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文檔簡介
1、考綱導讀三角函數(shù)1了解任意角的概念、 弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算;理解任意角的正弦、余弦、正切的定義;了解余切、正割、余割的定義;會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切2掌握三角函數(shù)的公式(同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式、和、差角及倍角公式)及運用3能正確運用三角公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和條件等式及恒等式的證明4掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質;會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象、并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象會用“五點法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和的簡圖,理解的物理意義5會由已知三角函數(shù)值求角,并會用符號arcsinx,a
2、rccosx,arctanx表示角6掌握正弦定理、余弦定理,并能初步運用它們解斜三角形,能利用計算器解決解三角形的計算問題知識網(wǎng)絡任意角的三角函數(shù)三 角 函 數(shù)兩角和與差的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象和性質角的概念的推廣、弧度制任意角的三角函數(shù)的定義同角三角函數(shù)基本關系誘導公式兩角和與差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx, ycosx的圖象和性質ytanx的圖象和性質yAsin(x)的圖象已知三角函數(shù)值求角高考導航三角部分的知識是每年高考中必考的內容,近幾年的高考對這部分知識的命題有如下特點:1降低了對三角函數(shù)恒等變形的要求,加強了對三角函數(shù)圖象和性質的考查尤其是三角函數(shù)的最大值與
3、最小值、周期2以小題為主一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),多數(shù)為基礎題,難度屬中檔偏易其次在解答題中多數(shù)是三角函數(shù)式的恒等變形,如運用三角公式進行化簡、求值解決簡單的綜合題等3更加強調三角函數(shù)的工具性,加強了三角函數(shù)與其它知識的綜合,如在解三角形、立體幾何、平面解析幾何中考查三角函數(shù)的知識基礎過關第1課時 任意角的三角函數(shù)一、角的概念的推廣1與角終邊相同的角的集合為 2與角終邊互為反向延長線的角的集合為 3軸線角(終邊在坐標軸上的角)終邊在x軸上的角的集合為 ,終邊在y軸上的角的集合為 ,終邊在坐標軸上的角的集合為 4象限角是指: 5區(qū)間角是指: 6弧度制的意義:圓周上弧長等于半徑長的弧所對的圓
4、心角的大小為1弧度的角,它將任意角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應關系7弧度與角度互化:180º 弧度,1º 弧度,1弧度 º8弧長公式:l ;扇形面積公式:S .二、任意角的三角函數(shù)9定義:設P(x, y)是角終邊上任意一點,且 |PO| r,則sin ; cos ;tan ;+cosx, sinx, tanx, xyOxyOxyO10三角函數(shù)的符號與角所在象限的關系:12、正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的定義域和值域:解析式y(tǒng)sinxycosxytanx定義域值 域13三角函數(shù)線:在圖中作出角的正弦線、余弦線、正切線xyO典型例題例1. 若是第二象限的角,試分別
5、確定2, ,的終邊所在位置.解: 是第二象限的角,k·360°+90°k·360°+180°(kZ).(1)2k·360°+180°22k·360°+360°(kZ),2是第三或第四象限的角,或角的終邊在y軸的非正半軸上.(2)k·180°+45° k·180°+90°(kZ),當k=2n(nZ)時,n·360°+45°n·360°+90°;當k=2n+1(
6、nZ)時,n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.(3)k·120°+30°k·120°+60°(kZ),當k=3n(nZ)時,n·360°+30°n·360°+60°;當k=3n+1(nZ)時,n·360°+150°n·360°+180°;當k=3n+2(nZ)時,n·360°+270°n·
