高考數學第二輪復習數列典型例題1

1、1 已知數列 an 的前 n 項和 Sn 滿足： Sna(an1) （a 為常數，且 a0,a 1）a1（）求 an 的通項公式；（）設bn2Sn1，若數列 n為等比數列，求a的值；anb（）在滿足條件（）的情形下，設cn11，數列 cn 的前 n 項和為 Tn1an1 an 1求證： Tn2n1 3解：（）S1a(a1 1), a1a,a1當 n2 時， anSnaanaan 1 ,Sn 1a 1a1ana ，即 an 是等比數列 anaan 1an ；an 1（）由（）知，bn則有 b2 2b1b3 , 而 b1故 ( 3a 2) 23 3a2a2a(a n1)a11a n3,b23a2a

2、, b32a2 ，解得 aa2(3a1)an2a ，若 bn 為等比數列，an (a1)3a22a2a2,1 ，3再將 a1 代入得 bn3n 成立，3所以 a1 3（III）證明：由（）知an(1) n ，所以cn113n3n 1113n1 3n 1 131)n1 ()n 1(333n1 1 3n 11 1 111113n13n 113n13n 12(11) ，n1n1331由11,11得1111,n1n3n 11n 13n13n 113n3n 1333所以 cn2 (1311n1n 1) 2 (nn 1 ) ，33133從而 Tnc1c2cn2 (112) 2 ( 1213 )2 ( 1n

3、n11 )3333332n( 112) (1213 )( 1nn11 )3333332n111 ) 2n1(3n33即 Tn 2n1 32 數列an 中， a12 ， an 1ancn （ c 是常數， n1，2，3， ），且 a1， a2， a3 成公比不為 1的等比數列。（ I ）求 c 的值；（ II ）求 an 的通項公式。解：（ I ） a12 ， a22c ， a323c ，因為 a1 ， a2 ， a3 成等比數列，所以 (2c)22(23c) ，解得 c0 或 c2 當 c0 時， a1a2a3 ，不符合題意舍去，故c2 （ II）當n 2 時，由于 a2a1c ， a3a22

4、c ，anan1(n1)c ，所以 ana112( n1)cn(n 1) c 。2又 a12 ， c2 ，故 an 2n( n1)n2n2( n 2，3， ) 當 n=1 時，上式也成立，所以 ann2n 2( n 1，2， )3 已知數列 a 中，1n*a11,anan1() ,( nN )n2（ 1）求證：數列*2n與 a2n 1N )2 an T2n a2n前的和；( n都是等比數列；（ ）求數列（ 3）若數列 an 前 2n 的和為 T2n ，不等式 64T2 n a2n 3(1ka2n ) 對 nN * 恒成立，求 k 的最大值。解：（ 1） an an 1 (1) n ，an 21

5、2an2數列 a1 ,a3 , a2n 1 ,是以 1 為首項，1 為公比的等比數列；2數列 a2 , a4 , , a2n ,是以 1為首項，1為公比的等比數列。221 ( 1) n1 1 (1 )n （2） T(a aa) ( a aa)2222n132 n 1242 n1111223 3 ( 1) n2（3） 64T2 na2n3(1 ka2n )643 3 (1 )n ( 1)n3 3k( 1) n2n6464 k2222n2n6416當且僅當 n3時取等號，所以64k 16 ，即 k48 ， k 的最大值2n為 484 已知等差數列an的公差大于0, 且a3 , a5 是方程x214

6、x450 的兩根, 數列bn的前 n 項的和為Sn ，且Sn11 bn .2（ 1）求數列an， bn的通項公式；（2） 記cnanbn , 求證：cn 1cn .解：（）a3， a5 是方程x214 x450 的兩根，且數列 an 的公差d>0， a =5， a =9，公差 da5a32.3553 ana5 ( n 5) d2n 1.又當 n=1 時，有 b1=S1=1 1b1 ,b12 .23時有bnSnSn 11(bn 1 bn ),bn1 (n2).當 n 2 ,2bn 13數列 b 是等比數列，b121n,q.332 . bnb1 qn 13n2(2n1) , cn 12(2n

7、1)（）由（）知cnan bn,3n3n1 cn 1cn2(2n1)2(2n1)8(1 n)0.3n13n3n 1 cn 1 cn .5 已知數列 an 的前 n 項和為 Sn ，對一切正整數 n ，點 Pn ( n, Sn ) 都在函數 f ( x) x22x的圖像上，且過點Pn (n, Sn ) 的切線的斜率為kn （ 1）求數列 an 的通項公式（ 2）若 bn2k n an ，求數列 bn 的前 n 項和 Tn （3）設 Q x xkn , nN, R x x2an ,nN ，等差數列 cn 的任一項cn QR ，其中 c1 是 QR 中的最小數，110c10 115 ，求 cn 的通

