浮點數(shù)單精度浮點數(shù)與雙精度浮點數(shù)在計算機中的存儲

1、浮點數(shù)在計算機中的存儲 十進制浮點數(shù)格式： 浮點數(shù)格式使用科學(xué)計數(shù)法表示實數(shù)。 科學(xué)計數(shù)法把數(shù)字表示為系數(shù) (coefficient 也稱為 尾數(shù)(mantissa),和指數(shù)(exponent) 兩部分。比如3.684*102. 在十進制中，指數(shù)的基 數(shù)為10 ,并且表示小數(shù)點移動多少位以生成系數(shù)。每次小數(shù)點向前移動時，指數(shù)就遞增；每 次小數(shù)點向后移動時，指數(shù)就遞減。 例如，25.92 可表示為2.592 * 10人1 ，其中2.592 是 系數(shù)，值10人1 是指數(shù)。必須把系數(shù)和指數(shù)相乘，才能得到原始的實數(shù)。另外，如 0.00172 可表示為1.72*10A-3 ，數(shù)字1.72 必須和10人-

2、3 相乘才能獲得原始值。 二進制浮點格式： 計算機系統(tǒng)使用二進制浮點數(shù)，這種格式使用二進制科學(xué)計數(shù)法的格式表示數(shù)值。數(shù)字按 照二進制格式表示，那么系數(shù)和指數(shù)都是基于二進制的，而不是十進制，例如 1.0101*2A2. 在十進制里，像 0.159 這樣的值，表示的是 0 + (1/10) + (5/100) + (9/1000) 。相 同的原則也適用二進制。比如， 1.0101 乘以2人2 后，生成二進制值 101.01 ,這個值表 示二進制整數(shù) 5,加上分數(shù)(0/2) + (1/4) 。這生成十進制值 5.25 。下表列出幾個二進制 小數(shù)以及它們對應(yīng)的十進制值: 二進制 十進制分數(shù) 十進制值

3、0.1 1/2 0.5 0.01 1/4 0.25 0.001 1/8 0.125 0.0001 1/16 0.0625 0.00001 1/32 0.03125 0.000001 1/64 0.015625 幾個二進制浮點例子： 二進制 十進制分數(shù) 十進制值 10.101 2+1/2+1/8 2.625 10011.001 19+1/8 19.125 10110.1101 22+1/2+1/4+1/16 22.8125 1101.011 13+1/4+1/8 13.375 編寫二進制浮點值時，二進制通常被規(guī)格化了。這個操作把小數(shù)點移動到最左側(cè)的數(shù)位，并且 修改指針進行補償。例如 1101.0

4、11 變成1.101011*2人3 浮點數(shù)的存儲 IEEE標準754浮點數(shù)標準使用 3個成分把實數(shù)定義為二進制浮點值： 符號 *有效數(shù)字 指數(shù) 符號位表示值是負的還是正的。符號位中的 1表示負值，0表示正值。 有效數(shù)字部分表示浮點數(shù)的系數(shù)（coefficient 或者說尾數(shù)（mantissa）。系數(shù)可以是規(guī)格 化的（normalized），也可以是非規(guī)格化的（denormalized） 。所謂規(guī)格化，就是任何一個數(shù)的 科學(xué)計數(shù)法的表示都可為 1.xxx*2An ，既然小數(shù)點左邊的一位都是 1 ,就可以把這一位省略。 單精度浮點數(shù)23bit的尾數(shù)部分，可表示的精度卻為 24位，道理就在這里。 指

5、數(shù)表示浮點數(shù)的指數(shù)部分， 是一個無符號整數(shù)。 因為指數(shù)值可以是正值， 也可以是負值， 所以通過一個偏差值對它進行置偏， 及指數(shù)的真實值=指數(shù)部分的整數(shù) 一偏差值。對于32位浮 點數(shù)，偏差值=127 ;對于64位浮點數(shù)，偏差值=1023. 二進制浮點格式 符號位指數(shù) 系數(shù) 浮點數(shù)的這3個部分被包含在固定長度的數(shù)據(jù)格式之內(nèi)。 IEEE標準754定義了浮點數(shù)的兩 種長度：32位單精度和64位雙精度 可以用于表示有效數(shù)字的位的數(shù)量決定精度。下圖顯示了兩種不同精度類型的位布局： 31 30 2322 0 指數(shù) 有效數(shù)字 63 62 52 51 0 指數(shù) 有效數(shù)字 J號 雙精度 單精度浮點使用 23位有效

6、數(shù)字值。但是，浮點格式假設(shè)有效數(shù)字的整數(shù)部分永遠為 1 ,并 且不在有效數(shù)字值中使用它。這樣實際上有效數(shù)字的精度達到了 24位。指數(shù)使用8位值， 它的范圍從0255 ，稱為移碼指數(shù)，意思是必須從指數(shù)中減去一個數(shù) （稱為偏移量或者是偏差 值），對單精度浮點數(shù)而言，這個值是 127。當指數(shù)是0和255時，指數(shù)由別的含義，因此實 際指數(shù)的范圍是從 -126至V +127 （二進制指數(shù)），這樣整個浮點數(shù)的范圍則為： （1.18 * 10人-38 1.0 X2 -126 至V 3.40 * 10A38 1.1 1 X2A127）。 *指數(shù)0和255用于特殊用途。如果指數(shù)從 1變化到254，則由s （符號