7、;360°+300°.是第一或第二或第四象限的角.變式訓練1:已知是第三象限角,問是哪個象限的角?解: 是第三象限角,180°+k·360°270°+k·360°(kZ),60°+k·120°90°+k·120°.當k=3m(mZ)時,可得60°+m·360°90°+m·360°(mZ).故的終邊在第一象限.當k=3m+1 (mZ)時,可得180°+m·360°210
8、°+m·360°(mZ).故的終邊在第三象限.當k=3m+2 (mZ)時,可得300°+m·360°330°+m·360°(mZ).故的終邊在第四象限.綜上可知,是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍,并由此寫出角的集合:(1)sin;(2)cos.解:(1)作直線y=交單位圓于A、B兩點,連結OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的終邊的范圍,故滿足條件的角的集合為|2k+2k+,kZ .(2)作直線x=交單位圓于C、D兩點,連結OC、OD,則OC與OD圍成的
9、區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍.故滿足條件的角的集合為 .變式訓練2:求下列函數(shù)的定義域:(1)y=;(2)y=lg(3-4sin2x).解:(1)2cosx-10,cosx.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示).x(kZ).(2)3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如右圖陰影),x(k-,k+)(kZ).例3. 已知角的終邊在直線3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值.解:角的終邊在直線3x+4y=0上,在角的終邊上任取一點P(4t,-3t) (t0),則x=4t,y=-3t,r=|t|,當t0時,r=5t,sin
10、=,cos=,tan=; 當t0時,r=-5t,sin=,cos=,tan=. 綜上可知,t0時,sin=,cos=,tan=;t0時,sin=,cos=-,tan=. 變式訓練3:已知角的終邊經過點P,試判斷角所在的象限,并求的值解:由題意,得 故角是第二或第三象限角當,點P的坐標為,當,點P的坐標為,例4. 已知一扇形中心角為,所在圓半徑為R(1) 若,R2cm,求扇形的弧長及該弧所在弓形面積;(2) 若扇形周長為一定值C(C>0),當為何值時,該扇形面積最大,并求此最大值解:(1)設弧長為l,弓形面積為S弓。 (cm2)扇形周長 當且僅當224,即2時扇形面積最大為變式訓練4:扇形
11、OAB的面積是1cm2,它的周長是4cm,求中心角的弧度數(shù)和弦長AB解:設扇形的半徑為r,弧長為l,中心角的弧度數(shù)為則有 由|得2 |AB|2·sin 1( cm )小結歸納1本節(jié)內容是三角函數(shù)的基礎內容,也是后續(xù)結論的根源所在,要求掌握好:如角度的范圍、函數(shù)的定義、函數(shù)值的符號、函數(shù)值的大小關系及它們之間的相互轉化關系2在計算或化簡三角函數(shù)的關系式時,常常要對角的范圍以及相應的三角函數(shù)值的正負情況進行討論,因此,在解答這類題時首先要弄清:角的范圍是什么?對應的三角函數(shù)值是正還是負?與此相關的定義、性質或公式有哪些?第2課時 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式基礎過關1同角公式:(1)
12、 平方關系:sin2cos21,1tan2 ,1cot2 (2) 商數(shù)關系:tan ,cot (3) 倒數(shù)關系:tan 1,sin 1,cot 12誘導公式:22ksincossincos規(guī)律:奇變偶不變,符號看象限3同角三角函數(shù)的關系式的基本用途:根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)值,求出該角的其他三角函數(shù)值;化簡同角三角函數(shù)式;證明同角的三角恒等式4誘導公式的作用:誘導公式可以將求任意角的三角函數(shù)值轉化為0°90º角的三角函數(shù)值典型例題例1. 已知f()=;(1)化簡f();(2)若是第三象限角,且cos,求f()的值.解 :(1)f()=-cos. (2)cos=-sin,s
13、in=-,cos=-,f()=.變式訓練1:已知A則A構成的集合是 ( )A1, 1, 2, 2 B1, 1C2, 2 D2, 1, 01, 2解:C例2求值:(1) 已知,求的值2) 已知,求下列各式的值;解:(1);(2)變式訓練2:化簡: , 解:原式sin 原式0例3. 已知,sin xcos x(1)求sin xcos x的值(2)求的值解:( 1 ) ,( 2 ) 變式訓練3:已知sin +cos=,(0,).求值:(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos,sincos=-0.由根
