第三章機(jī)械能定理ppt課件

1、第三章機(jī)械能定理3.1.1 功與功率功與功率abFl d力的空間累積量：功力的空間累積量：功元功元功dzFdyFdxFFdlFFdlFl dFdWzyx/)( 切/FF變力沿曲線作功質(zhì)點(diǎn)從 a 到 b 的運(yùn)動(dòng)過程中，力 F 所作的功bal dFW在SI中，功的單位是 Nm (牛米)，又稱 J (焦耳)，即有J =Nm。abFl d/FF重力功重力功mghzzmgmgdzl dgmWabbaba)()(z平面xyabazbzPl dgmO重力對(duì)物體所作的功只與物體初始位置和終止位置有關(guān)， 與經(jīng)過的途徑無關(guān)。彈力功彈力功OaxbxFkxFxx x+dxk)(21)(22baxxxxxxxxxkdx

2、kxdxFl dFWbababa彈力對(duì)物體所作的功只與物體初始位置和終止位置有關(guān)， 與其間經(jīng)過的途徑無關(guān)。質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中受多個(gè)力作用時(shí)分力作功之和等于合力作功WldFldFldFldFWbabaiibaiiibaiii )(一對(duì)作用力與反作用力：),(21FFOS系1r2r21rP1P21F2F21212212222122211)()()(rdFrrdFrdrdFrdFrdFrdFrdFdW在一切相對(duì)平動(dòng)的參考系中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的一對(duì)作用力與反作用力作功之和都一樣受牛頓第三定律徑向力約束在恣意參考系中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的一對(duì)作用力與反作用力作功之和都一樣萬有引力功萬有引力功abFrddrrMmG

3、rdrrMmGrdrrMmGl dFdW2/33rrMmGF3Mdrrd/rmM系abrrGMmW11與途徑無關(guān)rrrFF)(rdrrdr彈力和萬有引力都是徑向力barrdrrFW)(rrQqkF3barrkQqW11功率功率vFdtl dFdtl dFdtdWP功率 P ：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功：dtdWP 設(shè) F 作用的對(duì)象在 dt 時(shí)間的位移量為 dlvFP在SI中，功率單位特稱W瓦特，即有W = J/s3.1.2 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理abFl dF任一慣性系S中，合力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作元功dlFl dFdW/牛頓第二定律的切向分量式dtdvmmaF/代入得221mvdmvdvdtdl

4、mdvdldtdvmdW221mvdmvdvvdvmdtldvmdlddtvdmdW/F在S系中定義質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：221mvEk質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的添加量合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的添加量微分式kdEdW 積分式kEW 非慣性系中引入慣性力作功量，它與真實(shí)力作功量之和也等于質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中動(dòng)能的增量。kdEdWdW慣質(zhì)點(diǎn)系在某慣性系的動(dòng)能ikikEE質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：kEWW外內(nèi)非慣性系中引入各質(zhì)點(diǎn)所受慣性力作功之和W慣，也可有相應(yīng)的“質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理kEWWW外內(nèi)慣內(nèi)力能否作功?hlmAFv0hlAv0O試求 F 的功率lhlFvFvvFP22000cosmma

5、mgTF0222dtdldtldarsin0vdtdl22dtldam?PA點(diǎn)以v0勻速程度運(yùn)動(dòng)mmamgTF0vFP解法二tanhx 求導(dǎo)20coshv coshl 求導(dǎo)sincossin02vhlmahvvl3200coscos hlAv0O例2長(zhǎng) L、質(zhì)量 M 的平板放在光滑程度面上，質(zhì)量 m 的小木塊以程度初速 v0 滑入平板上外表，兩者間摩擦系數(shù)為，試求小木塊恰好未能滑離平板上外表的條件。mv0M, L小木塊運(yùn)動(dòng)到平板右端時(shí)與平板速度一樣0)(mvvmM過程中 m 與 M 間一對(duì)摩擦力作功mgLW地面慣性系中動(dòng)能定理2021221)(mvvmMWgLMmMv220解法一解法一在隨木板

