2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六單元圓滾動(dòng)小專題(七)與圓有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí)

1、滾動(dòng)小專題(七)與圓有關(guān)的計(jì)算與證明類型1與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明1 .如圖，00是4ABC的外接圓，AB是。0的直徑，D為。0上一點(diǎn)，OtXAG垂足為 E,連接BD.(1)求證：BD平分/ABC(2)當(dāng)/ODB=30° 時(shí)，求證：BC= OD.證明：(1) .ODLAG OM半徑，CD= AD，/CBD= Z ABD.BD平分/ ABC.(2) -. OB= OD.ZOBD= /ODB= 30° .，/ A OD= Z OBD- /ODB= 30° +30° =60°又ODL AC 于 E, . / OEA= 90° .，/A

2、= 180° /OEA" /AOD= 30° .又AB為。0 的直徑，/ACB= 90° .1在 RtACB 中，BC= 2AB.1又,.。氏,AB,，BC= OD.2. (2018 溫州)如圖，D是ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接 AD,作4ABD的外接圓，將 ADC沿直線 AD折疊，點(diǎn) C的 對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在。0上.(1)求證：AE= AB;(2)若/CAB= 90° , COSZADB=1, BE= 2,求 BC的長(zhǎng). 3解：(1)證明：由題意，得 AD且AADC，/AED= /ACD AE= AC. . /ABD= / AED ./ABD= /

3、ACD.AB= AC, .1. AE= AB.(2)過(guò)點(diǎn)A作AHL BE于點(diǎn)H. . AB= AE, BE= 2.，B+ EH= 1.1 / ABE= / AEB= / ADB cos / ADB= 3, COSZABE= COS/ADB= 1.3BH 1.=一.AB 3.AC= AB= 3. /BA/ 90° , AO AB, .BO 3 ：'2.3. (2018 包頭)如圖，在 RtACB中，/ACB= 90° ,以點(diǎn) A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑的圓交 AB于點(diǎn)D, BA的延長(zhǎng)線 交。A于點(diǎn)E,連接CD,CE,F是。A上一點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)C位于BE兩側(cè)，且/ FAB=

4、/ABC連接BF.(1)求證：/ BCD= /BECr(2)若 BC= 2, BD= 1,求 CE的長(zhǎng)及 sin /ArBF 的值.8解：(1)證明：ACB= 90° , /BCDF /ACD= 90° .DE是。A的直徑， ./ DCE= 90° ./BEO /CDE= 90° .AD= AC,/ CDE= / ACD./. / BCD= / BEC.(2) . / BCD= / BEC / CBD= / EBC.BD6 BCE.，CD BD BCec= bcT BE,. BC= 2, BD= 1,BE= 4, EC= 2CD.DE= BE- BD=

5、3.222在 RtDCE中，DE=CD + CE=9.8平.，舊等過(guò)點(diǎn)F作FMLAB于點(diǎn)M ./FAB= /ABC /FMA= Z ACB= 90° , .AFMhABAC.-. 四="AC BA35 . DE= 3, AD= AF= AC= 5 AB= 39FM=石過(guò)點(diǎn)F作FN BC于點(diǎn)N ./ FNC= 90° . / FAB= / ABC 1- FA/ BC./ FAC= / ACB= 90° . 四邊形 FNC端矩形.FN AC= 3, NC= AF= 3, . . B* 1. 2'2'2在 RtFBN 中,BF=+4 人 / F

6、M 9. 10在 RtFrBM中，sin /ABF=際=類型2與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明4. (2018 濱州)如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn) COO上,ADLCD于點(diǎn)D,且AC平分/ DAB求證:(1)直線DC是。0的切線；(2)AC2=2AD- AO.證明：(1)連接OC.,.OA= OC/ OAC= / OCA. AC平分/ DAB/ OAC= / DAC./ DAC= / OCA. .OC/ AD.又. ADLCD OCL DC. OC為。0的半徑， .DC是。0的切線.(2)連接BC.AB為。0的直徑，.AB= 2AO, /ACB= 90° . .ADL DC ./ADG= /

7、ACB= 90° .又. / DAC= Z CAB .DA6 ACAB.AD AC 口uo= 即 ACJ=AB- AD.AC AEAC2=2AD- AO.5. (2017 金華)如圖，已知：AB是。0的直徑，點(diǎn) C在。0上，CD是。0的切線，ADLCD于點(diǎn)D, 上一點(diǎn)，CE交。0于點(diǎn)F,連接OQ AC.(1)求證：AC平分/ DAO(2)若/DAO= 105° , / E= 30° .求/ OCE的度數(shù)；E是AB延長(zhǎng)線若。0的半徑為,求線段EF的長(zhǎng).解： 證明：二.直線 CCOO相切，OCLCD.X - ADL CD AD/ OC./ DAC= / OCA.又,.

