奧數(shù)數(shù)的整除講義練習(xí)含答案

1、數(shù)的整除1性質(zhì)、特征、奇偶性【知識(shí)要點(diǎn)】：整除性質(zhì)：1如果數(shù)a、b都能被c整除,那么它們的和a+b或 差a-b也能被c整除.2如果數(shù)a能被自然數(shù)b整除,自然數(shù)b能被自然數(shù)c整除,那么數(shù) a必能被數(shù)c整除.3假設(shè)干個(gè)數(shù)相乘,如其屮有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除,那么,它 們的積也能被這個(gè)數(shù)整除.4如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除,那么,這個(gè)數(shù)能 被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除.反Z,假設(shè)一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除, 那么這個(gè)數(shù)能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除.整除特征：1假設(shè)一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4 或25整除,那么這個(gè)數(shù) 能被4 或25整除.2假設(shè)一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8 或125整除,那么這個(gè)數(shù)能被8 或

2、 125整除.3假設(shè)一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被3 或9整除,那么這個(gè)數(shù)能被3或9整除.4假設(shè)一個(gè)數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)數(shù)字和之差以大減小能被 11整除,那么這個(gè)數(shù)能被11整除.5假設(shè)一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的 數(shù)之差大數(shù)減小數(shù)能被7 或13整除,那么這個(gè)數(shù)能被7 或13 整除.奇偶性：1奇數(shù)土奇數(shù)二偶數(shù)2偶數(shù)土偶數(shù)二偶數(shù)3奇數(shù)土偶數(shù)二奇數(shù)4奇數(shù)X奇數(shù)二奇數(shù)5偶數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù)6奇數(shù)X偶數(shù)二偶數(shù)7奇數(shù)*奇數(shù)二奇數(shù)8【典型例題】例1： 一個(gè)三位數(shù)能被3整除,去掉它的末尾數(shù)后,所得的兩位數(shù)是17的倍數(shù),這樣的三位數(shù)屮,最大是幾例2： 1200這200個(gè)自然數(shù)屮,能被6或8整除

3、的數(shù)共有多少個(gè)例3：任意取出1998個(gè)連續(xù)自然數(shù),它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)例4：有“ 1,“2,“3,“4四張卡片,每次取出三張組 成三位數(shù),其中偶數(shù)有多少個(gè)例5如杲41位數(shù)55口999能被7整除,那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾9 【精英班金WT【競賽班】例6：某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽,共20道題,評分標(biāo)準(zhǔn)是: 答對一題給5分,不答一題給1分,答錯(cuò)一題倒扣1分,如果1999人 參賽,問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)【課后分層練習(xí)】A組：入門級1、判斷306371能否被7整除能否被13整除2、議能否被7、和13整除3、六位數(shù)7E36F5 是1375的倍數(shù),求這個(gè)六位數(shù).4、己知10D8971能被13整除,

4、求中的數(shù).5、有8個(gè)學(xué)生都面向南站成一排,每次只有7個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn),最 少要做多少次才能使8個(gè)學(xué)生都面向北B組：進(jìn)階級1、有一個(gè)四位數(shù)莎1,它能被9整除,那么數(shù)A代表多少2、一個(gè)一百位數(shù)由1個(gè)1, 2個(gè)2, 3個(gè)3, 4個(gè)4, 5個(gè)5, 6個(gè)6, 7 個(gè)7,及72個(gè)0組成,問這個(gè)百位自然數(shù)有可能是完全平方數(shù)嗎3、某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽,共30道題,評分標(biāo)準(zhǔn)是：根底分15分, 答對一題給5分,不答一題給1分,答錯(cuò)一題倒扣1分,如果199人 參賽,問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)4、10a8972能被13整除,求中的數(shù).C組：挑戰(zhàn)級1、能不能將從1到10的各數(shù)排成一行,使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之 和都能被

