理論力學(xué)(機(jī)械工業(yè)出版社)第十一章動量矩定理習(xí)題解答

1、- 1 -習(xí)習(xí) 題題11-111-1 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在平面Oxy內(nèi)運(yùn)動，其運(yùn)動方程為：。其中a、b和 wtbytax2sin,cos均為常量。試求質(zhì)點(diǎn)對坐標(biāo)原點(diǎn)O的動量矩。 taxvxsin tbyvy2cos2 xmvymvLyxO )cos2cos22sinsin(tatbtbtam )cos2cos22sin(sinttttmab )cos2cos2cossin2(sintttttmab )2cos(sincos22tttmab tmab3cos211-211-2 C、D兩球質(zhì)量均為m，用長為 2 l的桿連接，并將其中點(diǎn)固定在軸AB上，桿CD與軸AB的交角為 ，如圖 11-25 所示。如

2、軸AB以角速度 w 轉(zhuǎn)動，試求下列兩種情況下，系統(tǒng)對AB軸的動量矩。 （1）桿重忽略不計(jì)；（2）桿為均質(zhì)桿，質(zhì)量為 2m。圖 11-25(1) 222sin2)sin(2mllmJz22sin2lmLz(2) 2202sin32d)sin(2mlxxlmJlz桿22sin38mlJz22sin38lmLz11-311-3 試求圖 11-26 所示各均質(zhì)物體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩。各物體質(zhì)量均為m。圖 11-26(a) 231mlLO(b) 22291)6(121mllmmlJO291mlLO- 2 -(c) 2222452312121mllmlmJO2245mlLO(d) 2222321mRmRmR

3、JO223mRLO11-411-4 如圖 11-27 所示，均質(zhì)三角形薄板的質(zhì)量為m，高為h，試求對底邊的轉(zhuǎn)動慣量Jx。圖 11-27面密度為 bhmA2在y處 bhybyyyhmybhybhmybbhmAmyAd2d2d2dd2微小區(qū)域?qū)τ趜軸的轉(zhuǎn)動慣量yyhyhmmyhJzd)(2d)(d222hhzmhyyhyyhhmyyhyhmJ002322222)413221(2d)2(2d)(2 261mh11-511-5 三根相同的均質(zhì)桿，用光滑鉸鏈聯(lián)接，如圖 11-28 所示。試求其對與ABC所在平面垂直的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量。圖 11-28 3)31(12122hmmlJzlh232222213

4、)121121(3)2331(121mlmllmmlJz11-611-6 如圖 11-29 所示，物體以角速度 w 繞O軸轉(zhuǎn)動，試求物體對于O軸的動量矩。(1) 半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，在中央挖去一邊長為R的正方形，如圖 11-32a 所示。(2) 邊長為 4a，質(zhì)量為m的正方形鋼板，在中央挖去一半徑為a的圓，如圖 11-32b 所示。圖 11-29- 3 -(1) 2126121RmmRJC221mmRRm2226136121mRRmmRJC) 1(mmmm2222679) 1(613mRRmmRRmJJCO2697mRJLOO(2) 21221)4(61amamJCmmaam1616

5、221222963256162138mamamaJCmmmm16161622229648896325681616963256)22(mRammaamJJCO296511024mR296102451mRJLOO11-711-7 如圖 11-30 所示，質(zhì)量為m的偏心輪在水平面上作平面運(yùn)動。輪子軸心為A，質(zhì)心為C，ACe；輪子半徑為R，對軸心A的轉(zhuǎn)動慣量為JA；C、A、B三點(diǎn)在同一直線上。試求下列兩種情況下輪子的動量和對地面上B點(diǎn)的動量矩：(1)當(dāng)輪子只滾不滑時(shí)，已知v vA；(2)當(dāng)輪子又滾又滑時(shí)，已知v vA、w。圖 11-30)()()(2meJeRmvJeRmvLAcCCB(1) RvA)