7、位）、e （指數(shù)） 和f （有效數(shù)）來表示的數(shù)為： -1的s次藉是數(shù)學(xué)上的一種方法， 意思是如果s為0 ,則數(shù)是正的（因為任何數(shù)的 0 次藉等于1 ）;如果s為1 ,則數(shù)是負的（因為 -1的1次藉為-1 ） ”。 表達式的另一部分是1.f,意思是1后面為二進制小數(shù)點，再后面為 23位的有效小數(shù)部 分。它乘以2的藉，其中指數(shù)為內(nèi)存中的 8位移碼指數(shù)減去127。 注意，還有一種特殊的情況 0 : , 如果e等于0,且f等于0,則數(shù)為 0。通常，所有32位均為0則表示0。但是 符號位可以是 1，在這種情況下，數(shù)被解釋為 -0。-0可以表示一個很小的數(shù)，小到在單精 度格式中不能用數(shù)字和指數(shù)來表示。盡管

8、如此，它們?nèi)恍∮?0。 如果e等于0,且f不等于0,則數(shù)是有效的。但是，它不是規(guī)格化的數(shù)，它等于 （1）、X |,注意，二進制小數(shù)點左邊的有效數(shù)為0。 如果e等于255，且f等于0,則數(shù)為正或負無窮大，這取決于符號 s。 如果e等于255，且f不等于0,該值被認為 不是一個數(shù)”，簡寫為NaN。 NaN可以表 示一個不知道的數(shù)或者一個無效操作的結(jié)果。 Q : 3.40 * 10A38 是值怎么來的？ A :在單精度浮點格式中可以表示的最大規(guī)格化的正或負二進制數(shù)為： l.llll 11111 11111111111111 X2137 TWO 換算成10 進制約等于：3.402823669e+38

9、，這里1.111.111 近似為 2，貝U 2 * 2人127 =2A128 = 3.402823669e+38 . Q : 1.18 * 10A-38 的值是怎么來的？ A:通常，單精度浮點格式中可以表示的最小規(guī)格化的正或負二進制數(shù)為： LOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO X2 商 TWO 換算成10 進制就是：1.175494351e-38 ，也就是約等于 1.18 * 10A-38 。 Q：單精度浮點24位換算為十進制后，為什么精度是 7位？ A: 10位二進制數(shù)近似等于3位十進制數(shù)。也就是說，若 10位都置1（即十六進制為3FFh ,十進 2住 10制為1023），則它近

10、似等于3位十進制都設(shè)置為9,即999?；蛘撸?這種關(guān)系表明按單精度浮點格式存放的 24位二進制數(shù)大約與7位十進制數(shù)等效。因此， 說單精度浮點格式提供 24位二進制精度，或大約7位十進制精度?？梢赃@么設(shè)，一個 10Ak 次方，即 10*=2 。那么 2的24 次方 2A24 = 10A24k 。從10*=2 可以知 道k = log10(2) 0.301。所以，2的24次方換算到十進制，相當于有 24*log10(2) 約 等于7.2個精度。 Q: 262144.00 和 262144.01 是一樣的么？ A:當然不是一樣的！但是在計算機里，單精度的存儲中，它們卻是一樣的！看這兩個數(shù)作為 單精度

11、浮點數(shù)時在計算機里是怎么存儲的： 最大的數(shù)為： 一 用十進制表示，它的范圍近似為 2.22507385血72014X 1。1.7976931348623 I5XX。10 的明 次藉是一個非常大的數(shù)，在 1后面有308個十進制零。 53位有效數(shù)(包括沒有包含在內(nèi)的那 1位)的精度與16個十進制位表示的精度十分接近。相 對于單精度浮點數(shù)來說這種表示要好多了，但它仍然意味著最終還是有一些數(shù)與另一些數(shù)是相 等的。例如，140737488355328.00 位雙精度浮點格式存儲，結(jié)果都是： 也可以 2相當于 兩者被存儲為同一個數(shù)字： 么呢？原因是，規(guī)格化單精度浮點里, 次方的運算后小數(shù)點會往前移動 1/(2A5)=0.03125 都要比 那么上面的問題如何避免呢？ 答案是，使用雙精度浮點數(shù)。 雙精度浮點數(shù)的指數(shù)偏移量為 (1) *x Lfx2tf 1 .0()()0山)0()()00000000000出)0湘 X 2” 購 。邠運正力什 在小數(shù)點后有 23位數(shù)，而1.000.000 會經(jīng)過2人18 18個，那么小數(shù)點后面就只剩下 5位，這時即使是 0.01大，所以沒辦法，只能存為一樣的數(shù)。 1023 I ,即3FFh ,所以，以這種格式存放的數(shù)為