14、與系數(shù)的關系知,sin,cos是方程x2-x-=0的兩根,解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin3+cos3=.方法二 (1)同方法一.(2)(sin-cos)2=1-2sin·cos=1-2×=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.例4已知tan=2,求下列各式的值:(1);(2) ;(3)4sin2-3sincos-5cos2.解:(1)原式=.(2).(3)sin2+
15、cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.變式訓練4:已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:(1);(2)sin2+cos2.解:由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.(1).(2)sin2+cos2=.小結歸納1求函數(shù)的定義域一般有三類問題:一是給出解釋式(如例1),應抓住使整個解式有意義的自變量的集合;二是未給出解析式(如例2),就應抓住內函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域;三是實際問題,此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外,還應使實際問題或幾何問題有意義.2求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、單調性法、有
16、界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法)外,應根據(jù)問題的不同特點,綜合而靈活地選擇方法.第3課時 兩角和與差的三角函數(shù)基礎過關1兩角和的余弦公式的推導方法: 2基本公式 sin(±)sin cos±cos sincos(±) ;tan(±) .3公式的變式tantantan ()(1tan tan)1tan tan4常見的角的變換:2()();() ()()();典型例題例1求2sin50°+sin10°(1+tan10°)·的值.解:原式=變式訓練1:(1)已知(,),sin=,則tan()等于( )
17、A. B.7 C. D.7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 ( )A. B. C. D.解:(1)A (2)B 例2. 已知(,),(0,),(),sin(),求sin()的值解:() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()變式訓練2:設cos()=,sin()=,且,0,求cos(+).解:,0,.故由cos()=,得sin()=.由sin()=,得cos()=.cos=cos()()=cos(+)=2cos21=-1=.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角
18、,求A+B的值.解 A、B均為鈍角且sinA=,sinB=,cosA=-=-=-,cosB=-=-=-, cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×= 又A, B,A+B2 由知,A+B=.變式訓練3:在ABC中,角A、B 、C滿足4sin2-cos2B=,求角B的度數(shù).解 在ABC中,A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.例4化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解 方法一 (
19、復角單角,從“角”入手)原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 (從“名”入手,異名化同名)原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=
20、cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三 (從“冪”入手,利用降冪公式先降次)原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四 (從“形”入手,利用配方法,先對二次項配方)原式=(sin·sin-cos·cos)2+2
21、sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)- ·2cos2(+)-1=.變式訓練4:化簡:(1)sin+cos;(2).解 (1)原式=2=2=2cos=2cos(x-).(2)原式=1.小結歸納1三角函數(shù)式的化簡、求值、證明等是三角變形常見的題型,三角函數(shù)式變形的過程就是分析矛盾、發(fā)現(xiàn)差異,進而消除差異的過程。在這一過程中須仔細觀察到式子中各項的角、函數(shù)名稱及運算式子的差異,找出特征,從中找到解題的
