第3章 隨機(jī)過程

1、22:511回顧回顧 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念角度角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合. (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t)是全部樣本函數(shù)的集合是全部樣本函數(shù)的集合。角度角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。隨機(jī)過程是隨機(jī)過程是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量隨機(jī)變量的集合的集合。隨機(jī)過程在任意隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。22:512回顧回顧 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征u均值（數(shù)學(xué)期望）均值（數(shù)學(xué)期望）表示隨機(jī)過程

2、的表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動中心。個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動中心。積分是對積分是對x進(jìn)行的，表示進(jìn)行的，表示t 時(shí)刻各個(gè)樣本的均值，不同時(shí)刻各個(gè)樣本的均值，不同時(shí)刻時(shí)刻t的均值構(gòu)成擺動中心。的均值構(gòu)成擺動中心。u方差方差表示隨機(jī)過程在表示隨機(jī)過程在t時(shí)刻對于均值時(shí)刻對于均值a(t)的偏離程度。等于的偏離程度。等于均方值與均值平方之差。均方值與均值平方之差。1( )( , )( )Etxf x t dxa t2222 ( ) ( )( )( ) ( )( )DtEta tEta tt22:513第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)反映隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上

3、獲得的隨機(jī)變量之間的反映隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。關(guān)聯(lián)程度。u自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系u互相關(guān)函數(shù)：將相關(guān)函數(shù)的概念引伸到兩個(gè)隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)：將相關(guān)函數(shù)的概念引伸到兩個(gè)隨機(jī)過程 1212122121212( ,) ( ) ( )(,; ,)R t tEttx x fx x t tdx dx 121122( ,) ( )( ) ( )( )B t tEta tta t)()(),(),(212121tatattRttB1212( , )( ) ( )xhxh=Rt tEtt12122112( ) ( )( ) ( )(

4、) ( )( ) ( )Etta tta tta t a t22:514回顧回顧嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)（狹義）平穩(wěn)隨機(jī)過程 性質(zhì)性質(zhì)12121212( , , )( ,)nnnnnnfx xxt ttfx xxttt；11111( , )( )f x tf x21212212( ,; , )( ,; )fx x t tfx x 數(shù)字特征數(shù)字特征判斷隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。判斷隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。定義廣義定義廣義( (寬寬) )平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱平穩(wěn)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱平穩(wěn)過程。1 111( )( )Etx f x dxa12( , )( )R t tR 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性 時(shí)間平均時(shí)間平均=

5、=統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均)()(RRaa22:515回顧回顧平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)2(0)( )( )REtt的平均功率( )()RR 的偶函數(shù)( )(0)( )RRR的上界22( ) ( )( )REtat 的直流功率222(0)( )( )( )RREtat 的交流功率 平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)過程的功率譜密度(維納維納-辛欽關(guān)系辛欽關(guān)系) 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本的功率譜密度等于過程的各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本的功率譜密度等于過程的功率譜密度。功率譜密度。)()(fPR22:51610ffH- fH( f )P( f )典型例題1.隨機(jī)過程隨機(jī)過程 (t)的功率譜密度如圖的功率譜密

6、度如圖試求：試求：自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)R()； 直流功率；直流功率； 交流功率。交流功率。解：由圖可知，該功率譜密度表達(dá)式為解：由圖可知，該功率譜密度表達(dá)式為)21()()(的三角形，寬為高為HfffP)( )(1 )()(2HHfSafffPR)(1)(2HHfSafR 11)()0(1)(2交流功率直流功率HHffRRR22:517典型例題2.設(shè)設(shè)s(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)脈沖序列，其功率譜密度為是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)脈沖序列，其功率譜密度為Ps(f),求已調(diào)信號求已調(diào)信號e(t)= s(t) cosct 的功率譜密度的功率譜密度Pe(f)。解：解：)(cos)(cos)()(ttsttsERccec

7、tstsEcos21)()(csRcos)(21)(41ccjjseeR)()(41)( cscseffPffPfP22:518第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 3.3 高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程） 3.3.1 定義定義u如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 (t)的任意的任意n維（維（n =1,2,.）分布均服）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。u n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(

8、1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa22:519第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(22:5110第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 3.3.2 重要性質(zhì)重要性質(zhì)u對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征。對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征。 由高斯過程的定義式可以看出，高斯過程的由高斯過程的定義式可以看出，高斯過程的