6、(eRvCRveRmmeJRvmeJRveRmLAAAAAB)()()(2222(2)- 4 -evvACCABJeRevmL)( )()()(2meJeRmeveRmAA )()(meRJveRmAA11-811-8 曲柄以勻角速度 w 繞O軸轉(zhuǎn)動，通過連桿AB帶動滑塊A與B分別在鉛垂和水平滑道中運(yùn)動，如圖 11-31 所示。已知OCACBCl，曲柄質(zhì)量為m，連桿質(zhì)量為 2m，試求系統(tǒng)在圖示位置時(shí)對O軸的動量矩。圖 11-31 (順時(shí)針)ABABOCOLLL231mlLOC222234322)()2)(2(1212mlmlmllmlmvLABCAB235mlLOC11-911-9 如圖 11

7、-32 所示的小球A，質(zhì)量為m，連接在長為l的無重桿AB上，放在盛有液體的容器中。桿以初角速度 w0繞O1O2軸轉(zhuǎn)動，小球受到與速度反向的液體阻力Fkmw，k為比例常數(shù)。問經(jīng)過多少時(shí)間角速度 w 成為初角速度的一半？圖 11-32 2mlLzkmlMzzzMtLdd得 lktdd ttlk0dd0 tlk0ln- 5 - 0lnklt 2lnklt 11-1011-10 水平圓盤可繞z軸轉(zhuǎn)動。在圓盤上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M作圓周運(yùn)動，已知其速度大小v0=常量，圓的半徑為r，圓心到z軸的距離為l，M點(diǎn)在圓盤上的位置由 f 角確定，如圖 11-33 所示。如圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為J，并且當(dāng)點(diǎn)M離z軸最遠(yuǎn)（

8、在點(diǎn)M0）時(shí)，圓盤的角速度為零。軸的摩擦和空氣阻力略去不計(jì)，試求圓盤的角速度與 f 角的關(guān)系。圖 11-33 0zM常常zL )(00rlmvLzcos)cos2(0022lmvrmvlrrlmJLzz )(cos)cos2(00022rlmvlmvrmvlrrlmJz )cos2()cos1 (220lrrlmJvmlz11-1111-11 兩個(gè)質(zhì)量分別為m1、m2的重物M1、M2分別系在繩子的兩端，如圖 11-34 所示。兩繩分別繞在半徑為r1、r2并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，設(shè)兩鼓輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO，試求鼓輪的角加速度。圖 11-34 222111rvmrvmJLOz11rv 22rv

9、 )(222211rmrmJLOz2211grmgrmMzzzMtLdd 2211222211)(grmgrmrmrmJO2222112211rmrmJgrmgrmO11-1211-12 如圖 11-35 所示，為求半徑R0.5m 的飛輪A對于通過其重心軸的轉(zhuǎn)動慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩的末端系一質(zhì)量為m18kg 的重錘，重錘自高度h2m 處落下，測得落下時(shí)間t116s。為消去軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為m24kg 的重錘作第二次試驗(yàn)，此重錘自同一高度落下的時(shí)間- 6 -t225s。假定摩擦力矩為一常數(shù)，且與重錘的重量無關(guān)，試求飛輪的轉(zhuǎn)動慣量和軸承的摩擦力矩。圖 11-35vRmRJmvRRvJ

10、mvRJLz)()()(2mgRMMzfzzMtLdd f2)(MmgRaRmRJRMmgRamRJ)()(f2 RMmgRthmRJ)(2)(f22 hRtMmgRmRJ2)(2f2第一次試驗(yàn)22165 . 0)5 . 08(5 . 082f2MgJ (1)4(322fMgJ第二次試驗(yàn) 22255 . 0)5 . 04(5 . 042f2MgJ (2)2(125.781fMgJ(1)-(2) f125.4625.281Mg mN0238. 6fM由(1)得 2fmkg6 .10592)4(32MgJ11-1311-13 通風(fēng)機(jī)風(fēng)扇的葉輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，以初角速度 w0繞其中心軸轉(zhuǎn)動，見圖 1

