高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.1導數(shù)的概念1.1.2瞬時變化率——導數(shù)教學案蘇教版選修2-2

1、11.2瞬時變化率導數(shù)曲線上一點處的切線如圖 Pn 的坐標為 ( xn，f ( xn)( n1,2,3,4 ) ， P 的坐標為 ( x0， y0) 問題 1：當點 Pn 點 P 時，試想割線PPn 如何變化？提示：當點Pn 趨近于點 P 時，割線 PPn 趨近于確定的位置問題 2：割線 PPn 斜率是什么？提示：割線 PPn 的斜率是 kn fxn f x0.xnx0問題 3：割線n 的斜率與過點P的切線PT的斜率k有什么關系呢？PP提示：當點 P 無限趨近于點P 時， k無限趨近于切線PT的斜 率nn問題 4：能否求得過點P的切線 PT的斜率？提示：能1割線設 Q為曲線 C上不同于 P 的

2、一點，這時，直線 PQ稱為曲線的割線2切線隨著點 Q沿曲線 C 向點 P 運動，割線PQ在點 P附近越來越逼近曲線C. 當點 Q無限逼近點 P 時，直線PQ最終就成為在點P 處最逼近 曲線的直線l ，這條直線l 也稱為曲線在點P處的切線.瞬時速度與瞬時加速度一質點的運動方程為S8 3t 2，其中 S 表示位移， t 表示時間1/11問題 1：該質點在 1,1 t 這段時間內的平均速度是多少？提示：該質點在 1,1 8 31t2 83×12t 這段時間內的平均速度為t63t .問題 2：t 的變化對所求平均速度有何影響？提示：t 越小，平均速度越接近常數(shù)6.1平均速度運動物體的位移與所

3、用時間的比稱為平均速度2瞬時速度一般地，如果當t 無 限 趨 近 于 0 時 ， 運 動 物 體 位 移 S( t ) 的 平 均 變 化 率S t0 t S t0無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在t t 0 時的瞬時速t度，也就是位移對于時間的瞬時變化率3瞬時加速度一般地，如果當t 無 限 趨 近 于 0 時 ， 運 動 物 體 速 度 v( t ) 的 平 均 變 化 率v t0 t v t0無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在t t 0 時的瞬時加t速度，也就是速度對于時間的瞬時變化率導數(shù)1導數(shù)設函數(shù) y f ( x) 在區(qū)間 ( a， b) 上有定義， x0 ( a，b)

4、 ，若x 無限趨近于 0時，比值y fx0x fx0無限趨近于一個常數(shù)A，則稱 f ( x) 在 x x0 處可導，并稱該xx常數(shù) A 為函數(shù) f ( x) 在 x x0 處的導數(shù)，記作f (x0) 2導數(shù)的幾何意義導數(shù)( 0) 的幾何意義是曲線y(x) 在點(0，(x0) 處的切線的斜率fxfP xf3導函數(shù)(1) 若 f ( x) 對于區(qū)間 ( a， b) 內任一點都可導，則f ( x) 在各點的導數(shù)也隨自變量x 的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱為f(x) 的導函數(shù)，記作f( ) ，在不引起x2/11混淆時，導函數(shù)f (x) 也簡稱 f ( x) 的導數(shù)(2) f ( x)

5、在 x x0 處的導數(shù) f (x0) 就是導函數(shù) f (x) 在 xx0 處的函數(shù)值1利用導數(shù)的幾何意義，可求曲線上在某點處的切線的斜率，然后由點斜式寫出直線方程2函數(shù)y f ( x) 在點 x0 處的導數(shù)f (x0) 就是導函數(shù)f (x) 在 x x0 處的函數(shù)值，所以求函數(shù)在一點處的導數(shù)，一般先求出函數(shù)的導函數(shù)，再計算這點的導函數(shù)值 對應學生用書 P5求曲線上某一點處的切線15例 1已知曲線 y x x上的一點A 2，2，用切線斜率定義求：(1) 點 A 處的切線的斜率；(2) 點 A 處的切線方程 思路點撥 f2x f2x 趨近于 0時無限逼近的值先計算x，再求其在11x 精解詳析 (1

6、) y f (2 x) f (2) 2x 2x 2 2 22xx，yxx 1 1.2xx 2x 2xx 2當x 無限趨近于零時，y3無限趨近于，x43即點 A處的切線的斜率是4.5 3(2) 切線方程為 y 2 4( x 2) ，即 3x 4y 40. 一點通 根據(jù)曲線上一點處的切線的定義，要求曲線過某點的切線方程，只需求出y切線的斜率，即在該點處，x 無限趨近于0 時，無限趨近的常數(shù)x3/111251曲線 y 2x2在點 P1，2處的切線的斜率為 _解析：設P 1，5， Q 1 x， 11x 22，則割線PQ 的斜率為 kPQ221521x2 221x 1.x 2125當x 無限趨近于 0時

