專題：確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法

1、確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法 簡(jiǎn)約課堂確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的方法帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，這些考題不但涉及到洛倫茲力作用下的動(dòng)力學(xué)問題，而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問題、運(yùn)用數(shù)字知識(shí)解決物理問題的難度較大的考題。但無論這類問題情景多么新穎、設(shè)問多么巧妙，其關(guān)鍵一點(diǎn)在于規(guī)范、準(zhǔn)確地畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。只要確定了帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，問題便迎刃而解。下面舉幾種確定帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。 一、對(duì)稱法  帶電粒子如果從勻強(qiáng)磁場(chǎng)的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)線段的中垂線對(duì)稱，且入射速

2、度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則其射出磁場(chǎng)時(shí)速度延長(zhǎng)線必過圓心（如圖2）。利用這兩個(gè)結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。 例1如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？ 解析：正、負(fù)電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4），由對(duì)稱性知：射入、射出點(diǎn)和圓心恰好組成正三角形。所以兩個(gè)射出點(diǎn)相距s=

3、2r=2mvBe，由圖還看出經(jīng)歷時(shí)間相差t=2T3=4m3Be，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對(duì)稱。 例2如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子以速度v0從M點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)區(qū)，并由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為圓心。當(dāng)MON120°時(shí)，求：帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑R及在磁場(chǎng)區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。 解析：分別過M、N點(diǎn)作半徑OM、ON的垂線，此兩垂線的交點(diǎn)O'即為帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)圓弧軌道的圓心，如圖6所示。 由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧MN所對(duì)的軌道圓心角為60°，O、O'的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶

4、電粒子圓軌道半徑為R=rtan30=3r 又帶電粒子的軌道半徑可表示為：R=mv0qB     故帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期：T=2mqB=23v0r 帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=60360T=3r3v0 二、旋轉(zhuǎn)圓法 在磁場(chǎng)中向垂直于磁場(chǎng)的各個(gè)方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圍繞發(fā)射點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動(dòng)態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。 例3如圖8所示，S為電子源，它在紙面360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為v0，質(zhì)量為m，電量為q的電子（q<0），MN是一

5、塊足夠大的豎直擋板，與S的水平距離為L(zhǎng)，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為mv0/qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？ 解析：由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圓，且動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖9所示，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN的相切時(shí)的交點(diǎn)P，最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相割，且SQ為直徑時(shí)Q為最低點(diǎn)，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，由qv0B=mv02R     得：R=mv0qB=L SQ為直徑，則：SQ=2L，SO=L ，由幾何關(guān)系得

6、：OQ=SQ2-OS2= 3L P為切點(diǎn)，所以O(shè)PL ，所以粒子能擊中的范圍為（1+3）L。 例4（2010全國(guó)新課程卷）如圖10所示，在0xA0ya2范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的：（1）速度大小；（2）速度方向

7、與y軸正方向夾角正弦。解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：qvB=mv2R 解得：R=mvqB。 從O點(diǎn)以半徑R（a/2Ra）作“動(dòng)態(tài)圓”，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意t=T/4，所以O(shè)CA/2。 設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系得： Rsin=R-2 ， Rsin=a-Rcos，再加上sin2+cos2=1， 解得：R=2-62a， v=2-62aqBm

8、, sin=6-610。  三、縮放圓法帶電粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動(dòng)態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動(dòng)態(tài)圓，可以探索出臨界點(diǎn)的軌跡，使問題得到解決。 例5如圖13所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與邊界的夾角為，已知電子的質(zhì)量為m，電量為e，要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。 解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時(shí)，電子恰好不能從另一

9、側(cè)射出，當(dāng)速率大于這個(gè)臨界值時(shí)便從右邊界射出，設(shè)此時(shí)的速率為v0，帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系得：r+rcos=d         電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力：ev0B=mv02r，所以：r=mv0eB       聯(lián)立解得：v0=Bedm1+cos ，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于Bedm1+cos。 例6（2010全國(guó)II卷）如圖15所示，左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U，兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

10、B0，方面平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量；（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場(chǎng)邊界上什么