5、3整除2、對于左下表,每次使其屮的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù),能否 經(jīng)過假設(shè)干次后各次減去或加上的數(shù)可以不同,變?yōu)橛蚁卤頌槭裁?、左下列圖是一套房子的平面圖,圖中的方格代表房間,每個(gè)房間 都有通向任何一個(gè)鄰室的門.有人想從某個(gè)房間開始,依次不重 復(fù)地走遍每一個(gè)房間,他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎【典型例題】例1： 一個(gè)三位數(shù)能被3整除,去掉它的末尾數(shù)后,所得的兩位數(shù)是17的倍數(shù),這樣的三位數(shù)屮,最大是幾解:在兩位數(shù)中,是17的倍數(shù)的數(shù)中最大的為17X5=85(17X6=102).于是所求數(shù)的前兩位數(shù)字為85由于8+5=13,故所求數(shù)的個(gè)位數(shù)字為2、5、8時(shí),該數(shù)能被3整除,為使該數(shù)最大,其個(gè)位數(shù)字應(yīng)為8最

6、大三位數(shù)是858.例2： 1200這200個(gè)自然數(shù)屮,能被6或8整除的數(shù)共有多少個(gè)解：1200屮,能被6整除的數(shù)共有33個(gè)(200*6=33),能被8整除的數(shù)共有 25 個(gè)(2004-8=25).但6, 8 =24, 2004-24=88,即1200中,有8個(gè)數(shù)既被6整除,又被8整除.故總共有：33+25 8=50.例3：任意取出1998個(gè)連續(xù)自然數(shù),它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù) 解：任意取出的1998個(gè)連續(xù)自然數(shù),其屮奇數(shù)、偶數(shù)各占一半,即 999個(gè)奇數(shù)和999個(gè)偶數(shù).999個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù),999個(gè)偶數(shù)的和是 偶數(shù),奇數(shù)加上偶數(shù)和為奇數(shù),所以它們的和是奇數(shù).例4：有“1,“2,“3,“4四張卡

7、片,每次取出三張組成三位數(shù), 其屮偶數(shù)有多少個(gè)解：組成的三位數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是2或4兩種情況,假設(shè)個(gè)位數(shù)字是2, 百位、十位數(shù)字可從余下的數(shù)字屮取,這樣可組成3X2=6 個(gè)三位 偶數(shù)；假設(shè)個(gè)位數(shù)字是4,同樣也可以組成6個(gè)三位偶數(shù).這樣總共12 個(gè).例5如果41位數(shù)芳$口999能被7整除,那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾？精英班髯打解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征,555555與999999都能被7整除,所以55-5-599-9也能被7整除.18個(gè)18個(gè)第?口 999 = ¥咒0000 999十 99 X 10叭卞丁 二V 二VUL由于上式屮等號左邊的數(shù)與等號右邊第一個(gè)數(shù)都能被7整除,所以等號右邊第

8、二個(gè)數(shù)也能被7整除,推知55n99能被7整除.根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征,口9955二口44也應(yīng)能被7整除.由口44能被7整除,易知口內(nèi)應(yīng)是6.【競賽班】例6：某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽,共20道題,評分標(biāo)準(zhǔn)是：答 對一題給5分,不答一題給2分,答錯(cuò)一題倒扣1分,如果1999人參賽, 問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)解：對于每個(gè)學(xué)生來說,20道題都答對,共得5X20=100分(偶數(shù)).假設(shè)該 學(xué)生答錯(cuò)一題,應(yīng)從200分中扣(5+26)分,無論他答錯(cuò)多少道題,扣分 的總數(shù)應(yīng)是6的倍數(shù),即扣分的總數(shù)也是偶數(shù),100分中扣除偶數(shù)分仍得偶 數(shù)分；同樣假設(shè)他不答一題,應(yīng)從100分中扣除(5-1=4)分,無論他不

9、答 多少道題,扣分的總數(shù)應(yīng)是4的倍數(shù),即扣分的總數(shù)也是偶數(shù),所以100 分中減去偶數(shù)仍得偶數(shù),每個(gè)學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù),那么無論有多少人參加 數(shù)學(xué)競賽,學(xué)生得分的總數(shù)和一定是偶數(shù).【課后分層練習(xí)】A組：入門級1、判斷306371能否被7整除能否被13整除解：由于371-306=65, 65是13的倍數(shù),不是7的倍數(shù),所以306371能被 13整除,不能被7整除.2、abcabc能否被7、M和13整除分析與解：由于疣贏二贏x 1001, 1001是7, 11和卩的倍數(shù),所以贏贏能被7, 11和13整除.3、六位數(shù)7E36F5是1375的倍數(shù),求這個(gè)六位數(shù).解:由于1375=5X5X5X11=125X

