） n

9、有限覆蓋定理（D） n 聚點定理（E） n 致密性定理（F） n Cauchy 收斂準則（G） n 確界原理（A）3.1A= B證明：不妨設(shè)an為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列an有上確界，記a =sup an,下面證明 a 就是an的極限.事實上，任給 60,按上確界的定義，存在數(shù)列an中的某一項 aN,使 aN 時，有 a-aaNan；另一方面，由丁 a 是 an的一個上界，故對一切 an，都有 anaN 時，有 a-&ana + &.即 liman= a.同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限等丁它的下確界 .3.2B= C證明：設(shè)an ,bn為一閉區(qū)間套，則它滿

10、足:(1) an, bn F a* bn*,n=1,2,3 ,；包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第5 頁河”（燈-an）=。； n_.于是有a a2., an%, bn, b2 b|. an為遞增有界數(shù)列根,bn為遞減有界數(shù)列.根據(jù)單調(diào)有界定理，an有極限E ,且有 an ，n=1,2,3 ,.同理，bn也有極限，且由（2 ）,有 |im a =|im bnan- an=|im bn-an+lim an=0+ =.且 bn占，n=1,2,3 ,.綜上，知an, bn.最后證明滿足 X an, bn中的，是唯一的.假設(shè) 3J R,使；w 虬，原】， n=1,2,3 , , . 丁是-Mb

11、n-an.根據(jù)保號性，有!牌土 - 土 |!四心（bn- an） =0 , 故有=.-占是唯一的3.3C = D證明：（用反證法）假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即H 中任意有限個開區(qū)間都不能覆蓋a,b.將a,b等分為兩個子區(qū)問，則其中至少有一個子區(qū)間不能被H 中有限個1_開區(qū)間覆蓋.I 己這個子區(qū)問為a1, b1，貝 U a，bj u a,b,且燈-% = （b - a）.再將2a ,加等分為兩個子區(qū)問，同樣，其中至少有一個子區(qū)間不能被H 中有限個開區(qū)問1_ _覆蓋.I 己 N 個子區(qū)間為a2, b2，貝 U & ,炬u % , bj ,且 b2- a2= 一（ b - a）.重復上4包頭師范

12、學院本科生畢業(yè)論文(設(shè)計)專用紙第6 頁述步驟，得到一個閉區(qū)問列(an,bn.它滿足：(1) &n*bnu M,bn】u a,b】，n=1,2,3,;1(2)lim (bnan戶 lim (ba )=0,即an, bn是一閉區(qū)間套；nr： J.：(3) 每一個閉區(qū)問為，bn都不能被 H 中有限個開區(qū)間覆蓋；而根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的一點 w an, a , n=1,2,3 ,，.使 氏 =口彖 .由丁 H 是a.b的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間(a ,E)在 H,使匕 (口，P).丁是，由區(qū)間套定理可推出：當 n 充分大時有an,bnu(a,E)，這 表明開區(qū)問an, bn只須用 H 中

13、的一個開區(qū)問(a ,E )就能覆蓋，與* bn構(gòu)成 時的假設(shè)“不能用 H 中有限個開區(qū)間覆蓋”相矛盾 ， 假 設(shè) 不 成立，即必存在屆丁 H的有限個開區(qū)間也能覆蓋a,b.3.4D = E證明：設(shè) E 為 R 中一個有界無窮點集，a 與 b 分別為 E 的下界與上界，丁是有E a,b.(用反證法)假如 E 中無聚點，貝 UX/x氣 a,b , x 都不是 E 的聚點，丁是存在 包含 x的開區(qū)問 Ix,使得Ix中僅有 E 中的有限多個點.顯然，開區(qū)間集 H=Ix|x 可 a,b是a,b的一個開覆蓋.根據(jù)有限覆蓋定理，從 H 中存在有限個區(qū) 問 X , 1x2, 1x3, , Ixn 也覆蓋a,b

14、,由丁 E=( X 門曰 U( 1x2 ”E)U , U(R門 E . 乂由已知 E 為無限集，顯然等式右邊為有限集，與已知 E 為無限集矛盾.這表明假設(shè) E 無聚點不成立.,E 中至少有一個聚點.3.5E = F證明：若數(shù)歹0an 有無限多項相等，設(shè) an=an2=, =ank=,顯然，常數(shù)數(shù)列以是收斂的子數(shù)列.包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第7 頁若數(shù)列七沒有無限多項相等，則有有界無限點集E=n N 1.根據(jù)聚點定理，E 至少有一個聚點.下面證明：存在子數(shù)列收斂丁匕.根據(jù)聚點定義，?。?1,an1 U ,1 .一 1 - 匕 1 U ,、取谷=,an在 U匕,要求 n1n2.22

15、 2 J取 & = 1, an/U -,-,要求 nknk.kk kJ如此無限進行下去，構(gòu)造了數(shù)列的子數(shù)列 Mk.因為N+,有-0,n :.亦在 N +, Wk N,有 ak-a 6.從而Vn a N 與 m a N ,分別有an- a s 與 am-a # .丁是，Vn, m a N ,有包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第8 頁充分性（u ）首先證明數(shù)列a有界.取& =1,：3Ni在 N 十 VnNi和 m。Ni,有 a”一am0a =aa +a aa + a c1 + aanan口m。m。 口nm。m。、口m。取 M=max% , a?,., aN1,1+|am。L

16、丁是，vnN 中有 anM ,即數(shù)列有界.根據(jù)致密性定理，數(shù)歹 U 穌存在一個收斂的子數(shù)歹 U 七氣.設(shè) ljm，an a .其次證明im, an= a .已知寸 aA。，三 N w N+,Vn,m a N,有anam| & .乂已知 lim a = a 即J. /k對上述同樣EA。,三 k 者 N 中 X/nka k,有 anka &.取 L=maXN, k,從而,Vn a L, m nka L ,同時有an_ank與 ank_a E.丁是，an _a|半n _ank|+|ank_a 2&，即lim an= a .nn3.7G= A證明：設(shè) S 為非空有上界數(shù)集，有實

17、數(shù)的阿基米德性，對任意正數(shù)a,存在整數(shù)Ka，使得電（=%為 S 的上界，而、-二=（KQ-1） a 不是 S 的上界，即存在 a 性 S, 使得：.（K-.-1）:-.an _am=ana +a am ana 十 a am2$.1.從而，寸 nNi,有包頭師范學院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）專用紙第9 頁_1分別取口 =-, n=1,2,3,，則對每一個正整數(shù) n,存在相網(wǎng)的 隊，使得K為 S n的上界，而扁-不是 S 的上界，故存在 a 性 S,使得知-【.nn乂對正整數(shù) m,蠕是 S 的上界。故有q。.結(jié)合上式得 知-y1，同理有 n虹-K -，從而得 I 摭-Kl0,存在正整數(shù) N,使得當 mm nm,nN 時，有|舄m-Xn|v&.由柯西收斂準則，數(shù)列人收斂.設(shè) lim 舄”=舄.n下面證明兀就是 S 的上確界.首先，對任意口 w S 和正整數(shù) n 有苴曷，由 lim 人n= %得口0,由【t 0 （nT皿）及 .：nlim 人n=7.則對充分大的 n,同時有1舄-”,乂因為知-【不是 S 的一個上界，n）二n 22n故存在a性 S,使得 a、丸n-1.結(jié)合上式得 a、丸-：-：=九-6 .這說明九為 S 的上確 界.同理可證：若 S 為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界。在這里，完成了七個基本定理的一種順序的循環(huán)證明.在實數(shù)系中