11、1-36。設(shè)空氣阻力矩與角速度成正比，方向相反，即Mkw，k為比例系數(shù)，試求在阻力作用下，經(jīng)過多少時(shí)間角速度減少一半？在此時(shí)間間隔內(nèi)葉輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？圖 11-36- 7 -剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程 kMtJdd tJkdd ttJk02dd00 tJk21ln 2lnkJt 11-1411-14 兩均質(zhì)細(xì)桿OC和AB的質(zhì)量分別為 50kg 和 100kg，在C點(diǎn)互相垂直焊接起來。若在圖11-37 所示位置由靜止釋放，試求釋放瞬時(shí)鉸支座O的約束力。鉸O處的摩擦忽略不計(jì)。圖 11-37ggggmgmMJezO125)10025(15 . 0)()(21F150100310035011002100121

12、15031222OJgg65150125質(zhì)心運(yùn)動定理125)10025(5 . 0212211mmamammayCyCCy0Cxma exCxFmaeyCyFma OxF021125WWFOy 0OxFgmgmFgOy2165125N449627565125150gggFOy11-1511-15 質(zhì)量為 100kg、半徑為 1m 的均質(zhì)圓輪，以轉(zhuǎn)速n=120r/min 繞O軸轉(zhuǎn)動，如圖 11-38 所示。設(shè)有一常力F F作用于閘桿，輪經(jīng) 10s 后停止轉(zhuǎn)動。已知摩擦因數(shù)0.1，試求力F F的大小。圖 11-38桿- 8 - 05 . 35 . 10NFFMON73FF 圓輪RFJOd RJFO

13、dNdFFRtJRJFFOOdNtmRnnRtmRRtJFFO14030721373732NN28.269101 . 0140120110011-1611-16 如圖 11-39 所示的帶傳動系統(tǒng)，已知主動輪半徑為R1、質(zhì)量為m1，從動輪半徑為R2、質(zhì)量為m2，兩輪以帶相連接，分別繞O1 和O2軸轉(zhuǎn)動，在主動輪上作用有力偶矩為M的主動力偶，從動輪上的阻力偶矩為。帶輪可視為均質(zhì)圓盤，帶質(zhì)量不計(jì)，帶與帶輪間無滑動。試求主動輪的角加M速度。圖 11-39主動輪 MRFFJO11T2T1)()(1從動輪 MRFFJO22T1T2)()(2即 (1)11T2T1211)(21RFFMRm (2)MRFF

14、Rm21T2T2222)(21因1221RR式(1)R2+(2) R1 1221222122112121RMMRRRmRRm 1212212122112121RMMRRRmRRm- 9 - 12122121)(21RMMRRRmm 22121121)()(2RRmmRMMR11-1711-17 如如圖 11-40 所示，電絞車提升一質(zhì)量為m的物體，在其主動軸上作用有一矩為M的主動力偶。已知主動軸和從動軸連同安裝在這兩軸上的齒輪以及其它附屬零件的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1 和J2 ；傳動比 z2:z1i；吊索纏繞在鼓輪上，鼓輪半徑為R。設(shè)軸承的摩擦和吊索的質(zhì)量均略去不計(jì)，試求重物的加速度。圖 11-40

15、主動軸MRFJ1t11)(1t21RFMiJ (1)1t1RFMaRiJ從動軸連重物vRmRJmvRRvJmvRJLO)(222222mgRRFMO2t222ddOMtLO (2)mgRRFaRmRJ2t22式(1)R2+(2) R11212221mgRRMRaRRmRJaRRiJ上式除以R1mgRMiaRmRJiJ22212212)(JiJmRRmgRMia11-1811-18 半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，沿傾角為 的斜面作純滾，如圖 11-41 所示。不計(jì)滾動- 10 -阻礙，試求：(1)圓輪質(zhì)心的加速度；(2)圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。圖 11-41(1) 圓盤的平面運(yùn)動微分