11、區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)？ 解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：qvB0=qU/d，解得離子的速度為：v=U/B0d（為一定數(shù)值）。 雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量m改變，結(jié)合帶電離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖16中的動(dòng)態(tài)圓。（1）由題意知，離子甲的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖17中的半圓，半圓與EG邊相切于A點(diǎn)，與EF邊垂直相交于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得半徑：R甲=acos30°tan15°=3-32a， 從而求得離子甲的質(zhì)量m甲=3-32adqBB0U。（2）離子乙的

12、運(yùn)動(dòng)軌跡如圖18所示，在EIO2中，由余弦定理得： R乙2=a42+a2-R乙2-2a4a2-R乙cos600， 解得R乙=a/4， 從而求得乙離子的質(zhì)量m乙=adqBB04U。（3）由半徑公式R=mv/qB可知Rm，結(jié)合（1）（2）問分析可得： 若離子的質(zhì)量滿足m甲/2mm甲，則所有離子都垂直EH邊離開磁場(chǎng)，離開磁場(chǎng)的位置到H的距離介于R甲到2R甲之間，即3-32a23-3a； 若離子的質(zhì)量滿足m甲<mm乙，則所有離子都從EG邊離開磁場(chǎng)，離開磁場(chǎng)的位置介于A到I之間，其中AE的距離AE=R甲3=1-32a，IE距離IE=a4。 四、臨界法 以題目

13、中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，借助半徑r和速度v以及磁場(chǎng)B之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值，畫出臨界點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵。 例7長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖19所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為L(zhǎng)，兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m電量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以水平速度v射入磁場(chǎng)，欲使粒子打到極板上，求初速度的范圍。 解析：由左手定則判定受力向下，所以向下偏轉(zhuǎn)，恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個(gè)臨界狀態(tài)，分別作出兩個(gè)狀態(tài)的軌跡圖，如圖20、圖21所示

14、，打到右邊界時(shí)，在直角三角形OAB中，由幾何關(guān)系得：R2=(R1-L2)2+L2 解得軌道半徑R1=5L4 電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力qv1B=mv12R1   因此v1=qBR1m=5qBL4m 打在左側(cè)邊界時(shí)，如圖21所示，由幾何關(guān)系得軌跡半徑R2=L4 電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力，qv2B=mv22R2  所以v1=qBR2m=qBL4m 所以打在板上時(shí)速度的范圍為qBL4mv5qBL4m 例8如圖22，一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，

15、現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊中點(diǎn)O射出與Od邊夾角為30°，大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m,電量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，ab邊足夠長(zhǎng)，粒子重力忽略不計(jì)。求： （1）試求粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0的大小范圍；  （2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和在這種情況下粒子從磁場(chǎng)中射出所在邊上位置的范圍。解析：（1）畫出從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)圓，能夠從ab邊射出的粒子的臨界軌跡如圖23所示，軌跡與dc邊相切時(shí)，射到ab邊上的A點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓心為O1，則軌道半徑r1=L，由qv0B=mv2r1得最大速度 v0=qBLm。軌跡與ab邊相切時(shí)，射到ab邊上的B點(diǎn)，此時(shí)軌跡圓

16、心為O2，則軌道半徑r2=L3，由qv0B=mv2r1得最小速度v0=qBL3m。所以粒子能夠從ab邊射出的速度范圍為：qBL3m<v0<qBLm。（2）當(dāng)粒子從ad邊射出時(shí)，時(shí)間均相等，且為最長(zhǎng)時(shí)間，因轉(zhuǎn)過的圓心角為300°，所以最長(zhǎng)時(shí)間：tm=56T=5m3qB，射出的范圍為：OC=r2=L3。通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，解題的關(guān)鍵是畫出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如果能夠熟練掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的上述四種畫法，很多問題都可以迎刃而解。涉及圓周的某些綜合題，常要在圓周里構(gòu)建直角三角形來幫助解答。這些直角三角形大多由該圓周的半徑、弦

17、或切線構(gòu)成。這里用幾道高考“壓軸題”為例來說明。 例2（2007全國(guó)2）如圖所示，在坐標(biāo)系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O的距離為l。一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域。并再次通過A點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸正方向成銳角。不計(jì)重力作用。試求：（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)速度的大小和方向； （2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。分析：運(yùn)動(dòng)過程包含類平拋和勻速圓周運(yùn)動(dòng)。第（2）問較難。欲求B值，要先算出圓

