陜西省西安市臨潼區(qū)高三數(shù)學第四次自主命題理

1、華清中學 20152016 學年度第 4 次自主命題數(shù)學（理）試題說明：測試時間：120 分鐘總分： 150 分一選擇題 : 本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分 .1. 設集合 M=，N=，則=()A . （1,1 ）B. （-1,1 ），（1,1 ）C.D.2. 設為虛數(shù)單位，則=（）A.B.C.D.3. 已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的的比值A.1B.C.D.4. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（）A.B.C.D.5. 已知，滿足約束條件，若的最大值為4，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6如圖水平放置的正方形，在直角

2、坐標系中，點的坐標為(2,2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點到軸的距離為()AB1CD27 4 位外省游客來臨潼旅游，若每人只能從兵馬俑、華清池、驪山中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為（）-1- / 11A.B.C.D.8.若為等差數(shù)列的前n 項和，則與的等比中項為（）A.B.C.D.9直線的傾斜角是（）A.B.C.D.10已知函數(shù)在時的切線和x 軸交于，若，則數(shù)列的前 n 項和為（）A.B.C.D.11.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、，O為坐標原點 . 若雙曲線的離心率為2，三角形 AOB的面積為，則=（）A1BC.2D.312設函數(shù)，其中為正實數(shù)

3、，若在上無最小值，且在上是單調(diào)遞增函數(shù)， 則曲線與曲線在上的交點個數(shù)為（）ABC.D.二. 填空題 : 本大題共 4 小題 , 每小題 5分,共 20分 , 把答案填在答卷紙的相應位置上.13.在的展開式中含項的系數(shù)是 _. ( 用數(shù)字填寫答案 )14.由曲線，直線及 y 軸所圍成的封閉圖形的面積為.15.已知是內(nèi)一點，且. 若的面積分別是，則的最小值為.16. 公元前世紀，古希臘歐幾里得在幾何原本里提出：“球的體積 () 與它的直徑 ()-2- / 11的立方成正比” ，此即，歐幾里得未給出的值世紀日本數(shù)學家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”或“玉積率”類似地

4、，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長）假設運用此體積公式求得球（直徑為）、等邊圓柱（底面圓的直徑為）、正方體（棱長為）的“玉積率”分別為、，那么.三、解答題 : 共 6 小題，共70 分 .解答應寫出必要的文字說明，演算步驟或證明過程.17. （本小題滿分 12 分）已知向量，設函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，角的對邊分別為，且滿足，, 求的值 .（本小題滿分12 分）為了開展全民健身運動，市體育館面向市民全面開放，實行收費優(yōu)惠，具體收費標準如下：鍛煉時間不超過1 小時，免費；鍛煉時間為1 小時以上

5、且不超過2 小時，收費2 元；鍛煉時間為2 小時以上且不超過3 小時，收費3 元；鍛煉時間超過3 小時的時段，按每小時3 元收費（不足1 小時的部分按1 小時計算） .已知甲、乙兩人獨立到體育館鍛煉一次，兩人鍛煉時間都不會超過3 小時，設甲、乙鍛煉時間不超過1 小時的概率分別是0.4 和 0.5 ，鍛煉時間為1 小時以上且不超過2 小時的概率分別是 0.5 和 0.3.(1) 求甲、乙兩人所付費用相同的概率；(2) 設甲、乙兩人所付費用之和為隨機變量，求 的分布列和數(shù)學期望.，,-3- / 11（本小題滿分12 分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，左右焦點分別為.(1) 求橢圓的方程；(2) 若直線

6、與橢圓交于兩點，與以為直徑的圓交于兩點，且滿足，求直線的方程.（本小題滿分12 分）已知函數(shù)( 為自然對數(shù)的底數(shù)) ，(1)若，求證：當時，；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，試求的取值范圍；(3) 求證：請考生在第 (22)(23)(24)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題目計分（本小題滿分10 分）選修4 1：幾何證明選講如圖，已知是的直徑，,交于點，垂足為E，連接交于點. 求證：(1)是的切線；(2).（本小題滿分10 分）選修4-4 ：坐標系與參數(shù)方程已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，且長度單位相同直線的極坐標方程為：，點，參數(shù)-4- / 11(1)

7、求點軌跡的直角坐標方程；(2) 求點 到直線 距離的最大值（本小題滿分10 分）選修45：不等式選講已知函數(shù).(1)求使為常數(shù)函數(shù)的的范圍；(2)當時，證明：.-5- / 11華清中學第四次自主命題理科數(shù)學參考答案一、選擇題題號123456789101112答案DBDABADCBDCD二、填空題13、 -960 14、15、6 16、三、解答題17 、解： (1)單調(diào)增區(qū)間：(2).18、解：設”甲、乙付費0 元， 2 元， 3 元“分別為事件，則(1)設”甲、乙兩人所付費用相同“為事件，則(2)的可能取值為0,2,3,4,5,6的分布列為023456-6- / 11P0.20.370.130

