高等數(shù)學微分方程試題匯編

1、學習 - 好資料第十二章微分方程§2-1微分方程的基本概念一、判斷題1.y=ce 2x （c 的任意常數(shù) ）是 y ' =2x 的特解。（）2.y= （ y ） 3 是二階微分方程。（）3.微分方程的通解包含了所有特解。（）4.若微分方程的解中含有任意常數(shù)，則這個解稱為通解。（）5.微分方程的通解中任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)。（）二、 填空題微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的階數(shù)是 _ 。2.函數(shù) y=3sinx-4cosx _微分方程的解。3.積分曲線 y=(c 1 +c2x)e 2x 中滿足 y x=o =O, y" x=o =1 的曲線是 _

2、。三、選擇題1. _下列方程中是常微分方程2 2 2d( A ) 、x+y =a (B) 、 y+ (e ) = 0dx_2_2arctan x3'32 2(C) 、2 + =0(D) 、y =x +yexcy2. _下列方程中是二階微分方程2 y 2i-2232( A) (y )+x +x =0(B) ( y ) +3x y=x (C)y +3 y +y=0(D) y -y =sinx穿+w2y=0 的通解是_ 中 c.c i.c2 均為任意常數(shù)3.微分方程( A) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c coswx+c2sinwx(D)y=c coswx+c sin

3、wxi24. C 是任意常數(shù)，則微分方程y =3y 3 的一個特解是_3333( A) y-=(x+2)(B)y=x +1(C) y=(x+c)(D)y=c(x+1)四、試求以下述函數(shù)為通解的微分方程。222x3x1. y =Cx C ( 其中 C 為任意常數(shù) )2. y=CieC2e( 其中 C-C ?為任意常數(shù) )五、質(zhì)量為m 的物體自液面上方高為h 處由靜止開始自由落下，已知物體在液體中受的阻力與運更多精品文檔學習 - 好資料動的速度成正比。用微分方程表示物體，在液體中運動速度與時間的關(guān)系并寫出初始條件。12-2 可分離變量的微分方程、求下列微分方程的通解2 21. sec .tacyd

4、x+sec ytanxdy=O2 22. (x+xy )dx-(x y+y)dy=0x+y xx+y y3. (e -e )dx+(e -e )dy=04. y =cos(x-y).( 提示令 .x-y=z)、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解-x兀1. cosydx+(1+e )sinydy=O. yx=o= 更多精品文檔學習 - 好資料4secx2. - 牙 dy = xdx. y3仃=一 11+y 2T、設(shè)f(x)=x+ . x f(u)du,f(x) 是可微函數(shù)，求f(x)四、求一曲線的方程，曲線通過點（0.1 ），且曲線上任一點處的切線垂直于此點與原點的連線。五、船從初速vo=6

5、米/秒而開始運動， 5 秒后速度減至一半。已知阻力與速度成正比，試求船速隨時間變化的規(guī)律。更多精品文檔學習 - 好資料12-3齊次方程、求下列齊次方程的通解yyy1 xy -xsin02 (x+ycos ) dx-xcos dy=0xxx求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解1. xy 虬 x2+y22 2=1ax2.x dy+(xy-y )dx=0yx=i二、求方( x+y+1 ) dx=(x-y+1)dy的通解四、設(shè)有連結(jié)點0(0 ,0)和 A( 1，1)段向上凸的曲線孤O A 對于 O A 上任一點P( x，y) ,曲線孤與 O P 直線段Op 所圍圖形的面積為x2，求曲線孤 O A 的方

6、程。更多精品文檔學習 - 好資料12.4 階線性微分方程、求下列微分方程的通解1.x y +y=xex2.y +ytanx=sin2xdy _ ydx x y 3ey、求下列微分方程滿足初始條件的特解1. y " cosy+siny =xy x 曲 =2.(2x+1)e y y 2e y=4y = 04、已知 f(二 ) ,曲線積分 ， a sinx - f (x)l#dx ? f (x)dy 與路徑無關(guān)，求函數(shù)f(x).x四、質(zhì)量為M o 克的雨滴在下落過程中，由于不斷蒸發(fā)，使雨滴的質(zhì)量以每秒m 克的速率減少，且所受空氣阻力和下落速度成正比， 若開始下落時雨滴速度為零， 試求雨滴下

7、落的速 度與時間的關(guān)系。五、求下列伯努利方程的通解1.y，+_y =x 2y52. xy'+y-y 2l nx=0x更多精品文檔學習好資料12-4 全微分方程、求下列方程通解221 cos(x+y )+3ydx+2ycos(x+y )+3xdy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0yy3. e dx+(xe -2y)dy=0、利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解21 ydx-xdy+y xdx=02 y(2xy+e x)dx-e xdy=02三、 xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 為全微分方程，其中函數(shù)f(x) 連續(xù)可微，數(shù)f(0)