8、項公式.解：（ 1）點 Pn ( n, Sn ) 都在函數 f ( x)x22x 的圖像上，Snn22n(n N * ) ,當 n2 時， anSnSn 12n 1.當 1 時， a1S13 滿足上式，所以數列 an 的通項公式為 an2n 1.（ 2）由 f ( x)x22x 求導可得 f ( x)2x 2過點 Pn (n, Sn ) 的切線的斜率為kn ，kn2n2.bn2kn an4 (2 n 1) 4n .Tn434145424743+4 （2n 1) 4n 由× 4，得T4 3 424 5 434 7 44+4 （2n 1) 4n 1 4 n- 得：T43424243+4n

9、 - （2n 1) 4n 13 n24n1（）（n1434241-1)4142nTn6n1 4n21699（ 3）Q x x 2n 2, n N , R x x 4n 2, n N ,QRR.又cnQR ，其中 c1 是 QR 中的最小數，c16 .cn 是公差是4 的倍數，c104m6( mN*).又110c10115 ，1104m6115, 解得 27.mN *所以 c10114 ，設等差數列的公差為d，則c10c11146 ，d101912cn6 (n1) 1212n 6 ，所以cn的通項公式為 cn 12n 66 已知 Sn 是數列an 的前 n 項和， a13 , a2 2 ，且 S

10、n 1 3Sn2Sn 1 1 0 ，其中n 2, n N *2.(1) 求數列 an 的通項公式 an ；(2) 求 Sn .解：Sn 13Sn2Sn110Sn1Sn2(SnSn 1 )1an 12an1(n2)又 a13, a22 也滿足上式，an 12an1(nN* )an 112(an 1) （ n N* ）21 的等比數列數列 an1 是公比為2，首項為 a112an112n12n222 120212n2 Sna1a2.an111.1 Sna1a2.an2 1 1201211 .2n21101n2n2n1n222.2217函數 f ( x) 對任意 x R 都有 f(x) f(1 x)

11、 2.（ 1）求 f ( 1)和 f ( 1 )f ( n1)(nN) 的值；2nnf ( 1 )f ( 2 )f ( n1)（ 2）數列 an 滿足 anf (0)f (1), 求數列 an 的通nnn項公式。（ 3）令 bn4,Tnb12b22b32bn2 , Sn3216試比較 Tn 與 Sn 的大小。4an1n解：（ 1）令 x1 的 f ( 1)1224令 x11)f (11n得 f ()nn（ 2） anf (0)f ( 1)n又 anf (1)f ( n 1)n f ( 1 )2an f (0)f (1)nn12n1an(nN *)41f (1)f ( n 1)2nnf ( n1

12、)f (1)nf ( 1)f (0) ，兩式相加nf ( n1) f (1) f (0)nan 1an1 ,故數列 an 是等差數列4（ 3） bn444an1nTn b12b22bn216(11112 232n 2161111)122 3n(n1)161(11)( 11 )(11)223n1n116(2)32 16 Sn nTnSn8、已知數列 an中 a13, a25，其前 n 項和為滿足 Sn Sn 22Sn 1 2n 1 (n 3) （ 1）試求數列 an的通項公式（ 2）令 bn2n 1, Tn 是數列bn 的前 n 項和，證明： Tn1an an 16（ 3）證明 : 對任意的 m

13、0,1，均存在 n0N ，使得（ 2）中的 Tnm 成立6解： （ 1）由 SnSn 22Sn 12n 1( n3) 得 SnSn 1Sn 1Sn 2 2n 1 (n 3)ansnsn 1 ， anan 12n 1 (n 3) ，即 anan 12n 1( n 3)又 a2a1532(n2) ，anan 12n 1 (n2)ananan 1an 1an 2a2a1a12n 12n 22n 3213（n 1）2 1 23 2n 112故數列 an的通項公式為 an2 n1（ 2） bn2n 12n 1111,anan 1(2n1)(2n 11) 2 2n 1 2n 11Tnb1b2b3bn111

14、11112 3 55 92n1 2n 1 11111232n116（ 3）證明：由（ 2）可知 Tn111232n 11若 Tnm , 則得111m ,化簡得 16m12 3 2n 1 132n 1 1m(0,116m 0 ，n133)216m1nlog 2 (16m1) 16當 log 2 (31)11 ，即 0 m1時，取 n01即可16m15當 log 2 (31)11，即即 1m1時，則16m156記（3） 的整數部分為S，取n0s1即可 ,6mlog 2 111綜上可知 , 對任意的 m (0,1N使得時（ 2）中的 Tnm 成立) 均存在 n069 已知數列 a 的前 n 項和為