16、方程 )(eCCeyCyexCxMJFmaFmaF (1)FmgmaCsin (2)cos0NmgF (3)FrJC (4)raC由式(3)、(4)得 CmaF21代入式(1) sin32gaC由式(2) cosNmgF (2) cossin31sNsmgFmgF tan31stan31mins11-1911-19 均質(zhì)圓柱體A的質(zhì)量為m，在外圓上繞以細(xì)繩，繩的一端B固定不動，如圖 11-42 所示。圓柱體因解開繩子而下降，其初速度為零。試求當(dāng)圓柱體的軸心降落了高度h時(shí)軸心的速度和繩子的張力。圖 11-42 (1)TFmgmaARFJCT)( RFRamRAT221 (2)T21FmaA- 1

17、1 -由式(1)、(2)得 gaA32mgF31T ghhghavAA332322211-2011-20 如圖 11-43 所示，有一輪子，軸的直徑為 50mm，無初速地沿傾角的軌道滾下，設(shè) 20只滾不滑，5 秒內(nèi)輪心滾過距離s=3m。試求輪子對輪心的回轉(zhuǎn)半徑。圖 11-43與習(xí)題 11-18 類似，此處 2mJC (1)FmgmaCsin (2)cos0NmgF (3)FrJC (4)raC由式(3)、(4)得 22ramFC代入式(1) 22/1sinrgaC而 221tasC24. 0532222tsaC即24. 0/120sin22rg ) 124. 020sin(22gr mm02.

18、909658.1225124. 020sin8 . 925124. 020singr11-2111-21 重物A質(zhì)量為m1，系在繩子上，繩子跨過不計(jì)質(zhì)量的固定滑輪D，并繞在鼓輪B上，如圖 11-44 所示。由于重物下降，帶動輪C沿水平軌道滾動而不滑動。設(shè)鼓輪半徑為r，輪C的半徑為R，兩者固連在一起，總質(zhì)量為m2，對于其水平軸O的回轉(zhuǎn)半徑為。試求重物A的加速度。圖 11-44- 12 -重物AT11FgmamA (1)AamgmF11T鼓輪B和輪CFRrFJOOT)( (2)FRrFrRamAT22 FFamOT2 (3)FFRrRamAT2由式(2)、(3)消去F得 RFrFRrRamrRam

19、AATT2222 )(T222rRFrRRamA將式(1)代入上式 )(11222rRamgmrRRamAA )()(11222rRgmrRamrRRamAA )()()(2222121RmrRmrRgmaA11-2211-22 半徑為r的均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m，放在粗糙的水平面上，如圖 11-45 所示。設(shè)其中心C的初速度為v v0，方向水平向右，同時(shí)圓柱如圖所示方向轉(zhuǎn)動，其初角速度為 w0，且有rw0v0。如圓柱體與水平面的摩擦因數(shù)為，問經(jīng)過多少時(shí)間，圓柱體才能只滾不滑地向前運(yùn)動，并求該瞬時(shí)圓柱體中心的速度。圖 11-45由 mgFFmaCN得 gaC由 FrJC )(mgrmr221- 13

20、 -得 rg2 gtvtavvCC00 trgt200純滾時(shí) rvC即 gtrgtv200 gtrv300 grvt300 32000rvgtvvC11-2311-23 如圖 11-46 所示，長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB一端系在細(xì)索BE上，另一端放在光滑平面上，當(dāng)細(xì)索鉛直而桿靜止時(shí)，桿對水平面的傾角 f45，現(xiàn)細(xì)索突然斷掉，試求桿A端的約束反力。圖 11-46細(xì)索突然斷掉瞬時(shí) 0質(zhì)心運(yùn)動守恒，C點(diǎn)沿鉛垂線向下運(yùn)動基點(diǎn)法(以A為基點(diǎn)，分析C點(diǎn)) nCACAACaaaa 0nCAa CAACaaa (1)cosCACaa 平面運(yùn)動微分方程 (2)CmaGFN (3)cos2)(121N2lFml