6、運(yùn)動(dòng)的非慣性系中木塊以初速 v0 滑入，最后靜止在木板右端。在這個(gè)過程中，摩擦力和慣性力做功。平動(dòng)加速度Mmga0木塊所受慣性力MmgmFi動(dòng)能定理2021mvmgLLMmgmMmMgLv220解法二解法二解法三解法三當(dāng)作兩體問題處置木塊以初速 v0 滑入，最后靜止在木板右端。2021vmMMmmgLMmMgLv220第三章作業(yè)第三章作業(yè)A組組4、7、8、9、1012、17、18、20、22、24B組組26、29、33、343.2.1 保守力力的沖量21tt “道路獨(dú)一力作的功21rr“道路不獨(dú)一從作功的角度，力可分為作功量與路徑有關(guān)非保守力作功量與路徑無關(guān)保守力 摩擦力、空氣阻力就是典型的非

7、保守力自然界一切的根本力都是保守力兩點(diǎn)之間的能夠途徑ABPL1L2在恣意位置上取一個(gè)“規(guī)范點(diǎn) P從A到B保守力作的功APBPBPAPPBAPABWWWWWWW定義質(zhì)點(diǎn)在S系的每一個(gè)位置的勢(shì)能：參考點(diǎn)rpl dFrE)(計(jì)算保守力所作的功守恒的理念：動(dòng)能的添加等于勢(shì)能的減少pkEE勢(shì)能零點(diǎn)的選擇具有恣意性，實(shí)踐中常選 F = 0 點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。恣意點(diǎn)的勢(shì)能等于將質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)挪動(dòng)到參考點(diǎn)保守力作的功參考點(diǎn)rpl dFrE)(勢(shì)能的減少 = 保守力作功 = 動(dòng)能的添加mghEp重心等勢(shì)面：勢(shì)能相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面重力的等勢(shì)面是一程度面221kxEp勢(shì)能是保守力作功引起的，勢(shì)能終究“藏在系統(tǒng)何處？力從哪里

8、來？場(chǎng)-引力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電磁場(chǎng)等等勢(shì)能藏在場(chǎng)中場(chǎng)又從哪里來場(chǎng)又從哪里來? ?OxOS系1r2r21rP1P21F2F兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相互作用是一對(duì)保守性作用力和反作用力系統(tǒng)勢(shì)能的定義：兩個(gè)力的作功之和等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少量系統(tǒng)勢(shì)能只依賴于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置， 且在一切參考系中都是一樣的。對(duì)于兩體系統(tǒng)，系統(tǒng)勢(shì)能又稱為二體勢(shì)能rMmGrErEpp)()( rQqkrEp)(3.2.3 勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù)普通是空間的三元函數(shù)),()(zyxErEEppp如何由勢(shì)能函數(shù)求保守力? 一維情況)(xEEpp勢(shì)能函數(shù)保守力 F 是 x 方向的)( ,xFFiFFxxxdxFdExp勢(shì)能與保守力有關(guān)系dxd

9、EFpx三維情況保守力 F 普通也是三元函數(shù)),()(zyxFrFFdzFdyFdxFl dFdEzyxp勢(shì)能與保守力有關(guān)系勢(shì)能的全微分公式dzzEdyyEdxxEdEppppkzEjyEixEFppp引入哈密頓算符kzjyixpEF勢(shì)能曲線一維勢(shì)能函數(shù)對(duì)應(yīng)的 Ep - x 曲線稱為勢(shì)能曲線；二維的稱為勢(shì)能曲面。例 二體引力勢(shì)能對(duì)應(yīng)的勢(shì)能曲線rMmGrEp)( Epr思索題 半徑為R的光滑圓環(huán)繞豎直軸以0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，圓環(huán)上套一小球，試確定其穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置。0RO例4 均勻柱形彈性體：勁度系數(shù) k、 自在長(zhǎng)度 L，質(zhì)量 m， 求豎直懸掛時(shí)的伸長(zhǎng)量和彈性勢(shì)能。均勻柱形彈性體的性質(zhì)：均勻柱形彈性體的性

