高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.2.2平面的法向量與平面的向量表示學案新人教B版選修2-1

1、32.2平面的法向量與平面的向量表示學習目標1. 理解平面的法向量的概念，會求平面的法向量.2. 會用平面的法向量證明平面與平面平行、垂直.3. 理解并會應用三垂線定理及其逆定理，證明有關垂直問題知識點一平面的法向量思考平面的法向量有何作用？是否唯一？梳理平面的法向量已知平面 ，如果 _ ，則向量n 叫做平面 的法向量或說向量 n 與平面 正交知識點二平面的向量表示設 A 是空間任一點，n 為空間內任一非零向量，則適合條件_ 的點 M 的集合構成的圖形是過空間內一點A 并且與 n 垂直的平面這個式子稱為一個平面的向量表示式知識點三兩平面平行或垂直的判定及三垂線定理1兩平面平行或垂直的判定方法設

2、 n1， n2 分別是平面， 的法向量，則容易得到 或 與 重合 ? _； ? _? _.2三垂線定理如果在平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直類型一求平面的法向量例 1如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形， PA平面ABCD， E 為 PD 的中點 AB AP 1， AD3，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量1 / 9引申探究若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1) 設向量：設平面的法向量為 n ( x， y，z) (2) 選向量：在平面內選取兩個不

3、共線向量AB， AC.n· AB 0，(3) 列方程組：由列出方程組n· AC 0n· AB 0，(4) 解方程組：n· AC 0.(5) 賦非零值：取其中一個為非零值 ( 常取± 1) (6) 得結論：得到平面的一個法向量跟蹤訓練1如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形平面PAB平面ABCD， PAB是邊長為 1 的正三角形， ABCD是菱形 ABC60°， E 是 PC的中點， F 是 AB的中點，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面DEF的法向量類型二利用空間向量證明平行問題例 2 已知正方體 ABCD A1B1C1D1

4、 的棱長為 2，E， F 分別是 BB1， DD1 的中點，求證：(1) FC1 平面 ADE；(2) 平面 ADE 平面 B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題跟蹤訓練2如圖，在四棱錐P ABCD中， PA平面 ABCD， PB與底面所成的角為45°，底2 / 91面 ABCD為直角梯形， ABC BAD 90° ， PA BC 2AD 1，問在棱PD 上是否存在一點E，使 CE平面 PAB？若存在，求出E 點的位置；若不存在，請說明理由類型三三垂線定理及應用例 3在正方體

5、ABCD A1B1 C1D1 中， O 為底面 ABCD的中心， E 為 CC1的中點求證：EO 平面 A1DB.反思與感悟利用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直是一種常用方法，其基本環(huán)節(jié)有三個跟蹤訓練3如圖，已知PO平面 ABC，且 O為 ABC的垂心，求證：ABPC.1若直線 l ，且 l的方向向量為 (2 ， m，1) ，平面 的法向量為11， ， 2 ，則 m 為2()3 / 9A4 B6 C8 D82若兩個不同平面 ， 的法向量分別為u (1 ， 2 ， 1) ， v ( 3 ， 6， 3) ，則()B A D以上均不正確C， 相交但不垂直3若 a(1 ， 2，3) 是平面 的一個法向

6、量，則下列向量中能作為平面 的法向量的是()B(3，6，9)A (0 ， 1，2)D(3，6，8)C ( 1， 2，3)4已知平面 的法向量是 (2 ，3， 1) ，平面 的法向量是 (4 ， 2) ，若 ，則 的值是 ()10B 6A 310C 6D.3111115在正方體 ABCD A B CD 中，平面ACD的一個法向量為 _1用法向量來解決平面與平面的關系問題，思路清楚，不必考慮圖形的位置關系，只需通過向量運算，就可得到要證明的結果2利用三垂線定理證明線線垂直，需先找到平面的一條垂線，有了垂線，才能作出斜線的射影，同時要注意定理中的“平面內的一條直線”這一條件，忽視這一條件，就會產生錯

7、誤結果提醒：完成作業(yè)第三章4 / 9答案精析問題導學知識點一思考平面的法向量與空間一點可以確定一個平面，利用平面的法向量可以判斷直線與平面、平面與平面的位置關系平面的法向量不唯一，它們都是共線的梳理向量 n 的基線與平面 垂直知識點二AM· 0n知識點三1 n1 n2 n1 n2 n1·n20題型探究例 1 解因為 PA平面 ABCD，底面 ABCD為矩形，所以 AB， AD，AP兩兩垂直如圖，以x 軸的正方向，建立空間A為坐標原點， AB的方向為直角坐標系，則 D(0，31，0，0) ，C(1 ， 3，0) ，3，0) ，E(0， ， ) ，B(12231于是 AE(0