18、周半徑R，應(yīng)構(gòu)建相應(yīng)的直角三角形，如下圖中的APD 以及CPE 再由已知的h和L來求解（見解答中的式和）。解：（1）以a表示粒子在電場(chǎng)作用下的加速度，有 qEma                    加速度沿y軸負(fù)方向。設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為v0，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，則有  h=12at2         

19、;           Lv0t                  由式得 v0La2h                設(shè)粒子從點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，v垂直于x軸的分量v12ah       

20、60;    由式得v1v02+v12=qE(4h2+l2)2mh         設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的夾角為，則有tanv1v0            由式得 arctan2hl             （2）粒子經(jīng)過C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中作速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)。若

21、圓周的半徑為R，則有qvBmv2R               設(shè)圓心為P，則PC必與過C點(diǎn)的速度垂直，且有=R。用表示 與y軸的夾角，由幾何關(guān)系得 RcosRcosh               RsinlRsin            

22、  由式解得Rh2+l22hl4h2+l2                由式得B1h2+l22mhEq                 值得歸納的是，例題1和例題2有共通的地方，即利用兩個(gè)直角三角形，來建立兩個(gè)已知長(zhǎng)度和一個(gè)未知半徑的聯(lián)系。題1中是用a、a/2 求半徑R；題2中

23、是用h、l求半徑R，而接下來的例題3，仍然涉及兩個(gè)直角三角形，但這次是用兩個(gè)已知的半徑來求解一個(gè)未知的長(zhǎng)度。例3（2008重慶）下圖是一種質(zhì)譜儀的工作原理示意圖。在以O(shè)為圓心，OH為對(duì)稱軸，夾角為2的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。對(duì)稱于OH軸的C和D分別是離子發(fā)射點(diǎn)和收集點(diǎn)。CM垂直磁場(chǎng)左邊界于M，且OM=d。現(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，這些離子在CM方向上的分速度均為v0。若該離子束中比荷為qm的離子都能匯聚到D，試求： （1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向（提示：可考慮沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子為研究對(duì)象）；（2）離子沿與CM成角的直線CN進(jìn)入磁場(chǎng)，其軌道半徑和在磁

24、場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）線段CM的長(zhǎng)度。分析：在第（2）問的過程中，圓心上移了，但運(yùn)動(dòng)軌跡是對(duì)稱的；第（3）問難度加大，而下圖中的NO'E 和NOE ，會(huì)有助于建立已知量OM和 ON，與未知量NM之間的聯(lián)系（見解答中的式），便于CM的求解。解：（1）設(shè)沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，  由qv0B=mv02R   且 R=d得：Bmv0qd          由左手定則知，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。（2）設(shè)沿CN運(yùn)動(dòng)的離子速度大小為v，在磁場(chǎng)中的軌道半徑為R，運(yùn)

25、動(dòng)時(shí)間為t，由  vV0cos               且  R'=mvqB                     聯(lián)立得 R'=dcos          

26、         離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T2mqB    結(jié)合得t=T×+ =2+v0                 （3）由圖可知CM=MNcot               

27、0;     再由MN+dsin=R'sin+             聯(lián)立求解得 CM=dcot                   注：若引入正弦定理，利用非直角三角形ONO' ，也能得出MN+dsin+=R'sin ，可代替式。 跳出磁場(chǎng)，在其他力學(xué)

28、問題中，圓周與直角三角形也有“配合”。比如下面這道例題4。 例4（08全國(guó)2）我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影）。 分析：

29、如圖，O和O分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級(jí)OO與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，過A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)。衛(wèi)星在圓弧BE上運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋。欲知運(yùn)行時(shí)間，要先求出衛(wèi)星周期，以及相應(yīng)的圓心角BO'A 。前者由萬有引力定律求解，后者則應(yīng)由BO'A = CO'A-CO'B=FOO'-CO'B 間接得到，因?yàn)锽O'A 不在直角三角形中，難與各邊建立三角函數(shù)關(guān)系。而 FOO'和CO'B各是兩直角三角形（FOO' 和CO'B）中的內(nèi)角，便于用反三角函數(shù)表示，見解答中的式和式。 解：設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0,萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有