10、質(zhì)：原長(zhǎng) L 中恣意一段 l 的勁度系數(shù)klLkl受力 F 時(shí)，2)(21 , ,/LkELLllkFLpOx對(duì)應(yīng)原長(zhǎng) x 處 dx 段的勁度系數(shù)kdxLkdx受力mgLxL該小段的伸長(zhǎng)量dxkmgLxLdl2總伸長(zhǎng)量kmgdlLL2022內(nèi)含彈性勢(shì)能kgmdlkELdxp6)(212202223.3.1 機(jī)械能定理機(jī)械能定理從力學(xué)的角度看，質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力或是保守性的，或是非保守性的。外力非保守性內(nèi)力保守性內(nèi)力質(zhì)點(diǎn)系受力慣性系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：kEWWW外內(nèi)非保內(nèi)保將保守性內(nèi)力作功之和用它們的勢(shì)能替代，動(dòng)能定理可改寫為)(pkEEWW外內(nèi)非保質(zhì)點(diǎn)系中各對(duì)保守性內(nèi)力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能之和 Ep各對(duì)保

11、守性內(nèi)力作功之和W內(nèi)保便等于Ep的減少量pEW內(nèi)保非保守性內(nèi)力作功之和W內(nèi)非保，外力作功之和W外定義質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能與內(nèi)勢(shì)能之和為質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能 pkEEE質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能定理一切非保守內(nèi)力作功與一切外力作功之和等于質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能添加量EWW外內(nèi)非保質(zhì)點(diǎn)系所受外力也可進(jìn)一步分為保守性的和非保守性的。保守性的外力也有對(duì)應(yīng)的外勢(shì)能非慣性系中各質(zhì)點(diǎn)所受保守性慣性力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能之和 Ep慣EWWW外內(nèi)非保慣非保其中慣ppkEEEE3.3.2 3.3.2 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律動(dòng)能由各質(zhì)點(diǎn)速度確定，勢(shì)能由系統(tǒng)本身幾何位置和外形確定，速度和幾何位形都是運(yùn)動(dòng)形狀的表征，因此機(jī)械能是由系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形狀確定的力學(xué)量。動(dòng)能勢(shì)能

12、保守力作功機(jī)械能其它方式的能量非保守力作功除機(jī)械能外，還有許多其它方式的能量機(jī)械能守恒定律為守恒量則若過程中恒有外內(nèi)非保 , 0 , 0 :EdWdW能量守恒定律這條定律支配著至今我們所知道的一切自然景象，沒有發(fā)現(xiàn)這條定律有什么例外。例例 6 某慣性系中質(zhì)量各為某慣性系中質(zhì)量各為m，M的質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)A，B。 開場(chǎng)時(shí)相距開場(chǎng)時(shí)相距l(xiāng)0，A靜止，靜止，B沿連沿連線向外以線向外以v0運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 在力在力 F 作用下，作用下，B作勻速運(yùn)動(dòng)。作勻速運(yùn)動(dòng)。 (1) 試求試求A、B間距可到達(dá)的最間距可到達(dá)的最大值大值lmax (2) 此過程中變力此過程中變力F所作的功。所作的功。mM0vABl0F先定性分析

13、A、B的運(yùn)動(dòng)選擇適宜的參考系隨B運(yùn)動(dòng)的慣性系利用機(jī)械能守恒定律020max21lMmGmvlMmGmaxl利用機(jī)械能定理020max2021)(21lMmGMvlMmGvMmW另外一種情況mM0vABl0F例7 半徑為R的勻質(zhì)圓環(huán)形光滑細(xì)管放在光滑的程度面上，管內(nèi)有兩個(gè)一樣質(zhì)量的小球，它們的初速度一樣，如下圖。求1兩球相碰時(shí)離管道中心的間隔。2從小球穿出缺口到相碰，管道程度經(jīng)過的路程。OROR動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒例例 9 長(zhǎng)長(zhǎng)L的勻質(zhì)軟繩絕大部分沿長(zhǎng)度部分的勻質(zhì)軟繩絕大部分沿長(zhǎng)度部分放在光滑程度放在光滑程度 桌面上，僅有很少一部分懸掛在桌面桌面上，僅有很少一部分懸掛在桌面外。而后繩將從外。而后繩

