高中數(shù)學(xué)第一章不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法1.1.1不等式的基本性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修4-5

1、11.1不等式的基本性質(zhì)(1) 對稱性(2) 傳遞性(3) 加( 減)(4) 乘( 除)(5) 乘方(6) 開方(7) 加法法測(8) 乘法法測 對應(yīng)學(xué)生用書P1 讀教材·填要點(diǎn)1實數(shù)的大小的幾何意義和代數(shù)意義之間的聯(lián)系設(shè) a，b R，則 a b? a b 0； a b? a b 0； a b? a b 0.2不等式的基本性質(zhì)a b? b aa b， b c? a ca b? a c b ca b， c 0? ac bc；a b， c 0? ac bcnna b 0? a b ( n N，n2)nna b 0?ab( nN， n2)a>b， c>a? a c>bda

2、>b>0， c>d>0? ac>bd 小問題·大思維1若x y， a b，則在 a x b y， a x b y， ax by， x b y a，ab yx這五個不等式中，恒成立的不等式有哪些？提示：令 x 2， y 3， a 3， b 2，符合題設(shè)條件x y， a b，則 a x3 ( 2) 5， by 2 ( 3) 5，a x by，因此不成立又 ax 6， by 6， ax by，因此也不正確1 / 9a3b 2又 y 3 1， x 2 1，ab yx，因此 不正確由不等式的性質(zhì)可推出恒成立即恒成立的不等式有.1 12若 a<b，一定有>

3、; 嗎？a b提示：不一定如a 1， b 2. 事實上，1 1當(dāng) ab>0 時，若 a<b，則有 a>b；1 1當(dāng) ab<0 時，若 a<b，則有< ；a b11當(dāng) ab 0 時，若 a<b，則 a與 b中有一個式子無意義 對應(yīng)學(xué)生用書 P2作差法比較大小 例 1x R，比較 x3 1 與 2x2 2x 的大小 思路點(diǎn)撥 本題考查利用作差法比較兩個代數(shù)式的大小解答本題需要將作差后的代數(shù)式分解因式，然后根據(jù)各因式的符號判斷x3 1 與 2x2 2x 的大小 精解詳析 ( x31) (2 x2 2x) (32) (2 2 1)xxxx x2( x1) (

4、x1) 2 ( x1)( x2 x1) x2 x1 x123320，44當(dāng) x 1 時， ( x 1)( x2x 1) 0.即 x3 1 2x2 2x；當(dāng) x1 時， ( x 1)( x2 x 1) 0，即 x3 1 2x2 2x.2 / 9當(dāng) x1 時， ( x 1)( x2 x 1) 0，即 x3 1 2x2 2x.(1) 用作差法比較兩個數(shù) ( 式 ) 的大小時，要按照“三步一結(jié)論”的程序進(jìn)行，即：作差 變形 定號 結(jié)論 ，其中變形是關(guān)鍵，定號是目的(2) 在變形中，一般是變形得越徹底越有利于下一步的判斷變形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等(3) 在定號中，若為幾個因式的

5、積，需每個因式均先定號，當(dāng)符號不確定時，需進(jìn)行分類討論1當(dāng) 0時，比較 (22a 1)(a2 21)與(2 1)(2 1) 的大小aaaaaaa解：兩式作差得(a2 2 1)(2 2 1)(a2 1)(2 1)aaaaaa ( a21) 2 (2a) 2 ( a21) 2 a2 a2. a0， a2<0. ( a22a 1)( a22a 1)<(a2 a 1)(a2 a 1).不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用 例 2下列命題中正確的是()(1) 若 a b， c b，則 a c；a(2) 若 a b，則 lg b 0；(3) 若 a b， c d，則 ac bd；1 1(4) 若 a b 0，

6、則 a<b；a b(5) 若c d，則 ad bc；(6) 若 a b， c d，則 a d bc.A (1)(2)B (4)(6)C (3)(6)D(3)(4)(5) 思路點(diǎn)撥 本題考查對不等式的性質(zhì)的理解，解答本題需要利用不等式的性質(zhì)或利3 / 9用特殊值逐項判斷 精解詳析 (1) 錯誤因為當(dāng)取4， 2，6 時，有 ，b成立，但aabca b cc 不成立(2) 錯誤因為 a、b 符號不確定，所以無法確定aab 1 是否成立，從而無法確定lg b 0是否成立(3) 錯誤此命題當(dāng) a、 b、 c、 d 均為正數(shù)時才正確111(4) 正確因為 a b，且 a、 b 同號，所以 ab 0，

7、兩邊同乘以 ab，得 ab.(5) 錯誤只有當(dāng) cd 0 時，結(jié)論才成立(6) 正確因為 c d，所以 d c，又 ab，所以 a d bc.綜上可知 (4)(6)正確答案B運(yùn)用不等式的性質(zhì)時要注意條件，如倒數(shù)法則要求兩數(shù)同號；兩邊同乘一個數(shù)，不等號方向是否改變要視此數(shù)的正負(fù)而定；同向不等式可以相加，異向不等式可以相減2若 ， R，則11成立的一個充要條件是()>m nm nA m>0>nB n>m>0C <<0D( )<0m nmn mn1 111n m( )>0?()<0.解析： > >0?>0?m n?m nm