8、=0, 試求函f(x) ，并求該方程的通解。12-7 可降階的高階微分方程一、求下列各微分方程的通解更多精品文檔學習 - 好資料1.y =xsinx2. y - y =x3.y y +( y )2= y 4. y (1+e x)+ y =0二、求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解FF31卩1. 2 y =sin 2y丫 * 衛(wèi)=匚 y %衛(wèi) =1tttftc?22. xy-y1 ny+yinx=o yx2 yx=e±=、函數(shù) f(x) 在 x>0 內(nèi)二階導函數(shù)連續(xù)且f(1)=2 , 以及 ( x)- 丄兇一x 丄単 dt = 0 ,求 f(x).x 出 t2四、一物體質(zhì)量為m

9、, 以初速度 Vo 從一斜面上滑下，若斜面的傾角為:, 摩擦系數(shù)為u,試求物體在斜面上滑動的距離與時間的函數(shù)關(guān)系。更多精品文檔學習 - 好資料12-8 高階線性的微分方程一、選擇題1. 下列方程中 _ 為線性微分方程(A )( y ) +x y =x(B)y y -2 八 x(C)(D) y 一 y 一 3xy 二 cos y2 x2i(x- 1)2.已知函數(shù) yi= exyi= eye(3X=丿(A ) 僅 yi 與 y2線性相關(guān)(B ) 僅 y2與 y3 線性相關(guān)C ) 僅 yi 與 y3線性相關(guān)(D ) 它們兩兩線性相關(guān)3 . 若 yi 和 y2 是二階齊次線性方程 ,y +p(x) y

10、 +4(x)y=0兩個特解， CiC2 為任意常數(shù)，則i2y2 _y=c y 什 C(A) 一定是該方程的通解(B ) 是該方程的特解( C) 是該方程的解( D) 不一定是方程的解4?下列函數(shù)中哪組是線性無關(guān)的( A)Inx, lnx 2(B)i ,Inx(C)x, In2 x(D)ln Jx , lnx 2二、證明：下列函數(shù)是微分方程的通解iy=c ix2+C 2X 2Inx(c i C2 是任意常數(shù) ) 是方程 x2 y - 3x y +4y=0 的通解x2y=c ie-x+C 2eex (c iC2 是任意常數(shù) ) 是方程 2 y - 2e x 的通解三、設(shè) yi (x)y 2(x)

11、是某個二階線齊次線性微分方程的三個解，且yi (x)y 2 ( x).y 3( x). 線性無關(guān) ,證明：微分方程的通解為：y rG yjx)，C2 y2( x) ? (i-C i-C 2) y3( x)x四、試求以i . x_X e_2是任意常數(shù) ) 為通解的二階線性微分方程。y= (ci e +C 2i,e )+ - (CCx2更多精品文檔學習 - 好資料12-9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、選擇題1 以 yi=cosx,y 2=sinx 為特解的方程是_( A) y y=0(B) y y =0(C) y y、0(D) y _y：=02 . 微分方程 2 y ； y - y = 0 的通

12、解是 _xxx_2x / 、_x2x2 (D)"S_x2x1e2e( B) y =,e2e2C12ey =1e2e 3.(A) y = c-cc-c() y = ce -ccc常微分方程 y ”? 1? 2)y':咒12y =0,(其中 1,2 是不等的系數(shù))，在初始條件(Yy1x=0 = y x=0 =0 特解是 _( A)y=0(B)y= Ge"+qe' 2x (C) y =X 2x2( D) y = ( Aq 中扎 2)x22x4. y =e 是微分方程 y py ? 6y = 0的一個特解，則此方程的通解是_(A)y = c 1e2x |_3x(B)

13、 y = ?xc2 )e 2xc2e2xs in 3x c 2cos3x)(D) y=e (c 15.y =c 1ex c2e 是微分方程_ 的通解( A) y y = 0 ( B)y'；： - y = 0( C) y y = 0 ( D)y"-y = 0二、求下列微分方程的通解1.y -5y =02.y -4y 4y=0更多精品文檔學習 - 好資料3.y 4y y = 04.y -5y 6y = 0更多精品文檔學習 - 好資料5.y _6y 3y 10y =05. y _2 廠 y =0三、求下列微分方程滿足初始條件的特解1.y 2y 10y =0x= 0d 2x dx2.

14、3x=0 t=0 dt dt=11x =0=0四、一質(zhì)量為m 的質(zhì)點由靜止（ t=0,v=0 ）開始滑入液體，下滑時液體阻力的大小與下沉速度的大小成正比（比例系數(shù)為k）, 求此質(zhì)點的運動規(guī)更多精品文檔學習 - 好資料律。更多精品文檔學習 - 好資料12-10 二階常數(shù)非齊次線性微分方程一、選擇題1 微分方程， y-2y= x 的特解 y 形式為_2 2(A)ax (B)ax+b(C)ax (D) ax + bx2. _微分方程 y -科二 e 1 的特解 y 形式為_(A ) aex bxxx(B) axe b( C) ae bx(D) axe bxQ y* 一.3. 微分方程 y "

