兩次相遇行程問題的基本解法

1、兩次相遇行程問題的基本解法之馬矢奏春創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日例1.甲、乙兩車同時從 A、B兩地相向而行，在距A地80千 米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進，甲車達到B地、乙車達到A地 后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米處相遇.求A、B兩 地間的路程.分析與解根據(jù)題意可畫出下面的線段圖：由圖中可知，甲、乙兩車從同時動身到第二次相遇 ，共行駛 了 3個全程，第一次相遇距 A地80千米，說明行完一個全程時, 甲行了 8O千米.兩車同時動身同時停止，共行了 3個全程，說明 兩車第二次相遇時甲共行了 8X3=240 （千米），從圖中可以看 出來甲車實際行了一個全程多 60千米，所以A、B兩地

2、間的路程 就是：240-60= 180 （千米）例2.甲、乙兩車同時從 A、B兩地相向而行，在距A地80 千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進，甲車達到B地、乙車達到A 地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米處相遇.求A、B 兩地間的路程.分析與解根據(jù)題意可畫出線段圖：由圖中可知，甲、乙兩車從同時動身到第二次相遇 ，共行駛 了 3個全程，第一次相遇距A地8O千米，說明行完一個全程時, 甲行了 8O千米.兩車同時動身同時停止，共行了 3個全程.說明兩 車第二次相遇時甲車共行了： 80X 3= 240 （千米），從圖中可以 看出來甲車實際行了兩個全程少60千米，所以A、B兩地間的路程就是：（240

3、+ 60） +2= 150 （千米）可見，解答兩次相遇的行程問題的關(guān)鍵就是抓住兩次相遇共 行三個全程，然后再根據(jù)題意抓住第一次相遇點與三個全程的關(guān) 系即可解答出來.尋找最佳的解題方法有些題目，如果從分歧的角度去分析，就會獲得分歧的解題方法, 也就是說從多個角度去想就會有多種解法.這樣做可以使思維更開闊，也能從中找到最佳的解題方法.下面的題目就可以用三種方 法來解.例某建筑工地，第一天用6輛汽車運沙子，共運96噸，第 二天用同樣的汽車12輛運沙子，第二天比第一天多運幾多噸？解法一：先求一輛汽車一天運沙子的噸數(shù)，再求12輛汽車一天運沙子的噸數(shù)，減去第一天運的噸數(shù)，就獲得第二天比第一天 多運的噸數(shù).

4、6+6X12 96=96 （噸）解法二：先求出12輛是6輛的幾多倍，再求12輛汽車每天 運的噸數(shù)，最后減去6輛汽車每天運的噸數(shù).96X （12+6） 96=96 （噸）解法三：先求一輛汽車一天運的噸數(shù)，再求第二天比第一天多幾輛車，這多的幾輛所運的沙子就是第二天比第一天多運的.96+ 6X （ 126） = 96 （噸）答：第二天比第一天多運 48噸.你認(rèn)為哪種算法最好？我們來看一道題，它可以有五種解法，甚至更多，看完后，請你想一想還有沒有另外解法？例某飯店買回一桶豆油，連桶稱共有210千克，用去一半后連桶稱還有120千克，油桶重幾多千克？解法一：把120千克擴年夜2倍，獲得一桶豆油的重量和兩

5、只桶重，從中去失落210千克（這是一桶豆油與一只桶的重量 和），即得桶重.120X 2- 210=30 （千克）解法二：先求出半桶豆油的重量 ，再從120千克中去失落這 半桶豆油的重量，也可得桶重.120 （210-120） = 30 （千克）解法二：先求出兩只桶和兩桶油的重量，再求出兩只油桶和一桶油的重量，這樣可求出一桶油的重量，然后可求出桶重.210 (210X2-120X2) = 30 (千克)解法四：基本上與解法三相同，也可以說是它的簡便算法，但算理稍有分歧.210 (210120) X 2= 30 (千克)解法五：先求出半只桶重，再求出整個油桶的重量.( 120210+ 2) X 2

6、= 30 (千克)答：油桶重30千克.我們再來看一道題：李師傅要加工3080個零件，他用4天加工了 280個零件.照這樣計算，加工剩下的零件還需要幾多天？解法一：先求每天加工幾多個零件和還剩下幾多個零件，再求需要加工幾多天.(3080-280) + (280+ 4) = 40 (天)解法二：先求每天加工幾多個零件，再求加工這批零件一共 需要幾多天，最后求還需要加工幾多天.3080+ (280+ 4) 4 = 40 (天)解法三：先求這批零件的總數(shù)是他4天加工零件的幾多倍，再求加工這批零件一共需要幾多天，最后求還需要加工幾多天.4X (3080+ 280) 4 = 40 (天)解法四：先求還要加