8、OC= OAo / OAC= / OCA./ DAC= / OAC. AC平分/ DAO.(2)AD/ OC，/EOC= /DAG 105° , . /E= 30° , ./ OCE= 45° .過(guò)點(diǎn)O作OGL CE于點(diǎn)G 可得FG= CG. . OC= 2 ：2 /OCE= 45° ,OG= CG= 2.FG= 2. .在 RtOGE中，/ E= 30°，.= GE= 2>/3.EF= GE- FG= 2/3-2.6. (2018 蘇州)如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn) C在。0上，AD垂直于過(guò)點(diǎn) C的切線，垂足為 D, CE垂直AB,垂足為

9、 E,延長(zhǎng)DA交。0于點(diǎn)F,連接FC, FC與AB相交于點(diǎn) G,連接OC.(1)求證：CD= CB(2)若AE= GE，求證： CEO是等腰直角三角形.證明：(1)連接AC. CD為。0的切線， OCL CD.又ADL CD ./ DCO= Z D= 90° . .AD/ OC，/DAC= Z ACO.又,. OC= OA，/CAG Z ACO./ DAC= / CAO.又. CELAR，/CEA= 90° .ZD- / CEA在 CDA和 CEA中，/ DAC= / EAC AC= AC, .CDA2 ACEA(AA$S . .CD- CE.(2)證法一：連接BC. .

10、CDA2 ACE/A，/DCA= Z ECA. CELAG AE= EG, . . CA= CG. ，/ECA= / ECG.AB是。0 的直徑，/ACB= 90°又. CEL AR ./ACE= / B.又. / B= / F,Z F=Z ACE= / DCA= / ECG.又 / D-90° , ./ DCFF / F= 90° .Z F=Z DCA= / ACE= / ECG 22.5 ，/AOC= 2/F= 45° .CEO是等腰直角三角形.證法二：設(shè)/ F= x , 則/AOC= 2/F= 2x .1. AD/ OC ，/OAF= /AOC=

11、2x . ，/CGA= /OAFF /F=3x° .CEL AG AE= EG .CA= CG.-. /EAC= Z CGA.，/DAC= /EAC= /CGA= 3x .又/DACF Z EAO /OAF= 180° , .3x +3x +2x =180° . x= 22.5.，/AOC2x° =45° .CEO是等腰直角三角形.7. (2017 孝感)如圖，00的直徑 AB= 10,弦AC= 6, /ACB的平分線交。0 于D,過(guò)點(diǎn)D作DE/ AB交CA的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)E,連接AD, BD.(1)由AB, BD, AD0成的曲邊三角形的面積是

12、 :士言”；(2)求證：DE是。0的切線；(3)求線段DE的長(zhǎng).解：(2)證明：連接OD. CD平分/ ACBACD= Z BCD.AD= DB.又AB為直徑，ADLDB .ADB= r90° .，ODL AB. DE/ AB,，ODL DE.又OD為。0的半徑， .DE是。0的切線.A 10, AC= 6,.bc= Jab"aC = 8.過(guò)點(diǎn)A作AF±DE于點(diǎn)F,則四邊形 AODF正方形, .AF= OD= FD= 5, /BAF= 90° . /EA斗 /CAB= 90° , / ABO / CAB= 90° , / EAF= /

13、 ABC. .tan /EAF= tan Z ABC.EF AC EF 6 , Af= Bc 5 = 8,15 EF=4 .15-DE= DF+ EF= 5+廠35了8. (2018 株洲)如圖，已知 AB為。0的直徑，AB=8,點(diǎn)C和點(diǎn)D是。0上關(guān)于直線 AB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，連接 OC AC,且Z BOC： 90° ,直線 BC和直線AD相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作直線CG與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F,與直線AD 相交于點(diǎn)G,且/GAF= ZGCE.(1)求證：直線 CG為。0的切線；(2)若點(diǎn)H為線段OB上一點(diǎn)，連接 CH滿足CB= CH.求證： CBHh AOBC求O* HC的最大值.

14、解：(1)證明：.C, D關(guān)于AB對(duì)稱，/GAF= Z CAF. / GAF= / GCE/ GCE= / CAF.,.OA= OC/ CAF= / ACO/. / GCE= / ACO.AB為直徑, /ACG /OCB= 90° . .ZGCE- /OCB= 90° ,即/OCG 90° .又OC為。0的半徑， CG為。0的切線.(2)證明：. OC= OB, CH= BC,/ OCB= / OBC / CHB= / CBH / CBH= / OBC= / OCB= / CHB. .CBHh AOBC.BH BCBC2cb中aob(cbc= bo，b+ .2設(shè)

15、BC= x,則 CH= x, BH= -t. 4.OH HC= 4x2 + x + 4=- 1(x 2)2+5.當(dāng)x=2時(shí)，O*HC的最大值為 5.9.(2018 婁底)如圖，C, D是以AB為直徑的。0上的點(diǎn)，AC=BC,弦CD交AB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)PB是。0的切線時(shí)，求證：/ PBD= /DAB(2)求證：BC2C= = CE- DE(3)已知O上4, E是半徑OA的中點(diǎn)，求線段 DE的長(zhǎng).L解：(1)證明：.AB是。0的直徑，/ADB= 90° ,即 / DABF / ABD= 90° . PB是。0的切線， ./ABR= 90° ,即 / PBDb /ABD= 90° ./ DAB= / PBD.(2)證明：. /A= /C, /AED= Z CEB .AD曰 ACBE.DE AEBE=而即 DE- CE= AE- BE.連接OC.設(shè)圓的半徑為r,則OA= OB= OC= r,則 DE- CE= AE- BE= (OA OE)(OB+ OE)= r2-OE. AC=