9、n維分維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差均值、方差和歸一化協(xié)方差。u廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 因?yàn)椋舾咚惯^程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間因?yàn)椋舾咚惯^程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。22:5111第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u如果高斯過

10、程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們?nèi)绻咚惯^程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對所有所有j k，有，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為，則其概率密度可以簡化為u高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍是高斯過程。高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍是高斯過程。即若線即若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。u若干個(gè)高斯過程的代數(shù)和的過程仍是高斯型。若干個(gè)高斯過程的代數(shù)和的過程仍是高斯型。),.,;,.,(2121nnnt

11、ttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp211122( , )(, ) .(, )nnf x tf x tf x tnjnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/ 1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22:5112第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 3.3.3 高斯隨機(jī)變量高斯隨機(jī)變量u定義定義： 高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為為 為底的指數(shù)函數(shù)以常量方差均值eaaxxfexpexp222221均值均值

12、a處，出現(xiàn)的概率最大。處，出現(xiàn)的概率最大。22:5113第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u性質(zhì)性質(zhì)f (x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即，即a表示分布中心，表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著圖形將隨著 的減小而變高和變窄。的減小而變高和變窄。若若a = 0, = 1，稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：，稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：max1 ()2f axf axfxa1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21( )exp22xf x22:5114第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)（正態(tài)分布的概率密度（正態(tài)分布的概率密度f (x)的積分）

13、的積分） 這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：特殊函數(shù)，用查表的方法求出：p用誤差函數(shù)用誤差函數(shù)erf (x)表示表示： 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。誤差函數(shù)，可以查表求出其值。令令 則有則有 及及 221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz2202( )xterf xedt2()/ 21211( )()2222x atxaF xedterf22:5115第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 誤差函數(shù)是自變量的遞增函數(shù)，且有誤差函數(shù)是自變量的遞增函數(shù)，且有 erf(0)=0，erf()=1，

14、erf(-x)=-erf(x)p用互補(bǔ)誤差函數(shù)用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示表示： 式中式中 互補(bǔ)誤差函數(shù)是自變量的遞減函數(shù)，且有互補(bǔ)誤差函數(shù)是自變量的遞減函數(shù)，且有erfc(0)=1，erfc()=0，erfc(-x)=2-erfc(x)。 當(dāng)當(dāng)x 2時(shí)，時(shí)，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( ) (3.314)xerfc xex202( )xterf xedt22:5116第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p用用Q函數(shù)表示函數(shù)表示：Q函數(shù)定義：函數(shù)定義：Q函數(shù)和函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)函數(shù)和正態(tài)分布函數(shù)F(x

15、)的關(guān)系：的關(guān)系：Q(-x)=1- Q(x)，x0；Q(0)=1/2， Q()=0。2/21( ) 02txQ xedtx221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(xtdtexerfc22)(22:5117第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)）（復(fù)習(xí)） ： 線性時(shí)不變系統(tǒng)可由其單位沖激響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)可由其單位沖激響應(yīng)h(t)或其頻率或其頻率響應(yīng)響應(yīng)H(f)表征。輸入與輸出關(guān)系可以表示成卷積表征。輸入與輸出關(guān)系可以表示成卷積式中式中 vi 輸入信號，輸入

16、信號， vo 輸出信號輸出信號對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系： ( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()oiioiiv tv th tvh tdv th tv thv td或 ()()()oiVfHf Vf22:5118第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)： 把把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，vo(t)看作輸看作輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。當(dāng)線性系統(tǒng)輸入端加入一個(gè)隨出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。當(dāng)線性系統(tǒng)輸入端加入一個(gè)隨機(jī)過程機(jī)過程 i(t) 時(shí)，對于時(shí)，對于 i(t) 的每個(gè)樣本的每個(gè)樣本vi,n

17、(t),n=1,2,，系，系統(tǒng)輸出都有一個(gè)統(tǒng)輸出都有一個(gè)vo,n(t),n=1,2,與其相對應(yīng)，而所有與其相對應(yīng)，而所有vo,n(t),n=1,2,的集合構(gòu)成輸出隨機(jī)過程的集合構(gòu)成輸出隨機(jī)過程 o(t) ，因此，因此u假設(shè)：假設(shè)： i(t) 輸入的平穩(wěn)隨機(jī)過程，輸入的平穩(wěn)隨機(jī)過程， a 均值，均值，Ri( ) 自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)， Pi( ) 功率譜密度；功率譜密度；求輸出過程求輸出過程 o(t)的統(tǒng)計(jì)特性（均值、自相關(guān)函數(shù)、功率的統(tǒng)計(jì)特性（均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布）。譜以及概率分布）。( )( ) ()oithtd 22:5119第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程

