四邊形中的旋轉(zhuǎn)折疊問(wèn)題

1、WORD完美格式編輯專(zhuān)業(yè)資料整理四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問(wèn)題例題：如圖,在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長(zhǎng)OC為9的矩形紙片ABCO將紙片翻折后,點(diǎn) B恰好落在x軸上,記為B',折痕為 CEtan / OB C= °4(1) 求B 點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 求折痕CE所在直線的解析式.例題：(1)如圖,UABCD的對(duì)角線ACBD交于點(diǎn)0.直線EF過(guò)點(diǎn)Q 分別交 AD BC于點(diǎn)E、F求證：AE=CF(2)如圖,將 -ABCD(紙片)沿過(guò)對(duì)角線交點(diǎn) Q的直線EF折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)Ai處,點(diǎn)B落在點(diǎn)B處.設(shè)FB交CD于點(diǎn)G, A B,分別交CD DE于點(diǎn)H I.求證：EI=FG.圖例題：(2021?德州

2、)如下圖,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為 4的正方形紙片 ABCD點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不 與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊,使點(diǎn) B落在P處,點(diǎn)C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,連 接 BP、BH.(1) 求證：/ APB=/ BPH(2) 當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí), PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證實(shí)你的結(jié)論；(3) 設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問(wèn) S是否存在最小值？假設(shè)存在, 求出這個(gè)最小值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2021?南寧)如圖,矩形紙片 ABCD AD=2 AB=4將紙片折疊,使頂點(diǎn) A與邊CD上的點(diǎn)E重合, 折痕FG分別與AB, CD交于點(diǎn) G

3、 F, AE與FG交于點(diǎn)O.(1) 如圖1,求證：A, G, E, F四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；(2) 如圖2,當(dāng) AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí),求證：點(diǎn) N是線段BC的中點(diǎn)；(3) 如圖2,在(2)的條件下,求折痕 FG的長(zhǎng).D1Dr圖1圖2解：1由折疊的性質(zhì)可得,GA=GE / AGF=/ EGFDC/ AB/ EFG=/ AGF/ EFG=/ EGF EF=EG=AG四邊形 AGEF是平行四邊形EF/ AG EF=AG ,又 AG=GE四邊形AGEF是菱形.2連接ON AED是直角三角形,AE是斜邊,點(diǎn) O是AE的中點(diǎn), AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N,ONL BC點(diǎn)O是AE的中點(diǎn),

4、ON是梯形ABCE的中位線,點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn).(3)作 OML AD圖2設(shè) DE=x 貝U MO= x,2在矩形 ABCD中,/ C=Z D=90 , 故AEAED的外接圓的直徑.延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N,貝U OIN/ CD 四邊形MNC是矩形, MN=CD=4 ON=MN MO=4- x,2 AED的外接圓與 BC相切, 0是厶AED的外接圓的半徑,.OE=ON=4 x, AE=8- x,2在 Rt AED 中, ad+dE=a£,c222 2 +x = (8 - x),得 x=DE=" ' , 0E=4- -：x=- ,428/ FESA AED理盤(pán) J廣,1

5、7解得：F0=,15WORD完美格式編輯 FG=2FO二.15故折痕FG的長(zhǎng)是二.15對(duì)應(yīng)練習(xí)1. 2021?泰安如圖,在矩形 ABCD中,AB=2, BC=4對(duì)角線AC的垂直平分線分別交 AD AC于點(diǎn)E、O, 連接CE那么CE的長(zhǎng)為2. 2021?泰安如圖,菱形OABC的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn),頂點(diǎn)A在x軸上,/ B=120° , OA=2將菱形OABC 繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 105°至OA B' C'的位置,那么點(diǎn) B'的坐標(biāo)為3. 2021?泰安如圖,將矩形紙片ABCD沿 EF折疊,使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合,假設(shè)AB=2, BC=3那么厶FCB 與厶B&

6、#39; DG的面積之比為DB'4.如圖,矩形ABC呼,E是AD的中點(diǎn),第17題將厶ABE沿 BE折疊后得到 GBE延長(zhǎng)BG交 CD于F點(diǎn),假設(shè)Cf=1, FD=2,那么BC的長(zhǎng)為5.矩形紙片ABCD勺邊長(zhǎng)AB=4, AD=2將矩形紙片沿EF折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,折疊 后在其一面著色如圖,那么著色局部的面積為試題82頁(yè)專(zhuān)業(yè)資料整理6. 2021山東濰坊如圖,直角梯形 ABCD中,AB丄BC, AD/ BC, BC>AD, A 2, AB= 4,點(diǎn)E在AB上,將 CBE沿CE翻折,使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合,那么/ BCE的正切值是. 89頁(yè)7. 梯形中的對(duì)角線88頁(yè),再按圖示方法折疊,能

7、夠得到一個(gè)直角8.如圖,將正方形對(duì)折后展開(kāi)圖是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開(kāi)三角形,且它的一條直角邊等于斜邊的一半.這樣的圖形有【】(A)4 個(gè)(B)3 個(gè)D, C分別落在D圖D1 個(gè)9如下圖,把一長(zhǎng)方形紙片沿MN折疊后,點(diǎn),C'的位置.假設(shè)/ AMD = 36那么/ NMD等于(A) 144°( B) 126°( C) 108 °( D) 7210. 一副三角板按圖1所示的位置擺放那么兩個(gè)三角形重疊陰影局部的面積為.將厶DEF繞點(diǎn)A F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后圖2,測(cè)得C=10cm,E(A) 75cm(B) (25 25,3) cm2(C) (25 寺)卅B圖

8、1圖2專(zhuān)業(yè)資料整理WORD完美格式編輯GE(D) (25 50 晶例題：在正方形 ABCD的邊AB上任取一點(diǎn) E,作EF丄AB交BD于點(diǎn)F,取FD的中點(diǎn) G 連結(jié)EG CQ如圖(1),易證 EG=CG且EGLCG.(1 )將 BEF 繞點(diǎn)B 逆時(shí)針 旋 轉(zhuǎn)90°,如 圖(2), 那么線段EG和 CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜測(cè)(2)將厶BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,如圖(3),那么線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?專(zhuān)業(yè)資料整理請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè),并加以證實(shí)1(2)(2解(1) EG=CG EGL CG(2(2) EG=CG EGL CG 證實(shí)：延長(zhǎng) FE交DC延長(zhǎng)線于 M連MG / AEM=90,/ EBC=90,/ BCM=90四邊形BEMC1矩形. BE=CIMZ EMC=90 又 BE=EF EF=CM / EMC=90 , FG=DG MG FD=FG/ BC=EM, BC=CD EM=CD/ EF=CMFM=DM/ F=45°又 FG=DG1/