7、工幾多個零件，然后求還加工的零件數(shù)是4天加工零件數(shù)的幾多倍，最后求還需要加工幾多天.4X ( 3080-280) +28 = 40 (天)答：加工剩下的零件還需要40天.一道思考題的三種解法題目是這樣的：選擇+、X、+中的運算符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別即是 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.(1) 2 2222 =0(2) 2 2222 = 1(3) 2 2222 =2(4) 2 2222 =3(5) 2 2222 =4(6) 2 2222 =5(7) 2 2222 =6(8) 2 2222 =7(9) 2 2222 =8(10) 10) 2 2222 =9下面向你介紹三

8、種解這道題的方法 ，希望你能受到啟發(fā)，從 而舉一反三，學(xué)會解更多的思考題.猜想法，也叫試驗法.它完全是靠邊猜想、邊試驗的方式求解 如（1）題，先試 2X2 + 2+ 2 2?0,后試 2 + 2+22 + 2? 0最后試得2 + 2+2 + 2 2=0,勝利了 .猜到了一種謎底，還 可以繼續(xù)下去，以尋找第二、第三種謎底.逆推法，就是從問題的要求或結(jié)果動身，一步一步地進行逆 向推理，逐步靠攏已知條件，把已知條件逐個用進去，直至求出 問題的謎底.如（2）題，因為等號右邊的1比等號左邊的2小， 所以只能在等號左邊第一個2前面添上減號或者除號.如添上減號使原題釀成2 222 =3.同理又因3>2

9、,故可在等號左邊第二個 2 的前面添上加號，使原題釀成2 22 = 1.這時就很容易看出2 2 + 2=1 了.綜合前兩步逆推，就獲得2 2 + 2+22=1的一種解法 如繼續(xù)作其它逆推，還可獲得第二、第三種解法.前面介紹的兩種方法你看懂了嗎？請不要著急，慢慢地消化理解，逐步加以接受.下面請看第三種解法.充數(shù)法，這是一種綜合運用知識的方法，它同樣要結(jié)合試驗 才華順利進行.如（3）題，可以讓等式左邊的5個2兩兩相減得 0,剩下的一個2固然就和等式右邊的 2相等了，即22+2 2 + 2 = 2.從某種意義上說，它和猜想法有相同的處所，那就是都要試 驗，但試驗的方法是分歧的，你能總結(jié)出它們的分歧點

10、嗎？怎么樣？這三種解法和你以前用過的方法一樣嗎？你還有更 好的方法嗎？如果有，那真是太好了，因為你現(xiàn)在的思路寬了 ， 解題的速度和正確率城市年夜年夜提高的.好吧，看看你學(xué)習(xí)的效果怎樣，是不是真正能舉一反三.請做 下面的題.選擇適當(dāng)?shù)倪\算符號和括號，使下式成立.( 1) 2 3 5 7 1 =2 2 3 5 7 1 =4(3) 2 3 5 7 1 =6 (4) 2 3 5 7 1 =8找出等量關(guān)系解決復(fù)雜應(yīng)用題同學(xué)們在解答較復(fù)雜的應(yīng)用題時,往往不知從何下手.如果根據(jù)條 件找出相應(yīng)的等量關(guān)系或能將其中的條件轉(zhuǎn)化一下，那么問題就會迎刃而解了 .題目修一多公路，已修和未修長度的比是 1:3,再修300

11、 米后，已修和未修長度的比是 1:2.這條路長幾多米？(九年義務(wù) 教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊思考題)分析與解解法一：這道題的條件是：再修 300米后，已修和未修長度的比是1: 2,這里隱藏著一個等量關(guān)系，如果抓住這個等量關(guān)系，就可列方程解答.設(shè)已修的長度為x米，那么未修的長度為3x米.利用雙向思考解決奧數(shù)題早晨小明和爸爸、媽媽一起跑步 .爸爸跑的路程比小明的 2倍少2O米，比媽媽的2倍多10米.小明和他媽媽誰跑的路程長些？（人教版九年義務(wù)教育五年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊第86頁思考題）此題可以用三種方法來解.解法一：畫線段圖來解.由圖可見，小明比媽媽跑的路程長.解法二：用方程解.設(shè)小明跑了 100米，

12、爸爸跑的路程就是 100X 2 20=180（米），再設(shè)媽女跑了 x米，列出方程：2x+ 10= 180 x =85 （米）即媽媽跑了 80米，可見小明比媽媽跑的路程長.解法三：設(shè)小明、爸爸、媽媽跑的路程分別為 x米、y米、z米，根據(jù)題意可以列出下面兩式，再做適當(dāng)?shù)淖冃尉湍艿媒?即：y = 2x 20- y= 2x+20y = 2x+10- y= 2x 10 （x>z）即小明比媽媽跑的路程長.畫圖法解決奧數(shù)難題一個山清水秀的村莊里有三個好朋友：小明、小剛和小強，他們常在一起合伙打魚.一次，他們忙碌了年夜半天，打了一堆魚.實 在太累了，就坐在河邊的柳樹下休息，一會兒都睡著了 .小明醒了 想