18、 o(t)的均值的均值 對對 o(t)兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，得到兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，得到因?yàn)榧僭O(shè)輸入過程是平穩(wěn)的因?yàn)榧僭O(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有，則有 式中，式中，H(0)是線性系統(tǒng)在是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，即處的頻率響應(yīng)，即直流增益。因此直流增益。因此輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。( )( ) ()oithtd ( )( ) ()( ) ()oiiEtEhtdhEtd atEtEii)()( )( )(0)oEtahda H22:5120第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程 o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是

19、于是 即即輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅僅是時(shí)間間隔輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)的函數(shù)。 可見，可見，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。 11111111( ,)( )() ( ) ()( ) () ( ) ( ) () ()oooiiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d )()()(11iiiRttE11( ,)( ) ( )()( )oioR t thhRd dR ( )( ) ()oithtd 22:5121第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u輸出過程輸出過程 o(t)的功率譜密度的功率譜密度對上式進(jìn)行傅里葉變換：對上式

20、進(jìn)行傅里葉變換：令令 = + ，代入上式，得到，代入上式，得到即即11( ,)( ) ( )()( )oioR t thhRd dR ( )( )jooP fReddeddRhhji)()()( ( )( )( )( )jjjoiPfhedhedRed2( )( )( )( )( )( )oiiP fHfH fP fH fP f結(jié)論：結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：應(yīng)用：由由Po( f )的反傅里葉變換求的反傅里葉變換求Ro( ) 22:5122第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u

21、 輸出過程輸出過程 o(t)的概率分布的概率分布p如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。高斯型的。 因?yàn)閺姆e分原理看，因?yàn)閺姆e分原理看，可表示為一個(gè)和式的極限：可表示為一個(gè)和式的極限： 由于已假設(shè)由于已假設(shè) i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時(shí)刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到刻上都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量就是這無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得的隨機(jī)變量就是這無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得

22、知，這個(gè)知，這個(gè)“和和” 也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。更一般地說，更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。00( )lim() ()koikkkktth( )( ) ()oithtd ( )( ) ()oithtd 22:5123第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 3.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 n什么是窄帶隨機(jī)過程？什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程 (t)的譜密度集

23、中在中心頻率的譜密度集中在中心頻率fc附近附近相對窄的頻帶范圍相對窄的頻帶范圍 f （帶寬）內(nèi)，且中心頻率（帶寬）內(nèi)，且中心頻率 fc 遠(yuǎn)遠(yuǎn)離零頻率，即離零頻率，即 則稱該則稱該 (t)為窄帶隨機(jī)過程。為窄帶隨機(jī)過程。 實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶帶通型，實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶帶通型，通通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必然是窄帶隨機(jī)過程過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必然是窄帶隨機(jī)過程。 0ccfff 22:5124第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù) 0ccfff 窄帶隨機(jī)過窄帶隨機(jī)過程的一個(gè)樣程的一個(gè)樣本的波形，本的波形，如同一個(gè)如

24、同一個(gè)包包絡(luò)和相位隨絡(luò)和相位隨機(jī)緩變機(jī)緩變的正的正弦波。弦波。頻率頻率不是隨機(jī)的。不是隨機(jī)的。22:5125第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程n窄帶隨機(jī)過程的表示式窄帶隨機(jī)過程的表示式u包絡(luò)包絡(luò)相位形式相位形式 式中，式中，a(t) 窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò) (t) 窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位 c 正弦波的中心角頻率正弦波的中心角頻率 顯然，顯然， a(t)和和 (t)的變化相對于載波的變化相對于載波cos ct的變的變化要緩慢得多?；徛枚?。( )( )cos( ),( )0cta ttta t22:5126第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程u同相同相正交形式正