21、由式(1)代入式(2)得 cos2NlmmgF再代入式(3)得 lglgl)cos31 (cos6)cos41121(cos2222- 14 -由(3)得 2Ncos31cos6mgmlF當(dāng)時(shí)， 45mgF52N11-2411-24 如圖 11-47 所示的均質(zhì)長方體質(zhì)量為 50kg，與地面間的動摩擦因數(shù)為 0.2，在力F F作用下向右滑動。試求：(1)不傾倒時(shí)力F F的最大值；(2)此時(shí)長方體的加速度。圖 11-47長方體平動 0平面運(yùn)動微分方程 (1)CmaFFd54 (2)053NmgFF (3)150(30015053300540NddFFFF )53(NdFmgFF臨界狀態(tài)0d由式(

22、3)得 0150300150NdFFF 02NdFFF 0)21 (NFF 0)53)(21 (FmgF 0)21 (53)21 (1 mgF N18.21636. 16 . 053)4 . 01 (1)4 . 01 (53)21 (1)21 (mgmgmgF此時(shí) )53(dFmgF由式(1)得508 . 9502 . 02 .21692. 02 . 092. 0)53(5454dmmgFmFmgFmFFaC- 15 - 2m/s02. 2Ca11-2511-25 如圖 11-48 所示的均質(zhì)長方形板放置在光滑水平面上。若點(diǎn)B的支承面突然移開，試求此瞬時(shí)點(diǎn)A的加速度。圖 11-48點(diǎn)B的支承面

23、突然移開 0質(zhì)心運(yùn)動守恒，C點(diǎn)沿鉛垂線向下運(yùn)動基點(diǎn)法(以A為基點(diǎn)，分析C點(diǎn)) nCACAACaaaa 0nCAa CAACaaa cosCACaa ACaCA故 (1)2coslACaC平面運(yùn)動微分方程 (2)ACFmgma (3)2)(12122lFblmA由式(1)代入式(2)得 2lmmgFA再代入式(3)得 2)2()(12122llmmgblm222224641)(1212blglmlblmmgl222432blgllaC222224343tanblglblbblglaaCA11-2611-26 均質(zhì)細(xì)長桿AB，質(zhì)量為m，長為l，CDd，與鉛垂墻間的夾角為 ，D棱是光滑的。在圖- 1

24、6 -11-49 所示位置將桿突然釋放，試求剛釋放時(shí)，質(zhì)心C的加速度和D處的約束力。圖 11-49 (1)exCxFmacosDCxFma (2)eyCyFmamgFmaDCysin (3)(eCCMJFdFmlD2121基點(diǎn)法(以D為基點(diǎn)，分析C點(diǎn)) ()nDCDDCDCDCaaaaaa0nDCa (4)cossinCDDCxaaa (5)sincosCDDCyaaa由(3)得 (6)dmlFD122將式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2)cos12)cossin(2dmlaamCDDmgdmlaamCDDsin12)sincos(2即cos12)cossin(2dmlaamCDDmgd

25、mlaamCDDsin12)sincos(2 (7)cot12cot2dlaaCDD (8)costan12tan2gdlaaCDD(7)+(8)得cos)cot(tan12)cot(tan2gdlaCDdaCD22212sin12)cot)(tan12(coslddgdldg代入(3)得- 17 -22212sinldmglFD由(1)得 22212cossincosldglmFaDCx由(2)得gldldmmgFaDCy2222212cos12sin11-2711-27 均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，如圖 11-50 所示。摩擦忽略不計(jì)。試求：(1)圓柱體B下落時(shí)質(zhì)心的加速度；(2)若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。圖 11-50(1)圓柱體ArFJAOT)( rFramrAT221 (1)T21FmaA圓柱體BrFJBBT)( rFraamrABT221 (2)T)(21FaamAB (3)TFmgmaB式(1)+(2)，得T221FmaB 4TBmaF 代入式(3)，得- 18 -gaB54(