22、突破口。對于角與角之間的關系,要充分應用角的恒等變換,以整體角來處理和解決有關問題,這樣可以避免一些較復雜的計算,如:2=+ ()等2在應用過程中要能靈活運用公式,并注意總結公式的應用經驗。對一些公式不僅會正用,還要會逆用、變形用,如正切的和角公式的變形用,正、余弦的和、差角公式的逆用。另外還要能對形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函數(shù)式要創(chuàng)造條件使用公式第4課時 二倍角的正弦、余弦、正切基礎過關1基本公式:sin2 ;cos2 ;tan2 .2公式的變用:1cos2 ;1cos2 典型例題例1. 求值:解:原式 變式訓練1:(cossin) ( )A B C
23、 D 解:D例2 已知為銳角,且,求的值. 解:為銳角變式訓練2:化簡:解:原式1例3已知;(1) 求的值; (2) 設,求sin的值解:(1)(2)16sin224sin110 解得 故變式訓練3:已知sin(),求cos()的值解:cos(2)2cos2()12sin2() 1例4已知sin2 22 coscos21,(0,),求sin、tan的值解:由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0,) cos0 sin12sin1 sin tan變式訓練4:已知、r是公比為2的等比數(shù)列,且sin、sin、s
24、inr也成等比數(shù)列,求、r的值解:、r成公比為2的等比數(shù)列2,r4sin、sin、sinr成等比數(shù)列即,解得cos1或當cos1時,sin0與等比數(shù)列首項不為零矛盾故cos1舍去當時,20,2 或或小結歸納1二倍角公式是和角公式的特殊情況,在學習時要注意它們之間的聯(lián)系;2要理解二倍角的相對性,能根據(jù)公式的特點進行靈活應用(正用、逆用、變形用)3對三角函數(shù)式的變形有以下常用的方法: 降次(常用降次公式) 消元(化同名或同角的三角函數(shù)) 消去常數(shù)“1”或用“1”替換 角的范圍的確定基礎過關第5課時 三角函數(shù)的化簡和求值1三角函數(shù)式的化簡的一般要求: 函數(shù)名稱盡可能少; 項數(shù)盡可能少; 盡可能不含根
25、式; 次數(shù)盡可能低、盡可能求出值2常用的基本變換方法有:異角化同角、異名化同名、異次化同次3求值問題的基本類型及方法 “給角求值”一般所給的角都是非特殊角,解題時應該仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關系,通常是將非特殊角轉化為特殊角或相互抵消等方法進行求解 “給值求值”即給出某些角的三角函數(shù)(式)的值,求另外的一些角的三角函數(shù)值,解題關鍵在于:變角,使其角相同; “給值求角”關鍵也是:變角,把所求的角用含已知角的式子表示,由所求得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調區(qū)間求得角4反三角函數(shù)arcsin、arccos、arctan分別表示、0,、()的角典型例題例1. (1)化簡: (2)化簡:解: 原式=變式
26、訓練1:已知,若,則 可化簡為 解:例2. 已知,求(2)的值解法一:由已知得(3sin2cos) (2sincos)03sin2cos0或2sincos由已知條件可知cos0 即(,)tansin(2)sin2coscos2sinsincos(cos2sin2)解法二:由已知條件可知cos0 則從而條件可化為 6 tan2tan20(,) 解得tan(下同解法一)變式訓練2:在ABC中,求A的值和ABC的面積解:sinAcosA 2sinAcosA從而cosA0 A()sinAcosA 據(jù)可得 sinA cosAtanA2SABC例3. 已知tan(),-,且、(0,),求2的值.解:由ta
27、n (0,)得(, ) 由tantan() (0,)得0 02由tan20 知02 tan(2)1由知 2(,0)2(或利用22()求解)變式訓練3:已知為第二象限角,且sin,求的值解:由sin 為第二象限角cos例4已知(1)求tan的值;(2)求的值解:(1)由得 解得tan3或又,所以為所求(2)原式:變式訓練4:已知(<<),試用k表示sincos的值解:k2sincos(sincos)21k又() sincos小結歸納1三角函數(shù)的化簡與求值的難點在于:眾多的公式的靈活運用和解題突破口的選擇,認真分析所給式子的整體結構,分析各個三角函數(shù)及角的相互關系是靈活選用公式的基礎,
28、是恰當尋找解題思維起點的關鍵所在;2要熟悉角的拆拼、變換的技巧,倍角與半角的相對性,熟悉幾種常見的入手方式: 變換角度 變換函數(shù)名 變換解析式結構3求值常用的方法:切割化弦法、升冪降冪法、輔助元素法、“1”的代換法等第6課時 三角函數(shù)的恒等變形基礎過關基礎過關一、三角恒等式的證明1三角恒等式的證明實質是通過恒等變形,消除三角恒等式兩端結構上的差異(如角的差異、函數(shù)名稱的差異等)2證三角恒等式的基本思路是“消去差異,促成同一”,即通過觀察、分析,找出等式兩邊在角、名稱、結構上的差異,再選用適當?shù)墓剑ゲ町?,促進同一3證明三角恒等式的基本方法有: 化繁為簡; 左右歸一; 變更問題二、三角條件等