8、.150.130.0219、解： (1) 證明：設PA中點為 G，連結 EG，DG， PABE，且 PA=6， BE=3， BEAG，且 BE=AG，四邊形 BEGA是平行四邊形， EGAB，且 EG=AB，正方形 ABCD， CD AB， CD=AB， EGCD，且 EG=CD，四邊形CDGE是平行四邊形，CE DG， DG? 平面 PAD，CE?平面 PAD， CE平面 PAD(2) 如圖，以 A為原點， AB為 x 軸， AD為 y 軸， AP為 z 軸，建立空間直角坐標系，則 C（ 6， 6， 0）， E（ 6，0， 3）， P（ 0， 0，6）， D（ 0， 6， 0），=（ 0，

9、6， 6），=（6， 6， 6），=（ 6， 0， 3），設平面 PCE的一個法向量為=（ x， y， z），取 z=1，得 =（ 1， 1， 2），設 PD與平面 PCE所成有為，則 sin =|cos |=， PD與平面 PCE所成角的正弦值為(3) .20、解： (1)由題設解得，-7- / 11橢圓的方程為.(2)由題設，以為直徑的圓的方程為，圓心到直線的距離，由得.(*). 設，由得，.由得，解得，滿足 (*).直線的方程為或.21. 解： (1) f ( x) ex1x2，記 h( x) f ( x) ex x， 2則 h ( x) ex 10( x 0) f ( x) 在(0 ，

10、 ) 上遞增， f ( x) f (0) 1 0.f ( x) 在 (0 ， ) 上單調(diào)遞增，故f ( x) f (0) 1.(2)( 方法 1) f ( x) ex 2kx，下面求使 f ( x) 0( x 0) 恒成立的 k 的取值范圍若 k 0，顯然 f ( x) 0， f ( x) 在區(qū)間 (0 ， ) 上單調(diào)遞增；-8- / 11記 ( x) ex 2kx，則 ( x) ex2k，1 x0當 0 k 2時， e e 1， 2k 1， ( x) 0，則 ( x) 在 (0 ， ) 上單調(diào)遞增，于是 f ( x) ( x) (0) 1 0， f ( x) 在(0 ， ) 上單調(diào)遞增；1當

11、 k 2時，( x) 在 (0 ， ln 2 k) 上單調(diào)遞減，在 (ln2 k， ) 上單調(diào)遞增，于是 f ( x) ( x) (ln 2 k) eln 2 k 2kln 2k，ln 2 k1e由 e 2kln 2 k0得 2k 2kln 2 k0，則 2k 2.e綜上， k 的取值范圍為 ， 2 .x( 方法 2) f ( x) e 2kx，ex下面求使 f ( x) 0( x 0) 恒成立的 k 的取值范圍即k 2x( x 0) 恒成立，ex1 ex·xex·1 1 ex（x1）記 ( x) 2x( x 0) ，則 ( x) 2·x22·x2( x

12、 0) ，() 在 (0 ， 1) 上單調(diào)遞減，在 (1 ， ) 上單調(diào)遞增x( x) (1) eeemin2，則 k2( x 0) k 的取值范圍為，2 .x1 2(3) 由 (1) 知，對于 x (0 ， ) ，有 e 2x 1，2 x2則 ln(2 x2 2x， e 2x 1. 1)22*從而 lnn41 n2( nN ) ，于是 ln2 1 ln 2 1 ln2 1 ln2 1142434n42222 12 22 32 n22222 12 1×2 2×3 （n1）×n11111 22(1 22 3 n1 n)2 4n 4，故 1421 2421 3421

13、n421 e4( n N* ) 22 、(1) 連接 OD.-9- / 11OB=ODOBD=ODBAB=ACABC=ACBODB=ACBODAC又 DE AC ODDE既 DE是 O的切線 .(2) 連接 AD， DE AC又 AB是 O的直徑， AD DC，而 DE 切 O于點 D ，=EF·BE AE· EC=EF·BE23、解：（ 1）設點 P（ x，y）， P（2cos ， 2sin +2），且參數(shù)，所以點 P 的軌跡的直角坐標方程為22x +（ y 2） =4.（ 2） =，=5，即直線 l 的直角坐標方程為由（ 1）知點 P 的軌跡方程為x2+（ y2） 2=4，是圓心為（ 0， 2），半徑為2 的圓圓心到直線的距離d=4，點 P 所在的圓與直線l 相離，點 P 到直線 l 距離的最大值4+2=6. 2x， x 1，24、 (1) f(x) |x 1| |x 1