14、將從 靜止開場(chǎng)下滑。問繩能否到達(dá)圖靜止開場(chǎng)下滑。問繩能否到達(dá)圖b形狀？形狀？ 假設(shè)否，繩滑下多長(zhǎng)時(shí)會(huì)甩離桌邊？假設(shè)否，繩滑下多長(zhǎng)時(shí)會(huì)甩離桌邊？LL分析物理過程abc利用機(jī)械能守恒定律2)()(212lglvL繩的程度方向動(dòng)量llLLgvlLpx)(/)(時(shí)，存在極大值2/Ll NLLl將碰撞的物體模型化為質(zhì)點(diǎn)將碰撞的物體模型化為質(zhì)點(diǎn)宏觀世界經(jīng)常會(huì)發(fā)生物體間的碰撞碰撞的特點(diǎn)：碰撞時(shí)間普通很短， 物體的動(dòng)量有明顯變化， 碰撞力很大， 常規(guī)力(如重力)與其相比提供的沖量可略碰撞的根本問題：知碰撞前系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形狀， 要求確定碰撞后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形狀。碰撞景象普遍存在！起跳和落地時(shí)的肌肉和筋腱起跳和落地時(shí)的

15、肌肉和筋腱足球、排球、體操等運(yùn)動(dòng)中，膝部要接受多達(dá)7-14倍的峰值體重3.1 一維碰撞一維碰撞m1m22010vv20vm1m21v12vv 碰撞前碰撞后碰撞前后動(dòng)量守恒：2021012211vmvmvmvm為解v1，v2，還需建立補(bǔ)充方程彈性碰撞碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能不變機(jī)械能守恒2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)( ,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv兩個(gè)解：一解對(duì)應(yīng)碰前形狀，另一解對(duì)應(yīng)碰后形狀。具有相同對(duì)稱性果對(duì)稱性置具有下因因果對(duì)稱關(guān)聯(lián) :換 2 1, 標(biāo) : 性質(zhì)：碰撞前后相對(duì)速度大小不變201012vvvv特例特例

16、1：21mm 201vv 102vv 0 2012vmm且101vv反彈特例特例2：碰后交換速度完全非彈性碰撞2120210121mmvmvmvv碰后質(zhì)點(diǎn)1和2一同運(yùn)動(dòng)21vv 碰后動(dòng)能損失220102121)(21vvmmmmE損非彈性碰撞介于彈性與完全非彈性之間的碰撞引入恢復(fù)系數(shù)10 ,201012evvvve21102012022120102101)()1 ()()1 (mmvvmevvmmvvmevv2201021212)()1 (21vvmmmmeE損三體碰撞三體碰撞m1m22010vv3020vv30v完全非彈性碰撞有獨(dú)一解碰撞前后動(dòng)量守恒：303202101332211vmvmv

17、mvmvmvm230322022101233222211212121212121vmvmvmvmvmvm解依然具有的不定性模型的問題模型的問題彈性碰撞將物體剛性化與質(zhì)點(diǎn)化3.4.2 二維斜碰撞二維斜碰撞動(dòng)量守恒方程2021012211vmvmvmvmm1m210v20v1v2v完全非彈性碰撞有獨(dú)一解彈性碰撞2202210122221121212121vmvmvmvm假設(shè)再補(bǔ)充一個(gè)角度關(guān)系那么有獨(dú)一解解的不定性源于物體的剛性化與質(zhì)點(diǎn)化四個(gè)未知標(biāo)量四個(gè)未知標(biāo)量例11 采用二體約化質(zhì)量方法， 計(jì)算二體正碰撞過程中系統(tǒng) 動(dòng)能損失。碰撞過程中動(dòng)能損失量由內(nèi)力作功引起，因此在一切參考系中一樣。12v012v引入恢復(fù)系數(shù)10 ,0eevv利用動(dòng)能定理202220)1 (212121vevvWE內(nèi)損二體約化質(zhì)量2121mmmm轉(zhuǎn)換到其它參考系，質(zhì)點(diǎn)1，2初速分別記為v10，v20，那么有21020210200)()1 (21 ,vveEvvv損完全非彈性非彈性彈性 :0 ;:01 ; :1eee習(xí)題3-3 質(zhì)量同為m的兩個(gè)小球，用