7、， kPQ無限趨近于1，所以曲線y2x 2在點 P1，2 處的切線的斜率為 1.答案： 12已知曲線 y 2x2 4x 在點 P處的切線的斜率為16，則 P點坐標為 _解析：設 P 點坐標為 ( x0， y0) ，則 fx0x fx0 2x24x0x4xx0x x0x 4x0 42 x.當x 無限趨近于0 時， 4x0 42x 無限趨近于4x0 4，因此 4x0 4 16，即 x0 3，所以 y02×324×3 18 12 30.即 P 點坐標為 (3,30) 答案： (3,30)3已知曲線y 3x2 x，求曲線上一點A(1,2) 處的切線的斜率及切線方程解：設 (1,2)

8、， (1x,3(1 x)2(1 x) ，AB3 1x21x 3×12 1x，則 kABx 53當x 無限趨近于 0時， 53 x 無限趨近于5，所以曲線 y 3x2 x 在點 A(1,2)處的切線斜率是 5.切線方程為 y2 5( x1) ，即 5x y 30.瞬時速度 例 2 一質點按規(guī)律S( t ) at 2 1做直線運動 ( 位移單位： m，時間單位： s) ，若該質點在 t 2 s 時的瞬時速度為8 m/s ，求常數(shù) a 的值 思路點撥 先求出質點在t 2s時的平均速度，再根據(jù)瞬時速度的概念列方程求解4/11 精解詳析 因為S S(2 22 4at t ) S(2) a(2

9、t ) 1 a·2 12St .a( t ) ，所以 4a atS當t 無限趨近于0 時，無限趨近于4a.t所以 t 2 s 時的瞬時速度為4a m/s.故 4a 8，即 a 2. 一點通 要計算物體的瞬時速度，只要給時間一個改變量t ，求出相應的位移的改變量S，再求出平均速度 v St 無限趨近于0 時，S，最后計算當無限趨近常tt數(shù)，就是該物體在該時刻的瞬時速度4一做直線運動的物體，其位移S與時間 t 的關系是 S 3t t 2，則此物體在t 2 時的瞬時速度為 _解析：由于S3(2 t ) (2 t ) 2(3 ×2 22) 3 t 4 t (t ) 2 t ( t

10、) 2，所以S t t 2t .t 1tS當t 無限趨近于0 時，無限趨近于常數(shù)1.t故物體在 t 2 時的瞬時速度為1.答案： 1t2 2，0t<3 ，5如果一個物體的運動方程() 試求該物體在t 1S t29 3 t 32，t 3，和 t 4 時的瞬時速度解：當 t 1時， S( t ) t 2 2，則S S 1t S 11t 2 2 3t ，tt 2t當 t 無限趨近于 0 時， 2 t 無限趨近于 2，所以 v(1) 2； t 4 3 ， ) ， S( t ) 29 3( t 3) 2 3t 2 18t 56，5/11S3 4t 2184t 563×4218×

11、4 56 tt3 t2 6·tt3· t 6，S當t 無限趨近于0 時， 3· t 66，即6，t所以 v(4) 6.導數(shù)及其應用 例 3已知 f ( x) x2 3.(1) 求 f ( x) 在 x 2 處的導數(shù)；(2) 求 f ( x) 在 x a 處的導數(shù) 思路點撥 根據(jù)導數(shù)的定義進行求解深刻理解概念是正確解題的關鍵 精解詳析 (1)因為y f2x f2xx2x 2 3 223x 4x，當x 無限趨近于0 時，4x 無限趨近于4，所以 f ( x) 在 x2 處的導數(shù)等于4.(2) 因為y fax faxxax2 3a23x 2a x，當x無限趨近于0時，2

12、 x無限趨近于2 ，aa所以 f ( x) 在 xa 處的導數(shù)等于2a. 一點通 由導數(shù)的定義知，求一個函數(shù)yf ( x) 在 xx0 處的導數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的改變量y f ( x0 x) f ( x0) ；(2)求平均變化率y fx0x fx0；xx(3) 令 x 無限趨近于 0，求得導數(shù)16函數(shù) y x x在 x 1 處的導數(shù)是 _6/111解析：函數(shù)y f ( x) x x， y f (1 x) f (1)x1x 2 11x 1 11x ，yxy ，當 x0時，0，x1xx1即 yx 在 x1 處的導數(shù)為 0. x答案： 07設 f ( x) ax 4，若 f (1) 2，則

