二項分布及其應(yīng)用-中等難度-講義

1、二項分布及其應(yīng)用引入姚明作為中鋒,他職業(yè)生涯的罰球命中率為0. 8,假設(shè)他每次命中率相同,請問他4投3中的概率是多少？問題1:在4次投籃中姚明恰好命中 問題2:在4次投籃中姚明恰好命中 問題3:在4次投籃中姚明恰好命中 問題4:在4次投籃中姚明恰好命中 問題5:在n次投籃中姚明恰好命中1次的概率是多少？ 2次的概率是多少？ 3次的概率是多少？ 4次的概率是多少？ k次的概率是多少？解讀1、條件概率(1 )條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B,在事件 A發(fā)生的條件下,事件 B發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號P(B|A) 來表示.(2)條件概率公式：P A I BPBAPA其中PA 0'A

2、IB稱為事件A與B的積或交(或積).把由事件A與B的交(或積),記做D AI B (或D AB ).(3)條件概率的求法：利用定義,分別求出P A 和 p B A,得 P B A P AI B . P A借助古典概型概率公式,先求事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù),即 nA再求事件n AI B,得n AI Bn A2、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率(1)事件的獨(dú)立性 ：如果事件A (或 B)是否發(fā)生對事件B (或A )發(fā)生的概率沒有影響, P(B|A) P(B),這時,我們稱兩個事件 A , B相互獨(dú)立,并把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事 件.如果事件A與B相互獨(dú)立,那么事件AgB發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的

3、積,即P AgB P A gP B .如果事件A , A2,An相互獨(dú)立,那么這 n個事件都發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā) 生的概率的 積,即P(A I A2 I L I An) P(AJ P(A2)L P(An),并且上式中任意多個事 件A換成其對立事件后等式仍成立.(2)相互獨(dú)立與事件互斥兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生,兩事件相互獨(dú)立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨(dú)立不一定互斥.3、二項分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗如果每次試驗,只考慮有兩個可能的結(jié)果A及A,并且事件 A發(fā)生的概率相同在相同的條件下,重復(fù)地做n次試驗,各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立,那

4、么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗.n次獨(dú)立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cn pk(1 p)n k (k 0, 1, 2, L , n).(2 )二項分布假設(shè)將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為 X ,事件A不發(fā)生的概率為q 1 p ,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗 中,事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X k) V pkqn k,其中k 0, 1, 2, L , n .于是得到X(qnp)0 OnCn p q11 n 1.Cn p q Lk k n kCn p qn nL Cn p q各對應(yīng)項的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量X B(n, p).X服從參數(shù)為n , p的二項分布,記作的分布列X01knP

5、00 nCn p q11 n 1Cn p qk k n kCn p qnn 0Cn p q由 于 表 中 的 第 二 行恰 好 是0典例精講一選擇題(共14小題)1. (2021春?東城區(qū)期末)假設(shè)隨機(jī)變量X B (n, p),且?(?)= 5, ?(?)= 5 ,那么 P (X=1)=()1155A.32B -8C.D.32162. (2021春?撫順期末)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為P,各成員的支付方式相互獨(dú)立,設(shè) X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D (X) =2.1, P (X=4)v P (X=6),貝U P=()A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3

6、13. (2021春？莆田期末)隨機(jī)變量 X服從二項分布？?(4, 2),隨機(jī)變量丫服 從正態(tài)分布?(2 , ?).假設(shè) P (X=3) +P (Yv a) =1,那么 P (Y> 1 - a)=()3 111A.B.C.D.-4 234134. (2021春？青山區(qū)校級期末)如果？Q?(20, 4), ?齊？?(20, 3),當(dāng)%, y變化時,下面關(guān)于P (x=m) =P (y=n)成立的(m, n)的個數(shù)為( )A. 10B. 20C. 21D. 05. (2021秋？武漢期末)隨機(jī)變量14XB (n ,-),假設(shè) D (x)=-,那么 P (X=2)331681243243B. 6