29、式的證明1三角條件等式的證明就是逐步將條件等價轉化為結論等式的過程,須注意轉化過程確保充分性成立2三角條件等式的證明,關鍵在于仔細地找出所附加的條件和所要證明的結論之間的內在聯(lián)系,其常用的方法有: 代入法:就是將結論變形后將條件代入,從而轉化為恒等式的證明 綜合法:從條件出發(fā)逐步變形推出結論的方法 消去法:當已知條件中含有某些參數(shù),而結論中不含這些參數(shù),通過消去條件中這些參數(shù)達到證明等式的方法 分析法:從結論出發(fā),逐步追溯到條件的證明方法,常在難于找到證題途徑時用之典型例題例1求證:證明:左邊右邊變式訓練1:求證:tan()tan()2tan2證明:()()2tan()()tan2tan()t
30、an()2tan2例2求證:證明:左邊右邊4()4·左邊右邊 即等式成立變式訓練2:已知2tanA3tanB,求證:tan(AB)證明:tan(AB)例3如圖所示,D是直線三角形ABC斜邊上BC上一點,ABAD,記CAD=,ABC=ABDC(1)證明:sincos2=0;(2)若,求的值解:(1)即sincos20(2)在ADC中,由正弦定理得即 由(1)sincos2即解得或因為,所以從而變式訓練3.已知且sin·coscos()(1)求證:;(2)用tan表示tan解:(1)(2)例4.在ABC中,若sinA·cos2sinC·cos2sinB,求證
31、:sinAsinC2 sinB證明:sinA·cos2sinC·cos2sinBsinA·sinC·sinBsinAsinCsinA·cosCcos·sinC3sinBsinAsinCsin(AC)3sinBsin(AC)sinB sinAsinC2sinB變式訓練4:已知sincos2sin,sin·cossin2,求證:2cos2cos2證明:(sincos)212sin·cos4sin2將sin·cossin2代入得12sin24sin211cos22(1cos2)2cos2cos2小結歸納1證明三
32、角恒等式的基本思路,是根據(jù)等式兩端的特征通過三角恒等變換,應用化繁為簡,左右歸一,變更命題等方法使等式兩端的“異”化為“同”2條件等式的證明,注意認真觀察,發(fā)現(xiàn)已知條件和求證等式之間的關系,選擇適當?shù)耐緩竭\用條件,從已知條件出發(fā),以求證式為目標進行代數(shù)或三角恒等變形,逐步推出求證式3對于高次冪,往往采用三角公式降次,再依求證式的要求論證第7課時 三角函數(shù)的圖象與性質基礎過關1用“五點法”作正弦、余弦函數(shù)的圖象“五點法”作圖實質上是選取函數(shù)的一個 ,將其四等分,分別找到圖象的 點, 點及“平衡點”由這五個點大致確定函數(shù)的位置與形狀2ysinx,ycosx,ytanx的圖象函數(shù)ysinxycosx
33、ytanx圖象注: 正弦函數(shù)的對稱中心為 ,對稱軸為 余弦函數(shù)的對稱中心為 ,對稱軸為 正切函數(shù)的對稱中心為 3“五點法”作yAsin(x)(>0)的圖象令x'x轉化為ysinx',作圖象用五點法,通過列表、描點后作圖象函數(shù)yAsin(x)的圖象與函數(shù)ysinx的圖象關系振幅變換:yAsinx(A>0,A1)的圖象,可以看做是ysinx的圖象上所有點的縱坐標都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原來的 倍(橫坐標不變)而得到的周期變換:ysinx(>0,1)的圖象,可以看做是把ysinx的圖象上各點的橫坐標 (>1)或 (0<<
34、;1)到原來的 倍(縱坐標不變)而得到的由于ysinx周期為2,故ysinx(>0)的周期為 相位變換:ysin(x)(0)的圖象,可以看做是把ysinx的圖象上各點向 (>0)或向 (<0)平移 個單位而得到的由ysinx的圖象得到y(tǒng)Asin(x)的圖象主要有下列兩種方法:ysinx相位變換周期變換振幅變換ysinx周期變換相位變換振幅變換或說明:前一種方法第一步相位變換是向左(>0)或向右(<0)平移 個單位后一種方法第二步相位變換是向左(>0)或向右(<0)平移 個單位例1.已知函數(shù)yAsin(x)(A>0,>0) 若A3,作出函數(shù)在
35、一個周期內的簡圖 若y表示一個振動量,其振動頻率是,當x時,相位是,求和321-1-2-3 xy0解:(1) y3sin()列表(略)圖象如下:02xy03030 (2)依題意有: 變式訓練1:已知函數(shù)y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象;(3)說明y=2sin的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變換而得到.解 (1)y=2sin的振幅A=2,周期T=,初相=.(2)令X=2x+,則y=2sin=2sinX.列表,并描點畫出圖象:x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20(3)方法一 把y=sinx的圖象上所有的點向