13、 a _.解析：f 1x f 1a 1x 4 a 4 ，xxa f (1) a，即 a 2.答案： 28將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh 時，原油的溫度 (單位： ) 為f(x) x2 7 15(0 x8) 求函數(shù)y(x) 在xxf6 處的導數(shù) f (6) ，并解釋它的實際意義解：當 x 從 6 變到 6x 時，函數(shù)值從f (6) 變到 f (6 x) ，函數(shù)值 y 關于 x 的平均變化率為：f 6x f 6 x6x2 76x 15627×6 15x5 x x 25 .xx當 x6時，即x0，平均變化率趨近于5，所以 f (6) 5，導

14、數(shù) f (6) 5表示當 x 6 h 時原油溫度的瞬時變化率即原油溫度的瞬時變化速度也就是說，如果保持6 h 時溫度的變化速度，每經(jīng)過1 h 時間，原油溫度將升高 5.1利用導數(shù)的幾何意義求過某點的切線方程(1) 若已知點 ( x0， y0) 在已知曲線上，則先求出函數(shù)y f ( x) 在點 x0 處的導數(shù)，然后根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程y y0 f (x0)( xx0) 7/11(2) 若題中所給的點 ( x0 ， y0) 不在曲線上，首先應設出切點坐標，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程2 f (x ) 與 f (x) 的異同0區(qū)別聯(lián)系f (x0( 0)

15、是導函數(shù)f (x0) 是具體的值，是數(shù)值在xx0處的導數(shù)f)xf (x) 在 x x0 處的函數(shù)值，因此求函f (x) 是 f ( x) 在某區(qū)間 I上每數(shù)在某一點處的導數(shù)，一般先求導函f (x)一點都存在導數(shù)而定義的一個數(shù)，再計算導函數(shù)在這點的函數(shù)值新函數(shù)，是函數(shù) 對應課時跟蹤訓練( 二 )一、填空題1一質點運動的方程為 5 3 2，若該質點在時間段1,1 t 內相應的平均速度St為 3 t 6，則該質點在t 1 時的瞬時速度為 _解析：當t無限趨近于0 時， 3 t 6 無限趨近于常數(shù)6，該質點在t 1時的瞬時速度為 6.答案： 62函數(shù) f ( x) 1 3x 在 x 2 處的導數(shù)為 _

16、y解析：y f (2 x) f (2) 3x， 3，x則x 趨于 0時，y 3.x故 f ( x) 在 x 2 處的導數(shù)為 3.答案： 313已知函數(shù)y f ( x) 的圖象在點M(1 ， f (1)處的切線方程是y 2x 2，則 f (1) f (1) _.解析：由題意知 f (1) 1， f (1) 1 25，2228/115 1所以 f (1) f (1) 2 2 3.答案： 31234曲線 f ( x) 2x 2 在點1，處的切線的傾斜角為 _211f 1x f121x2 2 22解析：xx12 x 2x 1x 2x1.當 x 無限趨近于0 時，f 1x f 11，即切線的斜率為無限趨

17、近于常數(shù)x1.切線的傾斜角為.4答案： 45已知曲線y 2ax2 1 過點 P(a， 3) ，則該曲線在P點處的切線方程為_解析： y 2ax21 過點 P(a， 3) ， 3 2a2 1，即 a21.又 a0， a 1，即 y 2x2 1. P(1,3) 又y f1x f 12 1x2 12×12 142 .xxxxy當x 無限趨近于0 時，無限趨近于常數(shù)4，x f (1) 4，即切線的斜率為4.由點斜式可得切線方程為y 3 4( x 1) ，即 4x y 1 0.答案： 4x y 1 0二、 解答題126已知質點運動方程是S( t ) 2gt 2t 1( g 是重力加速度，常量)

18、 ，求質點在t 4s 時的瞬時速度( 其中 s 的單位是m， t 的單位是s) 9/11解：S S 4t S 4tt112g4t224t 1 2g·422×4 1t12gt24g· t 2·tt1 2g t 4g 2.S當t 0時，4g 2，t S(4) 4g2，即 v(4) 4g2，所以，質點在 t 4 s 時的瞬時速度為 (4 g2) m/s.7求過點 P( 1,2)且與曲線 y 3x2 4x 2 在點 M(1,1)處的切線平行的直線方程31x2 4 1x 23×124×1 2解：x2x 3x 2x 23· x，當x0時， 23· x2， f (1) 2，所以直線的斜率為2，所以直線方程為 y 2 2( x 1) ，即 2x y 4 0.8已知直線l ： y 4xa 和曲線 C： y x3 2x2 3 相切求 a 的值及切點的坐標解：設直線l 與曲線 C相切于點