15、; - 2u = xe的特解 y 形式為 _2x2 x2x, 2,、 2x(A) x(ax b)e(B) (ax b)e(C )xe(D) (axbx c)e4. 微分方程 y " ? 4y 二 cos2x 的特解 y 形式為 _( A) acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x)(D)acos2x+bsin2x25.微分方程 y - y 二 xsin x 的特解形式為y*= _( A) ( ax+b ) sin 2x(B)(ax+b)sin2x+(cx+d)cos 2x( C) (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x( D)(ax+b)co

16、s2x+(cx+d)sin2x+ex+f6.微分方程 y"-4y"-5y=e? sin 5x 的特解形式為_(A)aebsin 5x(B) ae* bcos5x csin 5x( C)axe" bsi n5x(D ) axe bcos5x csin 5x二、求下列各方程的通解1.y 2y y 二 xe x更多精品文檔學習 - 好資料x ?4.y y = x cosx3. y -2y 5y二 e sin x更多精品文檔學習 - 好資料、求微分方程y" ? 9y =cosx 滿足二0的特解四、已知二階常系數(shù)微分方程y z 剳訓二(x 2)有特解 yx2e 1

17、x 6x ，求: ,' -, 的值，并求該方程的通解五、 k 為常數(shù)。試求 y -2ky* k 2y =e x 的通解。xx求 f(x) 。六、設(shè) f(x)=sinx+ f(t)dt-x f(t)dt，其中 f(x) 為連續(xù)的數(shù) ,七、一鏈長18cm ，掛在光滑的圓釘上，一邊垂下8cm ，另一邊垂下10cm ，問整個鏈子滑過釘子需要多少時間?更多精品文檔學習 - 好資料第十二章自測題一一、填空題1 21. 已知曲線 y=y(x) 過點 ( 0,2 ) 且其上任一點 ( x,y) 處的切線斜率為xln(1+x ) , 則 f(x)=2 22 ?以 x cy2 =1 為通解的微分方程是_

18、(其中為任意常數(shù) )23。微分方程ydx+(c -4x)dy=0的通解為 _4 . 微分方程 y ' y ? In x = ax 的通解為 _- x x5?已知某四階線性齊次方程有四個線性無關(guān)的解e,e,sinx,cosx, 則該微分方程為 _二、選擇題1. 已知函數(shù) y=f(x) 在任意點 x 處的增量 y= y x - ：且當 - x o 時，是比 - x 更高1+x2階的無窮小量， y(o)= 二，貝 U y(1) 等于 _( A) 2 二 ( B) 二( C)e4( D) ： e42 y=y(x) 是微分方程 y " y"esinx =0的解，且 ( x。)

19、 =0，則 f(x) 在 _( A) x。的某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加(B)X。的某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少( C) x °處的取極小值(D)x。處取極大值3. 曲線通過點 m(4.3) ，且該曲線上任意一點p 處的切線在 y 軸上的截距等于原點到p 的距離，則此曲線方程為_22( A) x2y2 =25 (B) y ( C) (x 9) 2 -( y 9) 2 = 25 ( D) y = 4 - 互10164. 下列方程中可利用p=yp 、y ”降為 p 的一階微分方程的是_( A ) (y ) 2 xy' X= 0(B) y yyy2 =0( C)y y2y'-y2x=0(D)

20、y yyx = 0三、求解下列微分方程求2，滿足x# =1 的特解，ydx+(x y-x)dy=0y1?12?求八八廠孑的通解更多精品文檔學習 - 好資料四、求 y y 二 x sin x 的通解。五、已知 y! = xe x e2x, y2 =xe x e , y3 = xe x 亠 e2x - e 是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求此微分方程。六、已知函數(shù)f(x) 可微，且對任意實數(shù)x,y 滿足： f(x+y)= ex f ( y) e y f (x) ,求此函數(shù) f( x).七、火車沿水平直線軌道運動，設(shè)火車質(zhì)量為m, 機車牽引力為F, 阻力為 a+bv, 其中 a,b 為常數(shù)， v

21、 為火車的速度，若已知火車的初速度與初位移均為零，求火車的運動規(guī)律s=s(t).更多精品文檔學習 - 好資料第十二章自測題二- 、單項選擇題1?設(shè) y= f (x) 是方程 y"_2y' 4y = 0的解，若f (x 0)0,則 f (x) 在 x0 點 _(A ) 取得極大值；( B) 取得極小值； ( C) 某鄰域內(nèi)單調(diào)遞增；( D) 某鄰域內(nèi)單調(diào)遞減;2x2 ?函數(shù) y =3e 是方程 y ”-4y = 0 的 _(A ) 通解； (B) 特解； (C ) 解，但既非通解也非特解( D) 以上都不對3 ?2y ” ? 5y COS2x的特解應(yīng)具有形式 ( 其中，a,b,c 為常數(shù) )_微分方程丄2 2( B) ax bcos2x csin2x( A)x(acos x bsin x);2( C)a+bcos2x;(D) ax +bcos2x+csin2x3x4?微分方程 y 6y ? 9y二 xe 特解應(yīng)具有形式_(A) ( Ax+Bx ) e3x(B)x(Ax+B)e 3x C)x2(Ax+B)