7、. 2021春？眉山期末？?8,1,當(dāng)當(dāng) P (X=k) (k N, 0<k<8)取得最大值時,k的值是A. 7B. 6C.5D. 48. 2021秋？江岸區(qū)校級期末如果1曠B 20 , 3,那么使P E =k取最大值時7. 2021春？曲靖校級期末隨機(jī)變量E服從二項分布B ( n, p),且 EE =3,0DE =20那么p等于21A.B.-331C.23D.-4243243243的k值為A. 5 或 6B. 6 或 7C. 7 或 8D.以上均錯9. 2021春?通遼校級期末假設(shè)1B 10, -,那么D E等于415155A.8B.4C.D. 52)10. 2021春?南陽期末

8、設(shè)隨機(jī)變量XB 2, P,隨機(jī)變量丫B 3, P,假設(shè)P (X> 1),那么 D (3Y+1)=()9A. 2B. 3C. 6D. 711. 2021春?蚌埠期末設(shè)?5,11,那么P X< 4等于B.絲C. 241D. 112. (2021春?東莞期末)假設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點分布,其中P( X=0) =3,貝 U E3(3X+2)和D (3X+2)的值分別是(A. 4 和 2B. 4 和 4C. 2 和 4D. 2 和 2113. (2021春?南充期末)如果XB (20, ),當(dāng)P (X=k)取得最大值時,k的 值為()A. 10B. 9C. 8D. 7414. (2021?岳麓

9、區(qū)校級模擬)假設(shè) nB(2,p),且? 4,那么 P( 0< n< 1)=()4 - 9B.填空題(共5小題)15. ( 2021春？珠海期末) B(n ,p),EE =3D( 2+1 )=9,那么P的值是4816. (2021 春?福州期末)假設(shè) B (n, p)且 E ( B =3, D ( ) =9,那么 P ( =)的值為.17. (2021春？棗莊期末)隨機(jī)變量XB(4,0.5),假設(shè)Y=2舟1,那么D(Y)=18. 2021春?海淀區(qū)校級期末設(shè)隨機(jī)變量B 2, p, nB 4, p,假設(shè)P5 驢 1 =9,那么 P n>2 =.19. 2021春？珠海期末設(shè)隨機(jī)變

10、量 XB n , p,其中n=8,假設(shè)EX=1.Q那么DX=.三.解做題共4小題20. 2021秋？海南校級月考理十一黃金周期間三亞景區(qū)迎來了游客頂峰期.游客小李從 大小洞天到景區(qū) 天涯海角景區(qū)有L1 , L2兩條路線如圖,2路線L1上有A1, A2, A三個風(fēng)景點,各風(fēng)景點遇到堵塞的概率均為 -;L2路33 3線上有B1, B2兩個風(fēng)景點,各風(fēng)景點遇到堵塞的概率依次為4 51假設(shè)走L1路線,求最多遇到1次堵塞的概率；2根據(jù) 平均遇到堵塞次數(shù)最少的要求,請你幫助小李從上述兩條路線中選 擇一條最好的旅游路線,并說明理由.21. 2021?桐城市一模一個盒子里有2個黑球和m個白球m?2,且m N*

11、 現(xiàn) 舉行摸獎活動：從盒中取球,每次取 2個,記錄顏色后放回.假設(shè)取出 2球的 顏色相同那么為中獎,否那么不中.I 求每次中獎的概率p 用m表示;U假設(shè)m=3,求三次摸獎恰有一次中獎的概率；川記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f p,當(dāng)m為何值時,f p取得最大值?22. (2021?濮陽一模)幸福感指數(shù)是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀 態(tài)的滿意程度時,給出的區(qū)間內(nèi)的一個數(shù),該數(shù)越接近10表示越滿意,為了解某大城市市民的幸福感,隨機(jī)對該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查, 調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示：幸福感指數(shù)0,2)2, 4)4, 6)6, 8)8, 10)男市民人數(shù)1020220125125女市民人數(shù)1010180175125根據(jù)表格,解答下面的問題：(I)完成頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù) 的平均值；(參考數(shù)據(jù)：2X 1+3 X 3+40X 5+30X 7+25 X 9=646)(U )如果市民幸福感指數(shù)到達(dá)6,那么認(rèn)為他幸福據(jù)此,在該