10、11,根據(jù)能被125整除數(shù)的特征,這個(gè)數(shù)的末三位能被125整除,可知道F=2,又由于這個(gè)數(shù)是11的倍 數(shù),所以7+3+2 (E+6+5) =1E是11的倍數(shù),那么E=1 所以這個(gè) 六位數(shù)是7136254、10O8971能被13整除,求屮的數(shù).解：10口8971=1008971+口0二37+口0.上式的個(gè)位數(shù)是7,假設(shè)是13的倍數(shù),那么必是13的9倍,由13x937=80, 推知屮的數(shù)是8.5、有8個(gè)學(xué)生都面向南站成一排,每次只有7個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn),最少要 做多少次才能使8個(gè)學(xué)生都面向北解：對于每個(gè)人只要向后轉(zhuǎn)奇數(shù)次,就能面向北.由于每-輪恰有7 個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn),8個(gè)學(xué)生向后轉(zhuǎn)的次數(shù)總和為7X8=56

11、 次.因此最 少要做564-7=8 次才能使8個(gè)學(xué)生都面向北.B組：進(jìn)階級1、有一個(gè)四位敎3AA1,它能被9整除,那么數(shù)A代表多少解：3+A+A+1二4+2A,根據(jù)能被9整除數(shù)的特征,4+2A是9的倍數(shù).因 為4+2A是偶數(shù),所以4+2A=18, A=72、一個(gè)一百位數(shù)由1個(gè)1, 2個(gè)2, 3個(gè)3, 4個(gè)4, 5個(gè)5, 6個(gè)6, 7 個(gè)7,及72個(gè)0組成,問這個(gè)百位自然數(shù)有可能是完全平方數(shù)嗎解：任何一個(gè)自然數(shù)的平方除以3都余1或0而這個(gè)一百位數(shù)的數(shù)字 和是140, 140除以3余2,所以這個(gè)一百位數(shù)不可能是完全平方數(shù).3、某市舉辦小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽,共30道題,評分標(biāo)準(zhǔn)是：根底分15分, 答對一題

12、給5分,不答一題給1分,答錯(cuò)一題倒扣1分,如果199人 參賽,問參賽同學(xué)的總分是奇數(shù)還是偶數(shù)解：仿照例6：這199位同學(xué)的得分總分是奇數(shù).4、10n8971能被13整除,求屮的數(shù).解：10d8-971=1008-971+d0=37+aOo上式的個(gè)位數(shù)是7,假設(shè)是13的倍數(shù),那么必是13的9倍,由13x9-37=80, 推知屮的數(shù)是8.C組：挑戰(zhàn)級1、能不能將從1到10的各數(shù)排成一行,使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除 解：10個(gè)數(shù)排成一行的方法很多,逐一試驗(yàn)顯然行不通.我們采用反 證法.假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn).那么由題意,從前到后每兩個(gè)數(shù)一組 共有5組,每組的兩數(shù)Z和都能被3整除,推知110的和也應(yīng)能被 3整除.實(shí)際上,110的和等于55,不能被3整除.這個(gè)矛盾說明 假設(shè)不成立,所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn).2、對于左下表,每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù),能否 經(jīng)過假設(shè)干次后各次減去或加上的數(shù)可以不同,變?yōu)橛蚁卤頌槭裁唇猓河捎诿看斡袃蓚€(gè)數(shù)同時(shí)被加上或減去同一 個(gè)數(shù),所以表屮九個(gè)數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后,等于原來的總和加上或 減去那個(gè)數(shù)的2倍,因此總和的奇偶性沒有改變.原來九個(gè)數(shù)的總和 為1+2+9=45,是奇數(shù),經(jīng)過假設(shè)干次變化后,總和仍應(yīng)是奇數(shù),與右 上表九