15、S ，并且滿足 a 2,nan1 S n(n 1).nn1n（ 1）求數列 an 的通項公式 an ；（ 2）設 Tn為數列 ann 的前 n項和, 求Tn . 2解：（ 1） nan 1(n1) anan2n,an 1 an 2(n 2)a1 2, a2s12,a2a12, 所以 an 等差 an 2nan2nn123n（ 2）n2n2n 1 , Tn222n 122112n1n2 Tn2 222n 12n1 Tn2 ( n 2) 1,Tn4n 222n2n 110 已知二次函數 f(x)231 2 ax bx c 的圖象頂點坐標是 (，) ，且 f(3)24（ 1）求 y f(x)的表達式

16、，并求出f(1),f(2)的值；（ 2）數列 an , bn ，若對任意的實數x都滿足 g ( x)f ( x) an xbn xn 1 , n N * ，其中 g( x) 是定義在實數集R 上的一個函數，求數列 an , bn 的通項公式；解：（ 1） f (x)a( x3)2124因為 f (3)2, 所以 a(33) 212a124f ( x)(x3) 21x23x2f (1)0, f ( 2)024（ 2）令 x1anbn1 0, x22anbn2n 10,n 1則 an 1 2 bn 2n 1 211 已知數列 a n 滿足 a15,a2 5,a n 1 an6an 1(n 2且 n

17、 N* )（ 1）求出所有使數列 an 1an 成等比數列的值，并說明理由；（ 2）求數列 an 的通項公式；（ 3）求證： 1111 ( n N * ).a1a2an2解：（ 1）66260,3或 2an 1an(1) an1an 1 , 1（ 2） an3n( 2) n（ 3）當 n2k 時，證明 1132k 1132 k3332 k122 k4an 1an22 k 122 k32k322 k32k234 32k22 k424 k324 k12 k32k32 k322222 k ( 7 32 k622 k )0( 732k7 ( 3 )2 k791)226 22k122124當n時,1 1

18、14 444912ka1a2an9 819k9 8 2當n2k時1111111,a2ana1an 12a112已 知 數 列 an， bn滿 足 a12,2an1an an1,bnan1 ， 數 列 bn的 前 n項 和 為S , TSnSnn2.n（）求數列bn的通項公式；（）求證： Tn 1Tn ；（）求證：當n 2時， S n 7n 11 212解：（ 1）由 bnan1，得 anbn1，代入 2an1an an 1 ，得 2(bn 1)1( bn1)( bn11) ，整理，得 bn bn1bn 1bn0, 從而有111， b1a112 11 ，bnbn 11是首項為1，公差為1 的等差

19、數列，1n, 即 bn1 .bnbnn（ 2）Sn111Sn111 ，2n ，Tn S2nn 1 n 22nTn111111，n2n32n2n12n2Tn 1Tn1111110 ， 2n 1 2n 22n12n2n1 2n22n 2n1Tn 1Tn .（ 3） n 2 ，S2nS2 nS2n 1S2n 1S2 n 2S2S1S1T2 n 1T2n 2T2T1S1 .由（ 2）知 T n 1 T n 2T2，T11, S11,T27 ，22212S2nT2n 1 T2 n 2T2T1S1 n 1 T2T1 S1717n11n 1112.12213 已知數列 an 的首項 a11， a23 ，前

20、n 項和為 Sn ，且 Sn1 、 Sn 、Sn 1 分別是直線 l上的點 A、 B、 C 的橫坐標，點B 分 AC 所成的比為 2an1 ，設 b11anbn1log2 (an1)bn 。 判斷數列 an1 是否為等比數列，并證明你的結論；bn 11 設 cn4 n1n，證明：Ck1 。anank 11由題意得 Sn1Sn2an1an 12an1SnSn 1anan 112(an1)數列 an1 是以 a112 為首項，以 2 為公比的等比數列。 則 an1 2nan2n1（ nN* ）由 an2n1及 bn 1log2 (an1)bn 得 bn 1bn nbn1n( n1)2bn 112n則 cn4 n111anan 1(2n1)(2n 11) 2n1 2n 11n11111111C k21 221221 231231 2412n1 2n 11k 11112n 1114 已知各項均為正數的數列 an 滿足 a2a a2a20( n N * ) 且a3 2是、的n 1n 1 nna2 a4等差中項（1）求數列 an 的通項公式an ；（ 2）若 bnan log 1an , snb1b2bn ，求使 snn2n 150 成立的正整數n 的2最小值。解： (1) an21an1an2an20,( an1 an )(an 1 2an )0,數列 a