36、左平移個單位,得到y(tǒng)=sin的圖象,再把y=sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,最后把y=sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),即可得到y(tǒng)=2sin的圖象.方法二 將y=sinx的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到y(tǒng)=sin2x的圖象;再將y=sin2x的圖象向左平移個單位;得到y(tǒng)=sin2=sin的圖象;再將y=sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標伸長為原來的2倍,得到y(tǒng)=2sin的圖象.例2已知函數(shù)y=3sin(1)用五點法作出函數(shù)的圖象;(2)說明此圖象是由y=sinx的圖象經過怎么樣的變化得到的;(3
37、)求此函數(shù)的振幅、周期和初相;(4)求此函數(shù)圖象的對稱軸方程、對稱中心.解 (1)列表:x023sin030-30描點、連線,如圖所示:(2)方法一 “先平移,后伸縮”.先把y=sinx的圖象上所有點向右平移個單位,得到y(tǒng)=sin的圖象;再把y=sin的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,最后將y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到y(tǒng)=3sin的圖象.方法二 “先伸縮,后平移”先把y=sinx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sinx的圖象;再把y=sinx圖象上所有的點向右平移個單位,得到y(tǒng)=s
38、in(x-)=sin的圖象,最后將y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到y(tǒng)=3sin的圖象.(3)周期T=4,振幅A=3,初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此為對稱軸方程.令x-=k(kZ)得x=+2k(kZ).對稱中心為 (kZ).變式訓練2:已知函數(shù) 的最小正周期為且圖象關于對稱;(1) 求f(x)的解析式;(2) 若函數(shù)y1f(x)的圖象與直線ya在上中有一個交點,求實數(shù)a的范圍解:(1)wR 當w1時, 此時不是它的對稱軸w1 (2)0yx如圖:直線ya在上與y1f(x)圖象只有一個交點 或a1例3如圖為y=Asin(x+)的圖象
39、的一段,求其解析式. 解 方法一 以N為第一個零點,則A=-,T=2=,=2,此時解析式為y=-sin(2x+).點N,-×2+=0,=,所求解析式為y=-sin. 方法二 由圖象知A=,以M為第一個零點,P為第二個零點.列方程組 解之得.所求解析式為y=sin. 變式訓練3:函數(shù)y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分圖象如圖,則函數(shù)表達式為( )A. y=-4sin B. y=-4sinC. y=4sin D. y=4sin答案 B例4設關于x的方程cos2xsin2xk1在0,內有兩不同根,求的值及k的取值范圍解:由cos2xsin2xk1得 2sin(2x)k1即sin(
40、2x)設c: ysin(2x),l: y,在同一坐標系中作出它們的圖象(略)由圖易知當1時, 即0k1時直線l與曲線c有兩個交點,且兩交點的橫坐標為、,從圖象中還可以看出、關于x對稱.。故變式訓練4.已知函數(shù)f (x)sin(x)(>0,0)是R上的偶函數(shù),其圖象關于點M(,0)對稱,且在區(qū)間0,上是單調函數(shù),求和的值解:由f (x)是偶函數(shù),得f(x)f (x)即sin(x)sin(x)cossinxcossinx對任意x都成立,且0, cos0依題意設0 由f(x)的圖象關于點M對稱,得f(x)f (x)取x0得f ()f () f ()0f()sin()cos0又0得k(2k1)
41、(k0,1,2)當k0時, f (x)sin()在0,上是減函數(shù);當k1時,2 f (x)sin(2x)在0,上是減函數(shù);當k2時, f (x)sin(x)在0,上不是減函數(shù);或2小結歸納小結歸納1圖象變換的兩種途徑 先相位變換后周期變換ysinx ysin(x) ysin(x) 先周期變換后相位變換ysinx ysinxysin (x)2給出圖象求解析式y(tǒng)Asin(x)B的難點在于、的確定,本質為待定系數(shù)法,基本方法是: “五點法”運用“五點”中的一點確定 圖像變換法,即已知圖象是由哪個函數(shù)的圖象經過變換得到的,通??捎闪泓c或最值點確定T第8課時 三角函數(shù)的性質基礎過關1三角函數(shù)的性質函 數(shù)