8、， 2，2) ， AC (1 ，3，0) 設 n ( x， y， z) 為平面 ACE的法向量，x3y 0，n· AC 0，則即 312 y 2z 0，n· AE0，所以x3y ，z3y ，令 y 1，則 x z 3.所以平面 ACE的一個法向量為n (3， 1， 3) 5 / 9引申探究解如圖所示，建立空間直角坐標系，則 P(0 ，0，1) ，C(1 ， 3，0) ，3， 1) 即為直線 PC的一個方向向量所以 PC (1 ，設平面 PCD的法向量為 n ( x， y，z) 因為 D(0 ， 3，0) ，所以 PD (0 ， 3， 1) x 3yz 0，n· P

9、C 0，由即3y z0，n· PD 0，x 0，所以令 y 1，則 z 3.z3y，所以平面 PCD的一個法向量為n (0 ， 1，3) 跟蹤訓練 1 解 因為 PA PB，F(xiàn) 為 AB的中點，所以 PFAB，又因為平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB，PF? 平面 PAB.所以 PF平面 ABCD，因為 AB BC， ABC60°，所以 ABC是等邊三角形，所以 CFAB.以 F 為坐標原點，建立空間直角坐標系( 如圖所示 ) 3由題意得 F(0 ，0，0) ，P(0 ，0， 2 ) ，3D( 1， 2，0) ，333C(0， 2 ，0)，E(0，

10、 4 ， 4 )6 / 9333所以 FE(0 ， 4 ， 4 ) ，F(xiàn)D( 1， 2 ，0) 設平面m· FE 0，則m· FD 0，z y，DEF的法向量為m ( x， y，z) 334 y 4 z 0，即3 x 2 y 0.所以3令 y 2，則 x3， z 2.xy，2所以平面 DEF的一個法向量為m (3， 2， 2) 例 2證明(1)建立如圖所示空間直角坐標系Dxyz，則有 D(0 ，0， 0) ，A(2 ， 0， 0) ，C(0 ， 2， 0) ， C1(0 ，2， 2) ， E(2 ， 2，1) ， F(0 ， 0， 1) ， B1(2 ， 2，2) ，所以

11、FC1 (0，2， 1) ，DA (2，0， 0) ， AE (0 ， 2，1) 設 n1 ( x1， y1， z1) 是平面 ADE的法向量，則n1 DA，n1 AE， 0，即n1· DA 2x1 z1 0，n1· AE 2y1x1 0，得z1 2y1 ，令 z12，則 y1 1，所以 n1 (0 ， 1，2) 1因為 FC1·n 2 20，1所以 FC1 n .又因為1?平面，F(xiàn)CADE所以 FC1 平面 ADE.(2) 因為 C1B1 (2 ， 0，0) ，設 n2( x2， y2， z2) 是平面 B1C1F 的一個法向量7 / 9由 n2FC1， n2

12、C1B1，n2· FC1 2y2 z2 0，得n2· C1B1 2x2 0，x2 0，得z2 2y2.令 z22，得 y2 1，所以 n2 (0 ， 1，2) ，因為 n1 n2，所以平面 ADE 平面 B1C1F.跟蹤訓練 2解分別以，為軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，ABADAP xP(0 ， 0，1) ， C(1 ，1， 0) ，D(0 ， 2，0) ，設 E(0 ， y， z) ，則 PE (0 ， y， z1) ，(0 ，2，1)， PD PE PD， y( 1) 2( z 1) 0， AD (0 ， 2， 0) 是平面 PAB的法向量，又 CE ( 1， y1

13、， z) ， CE 平面 PAB，CE AD， ( 1， y1， z) ·(0 ， 2， 0) 0.1 y 1，代入 得 z 2， E 是 PD的中點， 存在 E 點，當點E 為 PD中點時， CE平面PAB.例 3證明方法一取 F、 G分別為 DD1和 AD的中點，連接 EF、FG、 GO、AC.由正方體的性質知FG為 EO在平面 ADD1A1 內的射影又 A1DFG， A1D EO( 三垂線定理 ) 又 AC BD， CO為 EO在平面 ABCD內的射影， EO BD( 三垂線定理 ) 8 / 9又 A1DBD D， EO 平面 A1DB.方法二連接 AC、 AO、 A E， A C，設正方體棱長為2，1111由方法一已證BDO