13、起家里有事，看小剛和小強睡得正香，沒有吵醒他們.他把魚分 成三份，自己拿一份走了 .紛歧會兒小剛也醒了 ，要回家.他也把 魚分成三份，自己拿一份走了 .太陽快落山了，小強才醒來.他想, 小明和小剛上哪去了？這么晚了 ，我得回家劈柴去.于是，他又把魚分成三份，自己拿走一份.最后還剩下8條魚.第二天，他們又合伙到河邊打魚，才知道昨天分的魚分歧理. 小明立即把剩下的8條魚給小剛3條，小強5條.你能算出他們原 來共打幾多條魚嗎？這個問題直接從文字上分析有一定難度，為了幫手我們理解題意，啟發(fā)解題思路，可以根據(jù)題意，畫出下面的線段圖.由于最后剩的8條是小強分的三份中的兩份，所以小強拿走 的魚是8 + 2條

14、.那么小剛拿走自己分的一份魚后剩下的魚是8 + 2X3條，這占小剛分的三份中的兩份，所以小剛拿走的魚是(8+ 2X3) +2;同樣可得知小明拿走的魚是(8+2X3) +2X3 + 2條.所以打的魚一共是(8+2X3) +2X3 +2X3= 27 (條).固然，我們還可以從小強第一天拿走的魚是8一條和第二天又拿了 5條知道，每人平均拿了 8 + 2+5條，所以打的魚一共是 (8 + 2+ 5) X 3= 27 (條).小明、小剛和小強三個伙伴互相關(guān)心，他們每個人無論有什么好事都忘不了另外兩個朋友.一次，小明從山里來了一筐山梨，他把小剛和小強找來，對 他們說：“我把這筐梨先分給你們一些，剩下的即是

15、我的.”于是他把山梨的一半給了小剛，然后又給小剛加了 1個.接著，他又 把剩下的給了小強一半，也同樣給小強加了 1個，最后剩下5個 山梨，他自己留下了 .你來算算，小明這一筐山梨共有幾多個呢？可以依照上次的方法，先畫出下面的圖.然后列出算式：(5 +l ) X 2+1 X2=6 X2+ 1 X2=26 (個)答：筐里一共有26個山梨.你知道為什么可以用畫圖的方法來解題嗎？原來，對復(fù)雜的題目，可以根據(jù)題意畫一個直觀示意圖來幫手我們弄清題中的數(shù) 量關(guān)系，也就比力容易列出算式、求出結(jié)果 .逆向思維的巧妙運用逆向思維，是指將人們通常思考問題的思路反過來，用對峙的、看上去似乎不成能的法子解決問題的思維方

16、法.利用這種思維方法可以巧妙地解決一些我們正常思維所不能解決的問題比如，我們在解下面的題目時,就可以應(yīng)用這種思維方法.小遠買1角錢的郵票和2角錢的郵票共100張，一共花了 17 元錢.他買了 1角和2角郵票各幾多張？解這一題目，假設(shè)買來的100張都是2角郵票，那么總錢數(shù) 應(yīng)為：2X100= 200 （角）=20 （元）.可實際上小遠只花了 17元錢，比假設(shè)少3元錢，這是因為其 中有1角錢的郵票.若有一張1角郵票，總錢數(shù)就相差1角.由此可求出1角郵票張數(shù)為：3元=30角，30 +1= 30 （張）2角郵票張數(shù)為：10030= 70 （張）.請你用這種方法算出下面的題目：三年級的46名同學(xué)去劃船，

17、準(zhǔn)備了可乘6人的船和可乘4人 的船共10只，如果所有的學(xué)生恰好分配在這10只船上而沒有剩余，那么年夜船和小船各幾只？利用周密的推理解決難題解答奧數(shù)習(xí)題，除演算之外，有些題需要進行周密的推理.在推理 過程中，我們要善于挖掘題中所隱含的條件 ，把它作為推理的依據(jù)，有次第地進行，使前面得出的結(jié)論，作為后面推理的依據(jù) 直到最終解決問題.有這樣的一道題：甲、乙、丙三人進行一場田徑角逐，角逐項目有：100米、400、800米、跳高、跳遠五項.已知每項第一、第二、第三名各得 5分、2分、l分；乙800米賽跑得第一名.角逐結(jié)束后，每人的總分是：甲22分，乙、丙各得9分.想想,這三人在五項角逐中各獲得什么名次？由題中條件可知：乙 800米賽跑得第一名，乙得5分；而甲總分是22,只有當(dāng)他取得五項中的四項第一名、另一項為第二名時，才會得22分，很顯然，甲只能是800米得第二名，其余四項 均為第一名；由于介入角逐的只有三人，每人每項至少能得第三 名，拿1分；乙只有除800米外四項都得第三名，才會獲得9分(5+1 +1+1 + 1);那么剩下的名次皆為丙的，即丙除800米得 第三名外，其余四項都得第二名.如下表所