8、nmn n mmn m n答案： D利用不等式的性質(zhì)求取值范圍4，< < 例 3 已知 < <，求 2 的取值范圍33 思路點(diǎn)撥 解答本題時，將 ， 看作整體，再求出2 的取值范圍 精解詳析 設(shè) 2 A( ) B( ) ，4 / 9則 2 ( A B) ( A B) .1A B 2，A ，2比較兩邊系數(shù)得?3A B 1B2.13 2 2( ) 2( ) 12 2 <2( )< 3， 3<3( )< ，222 <2 < 6 .故 2 ， 6.(1) 若已知某兩個代數(shù)式的取值范圍，求另一個代數(shù)式的取值范圍時，應(yīng)利用待定系數(shù)法把所求代數(shù)式用

9、已知的兩代數(shù)式表示，進(jìn)而利用同向不等式的可加性求其范圍，否則可能導(dǎo)致所求代數(shù)式范圍變大(2) 同一問題中應(yīng)用同向不等式相加性質(zhì)時，不能多次使用，否則可能導(dǎo)致范圍擴(kuò)大3若已知二次函數(shù)y f ( x) 的圖象過原點(diǎn)，且1f ( 1) 2,3 f (1) 4. 求f ( 2)的范圍解：法一： f ( x) 過原點(diǎn)，可設(shè)f ( x) ax2bx.f1 a b， 1 a b.fa 1f1 f1 ，21b 2f1 f1 . f ( 2) 4a2b 3f ( 1) f (1) 1 f ( 1) 2,3 f (1) 4. 6 f ( 2) 10.5 / 9法二：設(shè) f ( x) ax2 bx，則 f (1)

10、a b， f ( 1) a b.令 m( a b) n( a b) f ( 2) 4a 2b，m n 4，m 1，mn 2.n 3. f ( 2) ( ab) 3( a b) f (1) 3f ( 1) 1 f ( 1) 2,3 f (1) 4， 6 f ( 2) 10.對應(yīng)學(xué)生用書P3一、選擇題1已知 ， ，d為實數(shù)，且> ，則“> ”是“a > ”的()a b cc da bc b dA充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件a c>bd，? a>b；而當(dāng)ac 2， b d 1 時，滿足a>b，解析：由但 ac>dc>

11、;d，c>b d 不成立，所以“ a>b”是“ a c>b d”的必要而不充分條件答案： B2已知 ， ， R，且 0，則下面推理中正確的是 ()a b cab22A ab? am bm3311C a b ? a b解析：對于A，若 m 0，則不成立；對于2 2? ( a b)( a ab b ) 0， a2 ab b2 ( ab) 2 3b2 0 恒成立，24abB c c? abD a2 b2? a bB，若 c0，則不成立；對于C，a3 b3 06 / 91 1 a b 0. a b. 又 ab 0， a b. C成立對于 D， a2 b2? ( ab)( a b) 0

12、，不能說 a b.答案： C3設(shè) ， R，若a |>0 ，則下列不等式正確的是()a bbA ba>0Ba3 b3<0C a2 b2<0Db a>0解析：a |>0 ，a>|>0.bb不論 b 取任何實數(shù)不等式a b>0 都成立答案： D4如果 R，且2 0，那么 ，2， ，2的大小關(guān)系是 ()aaaaaaaA a2 a a2 aB a a2 a2 aC a a2 a a2D a2 a a a22解析： a a 0，即 a( a 1) 0，可得， 1 a0，綜上有 a a2 a2 a.答案： B二、填空題5 若f( )32 x1， ( )2

13、2x1，則f(x) 與()的大小關(guān)系是xxg xxg xf ( x)_ g( x) 解析： f ( x) g( x) (3 x2 x 1) (2 x2 x 1) x2 2x 2 ( x 1) 211 0，f ( x) g( x) 答案：6已知 12<a<60,15< b<36，則 ab 的取值范圍分別是 _解析： 12<a<60， 36< b< 15， 24<a b<45. 答案： ( 24,45)7給出下列條件： 1 a b； 0 a b 1； 0 a 1 b. 其中能推出1log b b1log ab log ab 成立的條件的序

14、號是_ ( 填所有可能的條件的序號 )1解析： log bb 1，7 / 911若 1a b，則 b a 1 b，11 log ablog aa 1，故條件不可以；1 1若 0a b 1，則 b 1 b a.111 log ablog ab log aa 1 log bb，故條件可以；1若 0a 1 b，則 0 b 1，1 log a 0， blog ab 0，條件不可以故應(yīng)填.答案：8 設(shè)x a2 b2 5 ， y 2ab a2 4a ， 若 x>y ， 則 實 數(shù)a ， b 滿 足 的 條 件 是_ 解析： x>y， a2b2 5 2ab a2 4a a2 4a 4 a2b2 2ab 1 ( a2) 2 ( ab1) 2>0. ab1或 a 2.答案： ab1或 a 2.三、解答題9已知 2 < 2 ，求2，2的范圍<解：2 2，424424. 因而兩式相加得2 2< 2 .又 4 24， 4 2 4 .8 / 9 22< 2 .又 ，20. 22 0. 即2 2，2 ，2 2，0.10已知a， 正實數(shù) 且a ，比較a2b2與的大小bbbaa ba2b2a2b2解：b a ( a b) b b a a a2 b2 b2 a2 ( a2 b2