42、ysinxycosxytanx定義域值 域奇偶性有界性周期性單調性最大(小)值2函數(shù)ysinx的對稱性與周期性的關系 若相鄰兩條對稱軸為xa和xb,則T 若相鄰兩對稱點(a,0)和(b,0) ,則T 若有一個對稱點(a,0)和它相鄰的一條對稱軸xb,則T 注:該結論可以推廣到其它任一函數(shù)典型例題例1. 化簡f (x)cos()cos()2sin(2x)(xR,kZ)并求f (x)的值域和最小正周期解:(1) f(x) 2sin(ax)(0a1)由于f(x)·g(x)最小正周期相同得 即a2m又f(1)2g(1) 即2sin(a)2tan(m)把a2m代入得sin(2m)tan(m)2
43、sin(m)cos(m)sin(m)0或cos(m)±當sin(m)0時,mk(kz),這與0m1矛盾當cos(m)±時,mk或mk(kz),現(xiàn)由0m1時得m故af(x)2sin(x),g(x)tan(x)(2) 由2kx2k得x12k5,12k1f(x)的單調遞增區(qū)間為12k5,12k1 (kz)變式訓練1:已知函數(shù) ;(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合 解:(1)(2)當f(x)取最大值時,sin(2x)1有2x2k 即xk(kz)故所求x的集合為例2已知函數(shù)f (x) 求f (x)的定義域 用定義判斷f (x)的奇偶性 在,上
44、作出函數(shù)f (x)的圖象 指出f (x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間解:(1) 由1cos2x0得2cos2x0cosx0即xk,(kz)函數(shù)f (x)的定義域為xxk,kz(2)定義域關于原點對稱,且對任意的定義域中x,f (x)f (x)為奇函數(shù).xy0-(3) f (x)又x,且xf(x)f (x)的圖象如右:(4) 由圖知,f(x)的最小正周期為2f (x)的單調遞增區(qū)間是()(kz)變式訓練2:求下列函數(shù)的定義域:(1)y=lgsin(cosx);(2)y=.解 (1)要使函數(shù)有意義,必須使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函數(shù)的簡圖得知定義域為x|-
45、+2kx+2k,kZ.方法二 利用單位圓中的余弦線OM,依題意知0OM1,OM只能在x軸的正半軸上,其定義域為.(2)要使函數(shù)有意義,必須使sinx-cosx0.方法一 利用圖象.在同一坐標系中畫出0,2上y=sinx和y=cosx的圖象,如圖所示.在0,2內,滿足sinx=cosx的x為,再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2,所以定義域為.方法二 利用三角函數(shù)線,如圖MN為正弦線,OM為余弦線,要使sinxcosx,即MNOM,則x(在0,2內).定義域為.方法三 sinx-cosx=sin0,將x-視為一個整體,由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以
46、定義域為.例3設函數(shù),已知f(x)、g(x)的最小正周期相同,且2(g)f(1);(1)試確定f(x)、g(x)的解的式;(2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間解:(1)當a1時,f(x)2cos2sinxb 遞增區(qū)間為2k(kz)(2)f (x)a(sinxcosx)ab而x0,xsin(x) 變式訓練3:已知函數(shù)f (x)(sinxcosx) 求它的定義域和值域; 求它的單調區(qū)間; 判斷它的奇偶性; 判定它的周期性,如果是周期函數(shù),求出它的最小正周期解:(1) 由題意得:sinxcosx0即sin(x)從而得2kx2k函數(shù)的定義域為()(kz)0sin(x)1 0sinxcosx即(sinxc
47、osx)故函數(shù)f (x)的值域為,(2) sinxcosxsin(x)在f(x)的定義域上的單調遞增區(qū)間為()(kz),單調遞減區(qū)間為(kz)(3) f(x)的定義域在數(shù)軸上對應的點關于原點不對稱f(x)是非奇非偶函數(shù)(4) f(x2)sin(x2)cos(x2) (sinxcosx)f(x)f (x)函數(shù)的最小正周期T2例4.已知函數(shù)yacosxb的最大值為1,最小值是3,試確定b sin(ax)的單調區(qū)間解:(1)若a0,則ab1,ab3, a2,b1,此時,sin(2x)單調增區(qū)間為k,k (kz)單調減區(qū)間為k,k (kz)(2) 若a0,則ab1,ab3, a2,b1,單調增區(qū)間為k,k (kz)單調減區(qū)間為k,k (kz)變式訓練4:某港口水的深度y(米)是時間t(0t<24,單位:時)的函數(shù),記作yf(t),下面是某日水深的數(shù)據(jù):t(時)036912y(米)10139.9710t(時)15182124y(米)1310.1710經過長期觀察,yf
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