25、交形式將窄帶隨機(jī)過程表示式進(jìn)行三角函數(shù)展開，得到其等價(jià)式將窄帶隨機(jī)過程表示式進(jìn)行三角函數(shù)展開，得到其等價(jià)式式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量 可以看出：可以看出： (t)的統(tǒng)計(jì)特性由的統(tǒng)計(jì)特性由a(t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，若的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，若 (t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a(t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 注意：注意：窄帶過程的窄帶過程的a(t)和和 (t)及及 c(t)和和 s(t)都是隨機(jī)緩都是隨機(jī)緩變的過程，均屬低通型過程。變的過程，均屬低

26、通型過程。 今后均假設(shè)今后均假設(shè) (t)是一個(gè)均值為是一個(gè)均值為0，方差為，方差為 2的的平穩(wěn)高平穩(wěn)高斯窄帶斯窄帶過程。過程。( )( )cos( )cta ttttttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats22:5127第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 3.5.1 c(t)和和 s(t)的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性p 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望：對上式求數(shù)學(xué)期望得到對上式求數(shù)學(xué)期望得到 因?yàn)橐驗(yàn)?(t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間t，都有都有E (t) = 0 ，所以，所以 tttttcsccsin)(cos)()( )(

27、)cos( )sinccscEtEttEtt( )0( )0csEtEt，22:5128第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)：式中式中(,) ( ) () ( )cos( )sin ()cos()()sin()(,)coscos()(,)cossin()(,)sincos()(,)sinsin()ccscccscccccsccscccsccR t tEttttttEttttR t tttR t tttR t tttR t ttt )()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc22:5129第第3

28、章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程因?yàn)橐驗(yàn)?(t)是平穩(wěn)的，故有是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時(shí)間這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與無關(guān)，而僅與 有關(guān)。有關(guān)。因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，這時(shí)，上式仍應(yīng)成立，這時(shí)因與時(shí)間因與時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立無關(guān)，以下二式自然成立所以所以( ,) ( ) ()( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincos()( ,)sinsin()ccccsccscccsccR t tEttR t tttR t tttRt tttR t tttccsccttRttRRsin),(cos),()( ,)( )R t tR( ,)(

29、) ( ,)( )cccscsR t tRRt tRccsccRRRsin)(cos)()(22:5130第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程因與時(shí)間無關(guān)，再令因與時(shí)間無關(guān)，再令 t =/2 c，同理可以求得，同理可以求得 小結(jié)小結(jié)1：若窄帶過程：若窄帶過程 (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則 c(t)和和 s(t)也也必然是平穩(wěn)的。必然是平穩(wěn)的。( )( ,)cos( ,)sinscsccRR t tRt t ( ,) ( ) ()( ,)coscos()( ,)cossin()( ,)sincos()( ,)sinsin()ccccsccscccsccR t tEttR t tttR t tttRt

30、tttR t ttt( ,)( ) ( ,)( )ssscscR t tRRt tR22:5131第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程進(jìn)一步分析以下兩式進(jìn)一步分析以下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有應(yīng)同時(shí)成立，故有小結(jié)小結(jié)2：同相分量：同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自具有相同的自相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到代入上式，得到這說明這說明Rsc( )是是 的奇函數(shù)，所以的奇函數(shù)，所以同理可證同理可證 ( )( )cos( )sin( )( )cos( )sincccscscsccRRRRRR)()(scRR)()(sccsRR)()

31、(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR22:5132第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程將將代入下兩式代入下兩式得到得到同時(shí)同時(shí)小結(jié)小結(jié)3： (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差具有相同的平均功率或方差（因?yàn)榫禐椋ㄒ驗(yàn)榫禐?）。）。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0) 0(scR0) 0(csR)0()0()0(scRRR222cs22 ( ) ( )( )DtEta t)()0(2tER22:5133第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程p根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式無關(guān)，故由式 得到得到小結(jié)小結(jié)4：因?yàn)椋阂驗(yàn)?(t)是高斯過程是高斯過程，所以，所以， c(t1)、 s(t2)一定一定是高斯隨機(jī)變量，從而是高斯隨機(jī)變量，從而 c(t) 、 s(t)也是高斯過程也是高斯過程。p根據(jù)根據(jù)Rcs(0)=0可知，可知， c(t) 與與 s(t)在在 = 0處互不相關(guān)，處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此又由于它們是高斯型的，因此小結(jié)小結(jié)5： c(t) 與與 s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 tttttc